強化“捆”的操作，促進認數(shù)的意義建構

石艷

【摘要】一年級教學認數(shù)時教師常常設計動手操作的活動幫助學生建立數(shù)的認識。操作的活動是否都能有效地幫助學生理解數(shù)的數(shù)學本質、學生在認數(shù)過程中是否理解十進制計數(shù)方法、如何設計有效的操作活動促進認數(shù)的意義建構等成為教師備課時必須思考的問題。

【關鍵詞】捆操作 意義建構

筆者在之前的數(shù)學教研活動中聽了一節(jié)一年級的“認識11～20”的研究課。教學中，教師通過讓學生擺小棒、捆小棒等操作活動，幫助學生認識十幾和二十各數(shù)。首先，教師先讓學生用擺小棒的方法，復習從1～10的各數(shù)，提示學生10根小棒可以捆成一捆。相機板書“10個一是1個十”。然后，布置活動要求“用小棒表示12。思考怎樣擺，能一眼看出是12？”學生在自我擺小棒之后，經過比較和匯報得出結論：左邊擺一捆小棒、右邊擺2根小棒，就能一眼看出12。接著，要求擺出13、16、19、20 等數(shù)。于是學生在已擺好12的小棒上，繼續(xù)添加小棒的數(shù)量，以認識13、…、19、20。最后，再通過數(shù)數(shù)、寫數(shù)等活動，提高學生點數(shù)的速度。整節(jié)課看上去學生似乎已經認識了11～20各數(shù)，也會讀數(shù)、寫數(shù)。

但是在深入的教研反思中大家提出，這樣的教學過程，是否表明學生真正認識了11～20這些數(shù)的數(shù)學本質？是否理解十進制的計數(shù)方法？可以設計怎樣的教學活動，來幫助學生認識本節(jié)課的數(shù)學本質？帶著對這些問題的思考，筆者試談對“認識十幾”這節(jié)課所涉及的關于“捆”的操作問題。

我們知道，對于自然數(shù)的認識是學生認數(shù)的開始，也是學生接觸到的抽象的數(shù)學概念，這關乎學生對數(shù)學學習的理解。11～20各數(shù)的認識，是對1～10各數(shù)認識的自然擴展，是學生認識兩位數(shù)的起始階段，也是認識十進制的啟蒙階段。是為20以內的加減及后續(xù)百以內數(shù)的認識與計算提供認知基礎的。本節(jié)課教學目標不僅僅停留在要學生會讀數(shù)、寫數(shù)、知道數(shù)的組成，更要引領學生在活動中理解11～20各數(shù)的本質，理解數(shù)數(shù)、寫數(shù)的意義，還要探究認識新的計數(shù)單位——“十”是怎么產生的。

人類發(fā)明的十進制計數(shù)法，是數(shù)學史上一次偉大的創(chuàng)造，它被馬克思稱贊為“最美妙的發(fā)明之一”。教學時應讓學生從操作活動中、從十進制計數(shù)法的產生等方面，理解其原理是“十個一群”計數(shù)，10個一是1個十，從而為后面認識十個十是一個百，十個一百是一千等奠定認識基礎，體會十進制的美妙之處。要讓學生理解滿十進一就形成一個新的計數(shù)單位。要實現(xiàn)這些教學目標，需要通過“捆”的動手操作來實現(xiàn)。

一、“捆”起來、“散”開去，在逆反強化中建立等價換算關系

“捆”是將分散的單個聚攏起來，形成一個大的認知單位的操作過程，是將腦內聚合認知思維的內在隱形操作外化為動作操作的過程。

（1）借助操作以外化思維操作。只有借助外在的捆捆操作，才能將內隱的智力操作可視地表征出來。教師在一開始的教學中，就引導學生用小棒擺出10根，邊擺邊復習1～10的數(shù)。當數(shù)到10根時，引導學生將10根變?yōu)橐焕?。讓學生建立從“10個一”到“1個十”的認知過程，初步體會“十進制”的計數(shù)方法。然后布置用小棒擺“12”的活動，通過比較2根2根地擺、5根5根地擺、一捆和兩根等不同的擺法，讓學生自己比較、體驗10根捆為一捆計數(shù)更方便，能一眼看出12。要讓學生理解得知，如果不加捆扎，每一次計數(shù)都得一一點數(shù)，不可能實現(xiàn)一眼就得知是多少的計數(shù)便捷。體會到這些，才能實現(xiàn)借助12根小棒的帶捆的物象，抽象出12的數(shù)感概念。

（2）雙向操作以促進可逆思維。繼續(xù)教學認識其余十幾的數(shù)，但教學并不能止于此。上述教學過程是讓學生通過捆捆操作，從以“一”為計數(shù)單位，過渡到添加以“十”為計數(shù)單位的新的計數(shù)思維。而且這種操作還得雙向，即不但要捆捆，還要解捆，從“十”到“一”完成逆向的轉化。即把一捆讓學生解開，散為10根，表達出1個十就是10個一。這種操作可以反向強化1捆等于10根的相等換算關系——以完整認識“1個十等于10個一”“10 個一 就等于1個十”。現(xiàn)在的學具往往把十根一捆用一片塑片定制而固化了，這雖方便了擺放，但取消了學生動手捆扎和解捆的過程，變成了替換過程。不利于學生理解，教學中要適當提供一點讓學生親手捆扎和解捆的操作過程。

