基于Kriging 代理模型的大直徑運載火箭蒙皮桁條結構分步優化方法研究

吳 棟，王志祥，劉觀日，張大鵬*，雷勇軍

(1. 國防科技大學空天科學學院，長沙410073； 2. 北京宇航系統工程研究所，北京100076)

1 引言

薄壁加筋圓柱殼結構是航空航天結構中常見的結構形式，蒙皮桁條結構是其中一種典型的結構。 現有運載火箭型號中約有80%的箭體艙段采用了整體加筋和桁條加強的薄壁殼體結構，如運載火箭的級間段蒙皮桁條和貯箱等結構[1-2]。針對蒙皮桁條結構開展優化設計能減輕運載火箭箭體的結構質量，并且對提升運載火箭的可靠性、安全性和發射成功率有著重要意義。

近年來，研究人員基于層級設計理念[1-3]開展了大量多級加筋結構承載能力和優化研究。Wang 等[4]提出了一種多級加筋板結構，并對該結構開展了軸壓作用下極限承載能力和缺陷敏感性的研究；Wang 等[5]和郝鵬[6]提出了考慮初始幾何缺陷的薄壁加筋圓柱殼結構在軸壓作用下極限載荷的預測方法，并基于該方法提出了考慮幾何缺陷的薄壁加筋圓柱殼結構的優化設計方法；范書群等[7]基于有限元方法，提出一種半硬殼結構框-桁匹配設計方法；張鐵亮等[8]基于代理模型對加筋板的布局進行優化；張柱國等[9]基于進化Kriging 模型的優化方法對金屬加筋板的尺寸和布局進行設計；郝鵬等[10]基于徑向基函數代理模型，提出一種蒙皮桁條結構新型減輕孔設計。

10 m 級重型運載火箭對結構減重有較大的需求，同時尺度效應又增加了設計難度。 目前，針對10 m 級重型運載火箭薄壁加筋圓柱殼結構的輕質優化研究較少。 本文以10 m 級重型運載火箭的結構輕質優化設計為背景，以大直徑運載火箭級間段蒙皮桁條結構為研究對象，基于Python語言建立蒙皮桁條結構參數化模型，采用顯式非線性動力學算法分析結構的后屈曲狀態，分析不同蒙皮網格規模對計算精度和計算效率的影響規律；針對蒙皮桁條結構優化中涉及連續的尺寸優化以及離散的拓撲優化問題，對優化變量進行合理分組，提出基于Kriging 代理模型和組合優化算法對蒙皮桁條結構進行分步優化，以獲得不同截面形式桁條下的最優結構形式。

2 蒙皮桁條結構后屈曲分析

2.1 蒙皮桁條結構有限元建模

蒙皮桁條結構由蒙皮、桁條、中間框和端框組成。 蒙皮內側沿著軸向均勻分布4 個“Π”型截面的中間框，2 個“L”型截面的端框。 蒙皮外側沿著環向均勻分布若干根桁條，蒙皮桁條結構的幾何模型如圖1 所示，端框、中間框截面如圖2 所示，桁條截面如圖3 所示。

圖1 蒙皮桁條結構幾何示意圖Fig.1 Geometric diagram of skinned truss structure

圖2 端框和中間框截面示意圖Fig.2 Schematic diagram of the end frame and the middle frame

圖3 桁條截面示意圖Fig.3 Schematic diagram of truss

基于Python 語言建立蒙皮桁條結構的參數化模型。 由于蒙皮桁條結構使用較薄的蒙皮和桁條，結構上體現為板殼特性，為了能夠準確模擬桁條局部截面平動和轉動，采用殼單元劃分網格[11]，桁條腹板高度方向劃分兩層單元。 在蒙皮與桁條、蒙皮與端框、蒙皮與中間框之間施加粘接約束。 為獲得軸壓作用下蒙皮桁條結構的極限載荷，分別在上下端面建立參考點，并與相應端面節點建立多點耦合約束單元，對下參考點施加固支約束，上參考點約束除軸向位移外的其他自由度，勻速施加35 mm 強制位移。 模型選用鋁合金材料，鋁合金材料的彈性模量為70 GPa，泊松比為0.3，密度為2.78×10-6kg/mm3，屈服應力為440 MPa，強度極限為550 MPa，延伸率為6%。

