觀形溯源探全等 悟圖抒感尋輔助

郭小蔚

摘? ?要：手拉手模型是常見的三角形全等模型，從線段或三角形旋轉(zhuǎn)構(gòu)建雙等邊三角形和雙等腰直角三角形兩個(gè)方面，談構(gòu)建手拉手全等模型輔助線添加方法，引導(dǎo)學(xué)生分辨題型，提高解題效率.

關(guān)鍵詞：手拉手全等型;輔助線

三角形是初中幾何的核心內(nèi)容.縱覽近幾年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題，在對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力和遷移能力的考查中，三角形全等問題成為主要的考核內(nèi)容，選擇題、填空題、證明題都有涉及全等三角形知識(shí)的考核，而且全等三角形越來越經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題部分，手拉手模型是全等三角形常見的模型，近幾年中考幾何壓軸題經(jīng)常出現(xiàn)手拉手的模型.

當(dāng)命題的題設(shè)無法直接得出結(jié)論時(shí)，就需要搭橋鋪路，構(gòu)建題設(shè)與結(jié)論的“小三通”——輔助線了.輔助線就成了連結(jié)題設(shè)與結(jié)論的快速通道.等腰三角形是特殊的幾何圖形，在解決全等三角形的有關(guān)問題時(shí)，常常添加輔助線構(gòu)造兩個(gè)共頂點(diǎn)的全等的等腰三角形，這兩個(gè)有共同頂角頂點(diǎn)的全等的等腰三角形俗稱“手拉手模型”.但由于含有手拉手條件的問題其輔助線作法靈活，不少學(xué)生難以掌握，本文就針對(duì)構(gòu)建手拉手全等模型談?wù)勢(shì)o助線的添加方法.

1? 線段或三角形旋轉(zhuǎn)構(gòu)建雙等邊三角形的手拉手的模型

1.1? 吟其題，觀其形，簡(jiǎn)圖在心中

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開圖形，而對(duì)圖形的掌握和利用又是學(xué)生的一個(gè)薄弱點(diǎn).中考復(fù)習(xí)中設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境，讓學(xué)生領(lǐng)悟、理解、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)全等構(gòu)建法，簡(jiǎn)圖在心中，這對(duì)學(xué)生來說是一種方向、一種創(chuàng)新，可使學(xué)生更熟練掌握構(gòu)建全等三角形輔助線的添加方法.

【例題1】江西省2018年中等學(xué)校招生考試24題

菱形ABCD中，∠ABC=60°，P為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ΔAPE，點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是______________，CE與AD的位置關(guān)系是______________ .

（2）當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明;若不成立，請(qǐng)說明理由（請(qǐng)選擇圖2，予以證明或說理）.

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE，若AB=2，BE=2，求四邊形ADPE的面積.

引導(dǎo)學(xué)生吟題觀形，本題存在共頂點(diǎn)的線段AP，AE，等邊ΔAPE及∠ABC=60°，學(xué)會(huì)一邊讀題，一邊從復(fù)雜的圖形中抽象出自己熟悉的基本圖形，如圖4的圖4-1，本題的第（1）小題有明顯的提示語：BP與CE的數(shù)量關(guān)系是什么？證明線段相等在初中階段最常用的方法就是證明三角形全等，再觀察可發(fā)現(xiàn)，本題小題與小題之間的關(guān)系是并列關(guān)系，第（2）（3）小題E在菱形ABCD外，圖形雖然變了，但是解題方法可以延續(xù)，一樣連結(jié)AC，構(gòu)建共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明ΔBAP與ΔCAE全等即可得證.

發(fā)現(xiàn)基本圖形，連結(jié)AC構(gòu)建成完整的手拉手模型，再證ΔBAP與ΔCAE全等，第（2）小題和第（3）小題E點(diǎn)在菱形ABCD外部，雖然圖形沒有完全一樣，但究其根本還是手拉手全等型，剝離出本題的基本圖形如圖4-2，圖4-3所示，延續(xù)第（1）小題的輔助線方法，SAS證全等一樣可以解決問題.本題是2018年江西中等學(xué)校招生考試24題，處于倒數(shù)第二題的位置，輔助線的構(gòu)建是解題的關(guān)鍵.