（3）操作與表達要呼應結合。在捆扎和解開的雙向操作中，要讓學生邊操作，邊說出10個一就是1個十，突出強調兩者等價的換算關系。為了雙向互逆理解，在捆扎和解開的操作中，讓學生思考：10個一和1個十之間是什么關系？可以怎么表示？在學生思考回答基礎上，教師相機板書出結語：10個一=1個十。而學生在閱讀這一結語時，要有意識地不但從左向右讀，也要注意從右向左讀，使得閱讀時口頭表達結語，注意與操作動作的呼應：捆扎時說成10個一等于1個十，解開時說成是1個十等于10個一。

二、理解“捆”從何來，對捆“十”追根溯源以理解計數(shù)單位本質

本節(jié)課是學生理解進位制和位值制的重要開始。在讓學生理解十進制的活動時，教師設計要學生動手操作數(shù)出10根小棒捆成一捆。那究竟為什么10個一根要捆為一捆？這個司空見慣不成問題的問題要引導學生質疑，使得“10個一是1個十”的合理性得到學生的認可。

（1）教師要引導學生質疑追問十進制。新的計數(shù)單位“十”的概念剛剛建立，還未完全引出，教師教學時可以提出這樣的思考問題：“為什么10根捆成一捆，而不是7、8根捆成一捆？”以引導學生追溯對數(shù)概念產生的最初情形進行想象，推測原始的計數(shù)方法。

（2）借助雙手理解捆的十進制。古人曾用手邊的石頭、樹枝，以及身上的器官如手指、腳趾來作為替代物來點數(shù)，或者用繩子打結，在地面石塊上刻畫線等表示數(shù)（如圖）。而人們的十根手指（或十個腳趾）就是原始的計數(shù)器。在數(shù)的點數(shù)、計數(shù)中，讓學生理解、體驗“滿十進一”這一計數(shù)制約定俗成的合理性和自然性?？梢?，“一”和“十”是生活語匯“根”與“捆”的數(shù)學化抽象，而“根”與“捆”則是數(shù)學概念在生活中語匯的具體對應。

（3）理解十進制的教學，也可讓學生散開一捆為10根再思考，捆扎，不但使得10根（個）為一個點數(shù)單位操作便捷，而且造成定型化、穩(wěn)固化——一捆多少根？是與人的手指根數(shù)一樣的數(shù)。這是新的計數(shù)單位的確立，而讓學生捆扎和解開小棒，則是使之體驗等價變換，在與“一”的計量單位聯(lián)系中牢固建立“十”的計量單位概念，以及為后續(xù)的十進制計數(shù)中的“滿十進一”“退一當十”提供感性經驗的鋪墊和孕伏。

三、從“捆”到“數(shù)”，抽象概括推進數(shù)學化

教師在教學13，…，19，20等數(shù)時，讓學生操作小棒，往往是在原來12根小棒的基礎上繼續(xù)添加式地擺，學生只是在12這個數(shù)的基礎上，去改變單個的根數(shù)，即在一捆和兩根的基礎上，添加兩根，變?yōu)?4，在14根的基礎上再加上兩根，變?yōu)?6。然后讓學生單個地說說十幾數(shù)的組成。雖然這樣操作省事了，但這樣單個數(shù)的出現(xiàn)，不利于學生比較和發(fā)現(xiàn)十幾的組成有什么共同的地方。如果改為讓學生把三四個十幾，上下排列，都擺出所表示的小棒一捆幾根，再引導學生縱向思考，概括出共同之處，都是左邊為一捆（1個十），右邊為幾根（幾個一）。從而歸納出：1個十和幾個一組成十幾;反之可說成：十幾是由1個十和幾個一組成的。從觀察、比較小棒的組成，抽象到數(shù)的組成，經過具體的概括抽象，由擺到說完成數(shù)學化思考的過程。這也就有利于說成：

12是由1捆和2根，即1個“十”和2個“一”組成;

14是由1捆和4根，即1個“十”和4個“一”組成;

16是由1捆和4根，即1個“十”和4個“一”組成;

……

具體十幾數(shù)的組成，進而得到：

十幾是由1個“十”和幾個“一”組成的——概括十幾數(shù)的組成。

這就形成對十幾數(shù)組成的抽象概括思維訓練，也為后續(xù)數(shù)位的教學，奠定理解的經驗基礎。

四、從“數(shù)”到“捆”，演繹訓練，強化概念認知

有了上述的概括抽象，再讓學生進入演繹的訓練過程。教師可以任意舉不同的十幾數(shù)例，讓學生擺出學具小棒;或者擺出小棒，讓學生讀出十幾的計數(shù);也可從數(shù)的組成上讓學生互問互答，四人小組，依次分別說出：

甲：“我說15這個數(shù)。”

乙：“15是由1個十和5個一組成的。”

丙“1個十和5個一組成15。”

丁：“擺出1捆和5根，就能表示15。”

其余的數(shù)19、14、12、16讓學生類推。學生經歷概括和演繹的雙向思維訓練，強化概念的認知，鞏固對十幾和20各數(shù)的概念。而在操作、觀察、探究、表達等互動游戲式的數(shù)學課堂活動中，學生對十幾的數(shù)的組成和對“十進制”計數(shù)法有一個較為深刻而牢固的認識，加深主體性的感受和體驗，達到趨于理解的深度學習程度。

可見，如此的教學不是簡單走程序的一般化教學所能比擬的。它涉及學生作為主體的觀察與思考的內外結合，認知與操作的雙向對應，對司空見慣的數(shù)學現(xiàn)象的探究拷問，并滲透歸納推理的思維訓練。一節(jié)“認識十幾”的教研課，就這樣促成了數(shù)學概念教研認知的生成與舒展。