2.2 蒙皮桁條結構后屈曲分析

對于軸壓作用下的薄壁加筋圓柱殼結構，一般情況下，允許蒙皮在較小的載荷下發生局部失穩。結構的極限承載能力是由結構的后屈曲狀態決定的，相較于弧長法和隱式非線性算法，顯式非線性動力學算法能很好地跟蹤軸壓載荷下薄壁加筋圓柱殼結構的后屈曲行為[12]。 本文采用顯式非線性動力學算法分析蒙皮桁條結構的后屈曲狀態。

使用較粗的單元劃分網格會使計算結果誤差較大，較細的單元劃分網格會導致結構分析計算量加大[13]，需要合理地設置網格規模。 為了準確反映蒙皮失穩模態，需分析蒙皮網格規模對顯式非線性動力學算法的影響。 采用如表1 中所示的結構初始設計參數，得到3 種蒙皮網格規模對結構極限載荷的影響規律，如表2 所示。 隨著蒙皮網格規模的提升，結構的極限載荷減少，表明網格的細化導致計算誤差減小，計算精度提高，同時計算耗時相應增加。 筋格內網格數為4×23 與4×31相比，極限載荷計算結果相差0.56%，但計算耗時減少了1.3 倍。 綜合考慮計算精度和計算效率，在后續計算中采用筋格內網格數量為4×23的蒙皮網格，如圖4 所示。

表1 蒙皮桁條結構初始設計參數【注】Table 1 Initial design parameters of skinned truss structure

3 基于Kriging 代理模型和組合優化算法的分步優化策略

3.1 優化問題描述

蒙皮桁條結構的輕質優化包含拓撲優化、尺寸優化和幾何優化[14]。 拓撲優化是優化桁條的數量；尺寸優化是優化單元的截面尺寸；幾何優化是優化各結構的截面形狀[14]，使其在滿足承載能力需求的前提下通過改變截面形狀提升結構的性能。 具體可以描述如式(1)所示：

其中，xHT為桁條參數， xHTmin為桁條各參數的下限，xHTmax為桁條各參數的上限；xZJK為中間框參數，xZJKmin為中間框各參數的下限， xZJKmax為中間框各參數的上限； xe＝0 表示“Π”型截面桁條，xe＝1 表示“I”型截面桁條，f(x) 為結構的質量表達式，Fcr為結構的極限載荷，Fcr*為結構的設計載荷。

3.2 Kriging 代理模型

在構建代理模型前，需選取樣本點，通過后屈曲分析得到樣本點的結構質量和極限載荷。 試驗設計決定了構建代理模型的樣本點規模和空間分布情況[9]。 本文采用試驗設計中的優化拉丁超立方抽樣方法選取樣本點。 該方法具有良好的空間填充性和均勻性。 大多數試驗設計方法中試驗次數與因素個數成比例或指數增加，而優化拉丁超立方抽樣方法的試驗次數等于水平數，適用于影響因素較多的情況，能顯著減少試驗次數[9]。

表2 不同蒙皮網格規模下結構整體失穩位移云圖Table 2 Collapse displacement fringes in different skinned grid scale

圖4 筋格內的網格數為4×23Fig.4 The number of grids in the rib is 4×23

代理模型利用已知樣本點的輸出值來預測未知點的輸出值。 目前常用的代理模型有響應面模型、徑向基函數代理模型、Kriging 代理模型和神經網絡代理模型。 當問題的非線性程度較高時，多使用Kriging 代理模型[9]。 Kriging 模型是一種空間局部插值的方法，其基本思想是對已知函數進行加權來估計未知函數，并使得估計值與真實值之間的方差最小且數學期望相同的一種方法[15]。

設x0為未觀測的需要估值的點，x1，x2，…，xN為周圍的觀測點，觀測值相應為y(x1)，y(x2)，…，y(xN)。 未觀測點的估計值記為~y(x0)，它由相鄰觀測點的已知觀測值加權求和得到[16]，如式(2)所示：

其中，λi為待定的加權系數。

采用R2檢驗作為代理模型近似能力的評價標準，R2的表達式如式(3)所示：

其中，[xi，y(xi)] 為待驗證樣本點，s(xi) 為代理模型xi處的預測值， ˉy 為待驗證樣本點輸出的平均值。 R2的取值范圍在[0，1]之間，且值越大(越接近于1)，擬合的精度越高，當R2＞0.9 時，可認為代理模型具有足夠高的擬合精度。