1.2? 探其源，感其情，形美在題中

探索題設(shè)與結(jié)論之間的快速通道，釋題、析圖、變換、組合，尋其根本，揭示問題的本質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)美的探究與教育，回歸教材是關(guān)鍵，即使學(xué)生并不能完全說明原題是教材的哪些題目的改編題，但是教師給予他們關(guān)注的視角與路徑，學(xué)生在耳濡目染中，會(huì)更關(guān)注圖形，從圖形中發(fā)現(xiàn)教材中的基本圖形，回歸基礎(chǔ)，能夠領(lǐng)悟到圖形美，盡管圖形復(fù)雜，但心有靈犀一點(diǎn)通.能有意識(shí)地套用基本圖形，逢山開路，遇水搭橋，構(gòu)建輔助線，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題.

【例題2】2018年廣州市初中畢業(yè)生考試第25題

如圖5，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=AC

（1）求∠A+∠C的度數(shù);

（2）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（3）若AB=1，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足AE2=BE2+CE2，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

本題是2018年廣州市初中畢業(yè)生考試的最后一題，題目簡(jiǎn)練，圖形干凈，很多全等三角形知識(shí)貯備提取障礙的同學(xué)只做了第（1）小題后直接放棄對(duì)第（2）小題，第（3）小題的探索，當(dāng)然，也有一小部分同學(xué)即使在第（2）小題輔助線不會(huì)添加，但結(jié)合了第（3）小題的AE2=BE2+CE2寫出了第（2）小題的結(jié)論.這道壓軸題雖然題目精練，但圖形特征明顯，標(biāo)記一：∠B=60°，標(biāo)記二：AB=BC，如果根據(jù)第（2）小題連結(jié)了BD，那么特征就更明顯了，ΔBCD就出現(xiàn)了，四邊形的問題又轉(zhuǎn)化為三角形來研究，根據(jù)題目標(biāo)記一：∠B=60°，標(biāo)記二：AB=BC，典型的的手拉手“殘疾”模型，把線段BD逆時(shí)針（順時(shí)針也行）旋轉(zhuǎn)60°，構(gòu)建如圖6.

筆者瀏覽了大量試題發(fā)現(xiàn)，解答題中的小題與小題之間的關(guān)系基本是這兩種情況：一是小題與小題之間是遞進(jìn)關(guān)系，第（1）小題為第（2）小題服務(wù)，第（2）小題為第（3）小題服務(wù);二是小題與小題之間是并列關(guān)系，題與題之間圖形不同，條件不同，但是題與題之間延續(xù)的是相同的方法.

本題的第（3）小題與第（2）小題就是并列關(guān)系，第（3）小題可以延續(xù)第（2）小題的方法再構(gòu)建一個(gè)手拉手全等型.

把BE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BF，連結(jié)線段AF，AE，EF，如圖7，易得ΔBEF是等邊三角形， ΔBFA≌ ΔBEC，

∴CE=AF .

∵AE2=BE2+CE2，

∵AE2=EF2+AF2，

∴∠AFE=90°.

∵∠BFA=∠BFE+∠AFE=60°+90°=150°.

∵∠BEC=150°，

E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng).

∴E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心的劣弧BC上，不包括端點(diǎn)B，C，

∴l(xiāng)弧BC==.

本題題目的背景雖然是四邊形問題，但是學(xué)生如果對(duì)構(gòu)造手拉手模型的應(yīng)用不是很熟練的話，要做這個(gè)壓軸題就有一定的難度了。

1.3? 悟其美，抒其感，輔助在手中

全等三角形給予學(xué)生數(shù)學(xué)美的享受，作為初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，三角形引領(lǐng)學(xué)生由淺入深，開啟數(shù)學(xué)美的旅程，隨著中考復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生有意識(shí)地在題設(shè)與結(jié)論之間建立條件反射弧，提煉圖形美，完成基本圖形構(gòu)造.

【例題3】（2019年龍巖市九年級(jí)學(xué)業(yè)（升學(xué)）質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題第16題）

如圖8，ΔABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=5，P是ΔABC 內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為_______.

這道題其實(shí)是一個(gè)費(fèi)馬點(diǎn)問題，要讓PA+PB+PC取得最小值，常規(guī)解法是讓PA+PB+PC連成一條線段，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求出最小值.對(duì)于不熟悉費(fèi)馬點(diǎn)的學(xué)生來說，這題也有特征性的語言，∠ABC=30°，本題是填空題壓軸題，很多考生選擇放棄，其實(shí)這題我們一樣可以把ΔBAP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得ΔBED，如圖9易得：

PA+PB+PC（min）

=

=.