3.3 分步優化策略

在蒙皮桁條結構中，桁條是承受軸向力的主要結構，它提升了蒙皮的受壓、受剪失穩臨界應力；中間框通過支撐縱向桁條以提高桁條穩定性并增加結構徑向剛度，從而提高蒙皮桁條結構的承載能力。 范書群等[7]對大直徑火箭半硬殼結構框-桁匹配性研究表明，桁條在兩框中間發生彎曲失穩時，中間框也同時失穩，此時結構為最優設計形式。 因此在第一步對桁條結構參數進行優化設計時，中間框設計得足夠強，以確保桁條在兩框之間發生失穩破壞。 在第二步優化時，基于桁條結構參數優化結果，對中間框結構參數進行優化，具體流程如圖5 所示。 其總體思想是利用試驗設計方法選取樣本點，為縮短設計周期，利用高性能計算機群對樣本點進行后屈曲分析得到其結構質量和極限載荷，根據樣本點的輸入-輸出關系構建Kriging 代理模型。 對蒙皮桁條結構參數進行合理分組后，采用基于多島遺傳算法(Multi-Island Genetic Algorithm， MIGA)和修正可行方向算法(Modified Method of Feasible Directions， MMFD)的組合優化算法對蒙皮桁條結構進行分步優化。組合優化算法能充分發揮全局優化算法和梯度優化算法的優勢，在全局空間內高效、準確地找到最優解。

本文研究主要耗時集中在對構建代理模型所需的初始樣本點的有限元計算上，采用高性能計算機對單個樣本點進行單次有限元計算耗時約20 分鐘。 為縮短計算耗時，提高優化效率，本文基于高性能計算機群并行計算多個初始樣本點，對初始樣本點的后屈曲分析時間減少了約3/4，能極大地縮減設計周期。

圖5 優化流程圖Fig.5 Flow chart of optimization

4 蒙皮桁條結構輕質優化算例

表3 蒙皮桁條結構參數變化范圍Table 3 Parameter range of the skinned truss structure

4.1 桁條選型及參數優化

優化后的桁條結構參數相對初始值的變化量如圖6 所示，橫坐標中Mass 代表蒙皮桁條結構的質量。 可以看出，進行優化后，相較于初始設計結構，“Π”型截面桁條的結構質量減輕了6.3%，而“I”型截面桁條的結構質量減輕了2.9%，說明“Π”型截面結構的承載效率更高。 因此，選取“Π”型截面桁條進行后續的優化研究。

4.2 中間框參數優化

圖6 優化后的桁條結構參數相對變化量Fig.6 Relative change of structural parameters of optimized trusses

對中間框結構參數進行優化后，優化后的蒙皮桁條結構參數、質量和極限載荷相對初始值的變化量如圖7 所示。 可以看出，優化后的蒙皮桁條結構相較于初始設計結構，質量減輕16%，減重效果明顯。 優化后蒙皮桁條結構位移-載荷曲線如圖8 所示，結構極限載荷為7.01×104kN，大于結構的設計載荷， 說明優化后的蒙皮桁條結構的承載能力滿足要求。

圖7 優化后的蒙皮桁條結構參數相對變化量Fig.7 Relative changes of structural parameters of the skinned trusses

圖8 蒙皮桁條結構位移-載荷曲線Fig.8 Displacement-loading curve of skinned trusse structure

5 結論

本文針對蒙皮桁條結構輕質優化設計中變量類型眾多且有限元分析耗時長的問題，采用基于Kriging 代理模型和組合優化算法的分步優化策略開展優化研究。 主要結論如下：

1) 計算耗時隨著蒙皮網格規模增加而增加。當蒙皮網格達到一定規模時，提升網格規模，極限載荷的計算結果相差較小。 綜合考慮計算精度和效率，采用筋格內網格數量為4×23 的蒙皮網格；

2) 采用高性能計算機群對初始樣本點進行并行計算，計算耗時減少了約3/4，極大地縮減了設計周期；采用組合優化方法能充分發揮全局優化算法和梯度優化算法的優勢，便于在全局空間更快找到最優解，二者綜合使優化效率得到提升；

3) 相較于“I”型截面桁條的蒙皮桁條結構，“Π”型截面結構承載效率更高；

4) 相較于初始設計，優化后的蒙皮桁條結構減重16%，且滿足承載能力要求，驗證了所提方法的有效性。

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