2? 線段或三角形旋轉(zhuǎn)90°構(gòu)建雙等腰直角三角形的手拉手的模型

2019年南平質(zhì)檢的第8題也是一個(gè)手拉手模型，

【例題4】如圖10，在等腰直角ΔABC中，∠ACB=90°，D為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到CE，連接BE， 若∠DAB=10°，則∠ABE是（? ? ? ）.A.75 °? ? ? ?B. 78°? ? ? C. 80°? ? ?D.92°

這題在2019年南平質(zhì)檢第8題的位置，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)ΔCBE≌ ΔCAD，從而得出∠ABE=80 °.

【例題5】福建省漳州市2019年初中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第10題

如圖11，正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，BH⊥AE于點(diǎn)G，連接OG，則下列結(jié)論中

①OF=OH? ? ? ? ? ②ΔAOF∽ΔBGF，

③ tan∠GOH=2? ④FG+GH=GO，正確的個(gè)數(shù)是（? ? ? ）.

A. 1? ? ? B. 2? ? ?C. 3? ? ? ?D.4

本題是漳州市2019年初中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)的第10小題，是選擇題的壓軸題，第①②小題利用三角形相似很容易得出，但大多考生對(duì)③④束手無策，如果考生們把第①的OF=OH線段相等作為特征一，把正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD的夾角為90°作為特征二，又是一個(gè)手拉手殘疾型，過O作OM⊥OG交AG于M，構(gòu)建 ΔMOF≌ ΔGOH，如圖12，可得三個(gè)結(jié)論：MF=GH，OM=OG，∠OMG=45°，再由MF+FG=GH+FG=GO，可證明結(jié)論④是正確的.

由 ΔMOF和 ΔBFE組成的8字形可得：∠MOF=∠ABC.

∴tan∠GOH=tan∠AEB===2.

又如：已知：如圖13，AB=1，BC=2，AC=DC，AC⊥DC，A為動(dòng)點(diǎn)，求線段BD的最大值.

本題同樣具備兩個(gè)顯著特征：

特征一：AC=DC.

特征二：AC⊥DC.

又是一個(gè)手拉手殘疾型，如圖14，過C作CE⊥BC，連結(jié)AE易證ΔACE≌ ΔDCB（SAS）.

當(dāng)A，B，E三點(diǎn)共線時(shí)，線段BD取得最大值2+1.

數(shù)學(xué)的尋美之旅須回歸課本，應(yīng)追根溯源，觀其形，探其源，感其美，圖形深深處，我自探其美 ，而這一系列尋美悟美的動(dòng)作之后，終歸要回到實(shí)踐中，學(xué)生面對(duì)試題由“停杯投箸不能食，拔劍四顧心茫然”到“舉杯握箸盡入禳，提筆一揮解疑難”的完美解題境界. 數(shù)學(xué)課堂上引領(lǐng)學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)與探究，能激發(fā)學(xué)生對(duì)幾何輔助線的探索熱情.加強(qiáng)審“美”體驗(yàn)，提升審“美”情趣，喚起對(duì)圖形探究的欲望.引領(lǐng)他們?nèi)グl(fā)掘圖形背后的美，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形的關(guān)注與敏感，激發(fā)潛能，啟迪智慧，增強(qiáng)趣味，內(nèi)化圖形，直至吸引他們?nèi)ミ\(yùn)用，去尋找 .

全等三角形是研究圖形的重要工具，手拉手模型又是近年中考常見模型，尋找共端點(diǎn)的兩條等長(zhǎng)線段，尋找題目中隱含的60°、90°角，以其中的一條線段旋轉(zhuǎn)60°，90°度構(gòu)建全等三角形，可能就是有效解決問題的途徑.

深挖題設(shè)中的隱含條件，發(fā)現(xiàn)圖形秘密，添加輔助線構(gòu)建特殊的等腰三角形全等，能快速解決線段相等、角相等問題，所以找準(zhǔn)觸點(diǎn)，幾何也能令人怦然心動(dòng).

總之，圖形的探究與學(xué)習(xí)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，教師在幾何的教學(xué)中，注重方向的引領(lǐng)，勿過多越俎代庖，多方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“趣”境，在熏陶感染中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形的思考與體驗(yàn)，讓學(xué)生受到啟迪，感受數(shù)學(xué)美，留足空間、留夠時(shí)間讓學(xué)生自己探究，讓學(xué)生自己去收獲成功的喜悅.