中考里的“冪的運(yùn)算”

鄧法珍

學(xué)習(xí)了本章內(nèi)容，同學(xué)們已經(jīng)知道，與冪有關(guān)的運(yùn)算有：同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪相除。在近幾年的中考試題中，冪的運(yùn)算作為解決整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，已成為中考中不可或缺的內(nèi)容，相關(guān)題型有選擇題、填空題，也有簡(jiǎn)答題、閱讀理解題和新定義題。下面，我們以一些地區(qū)的中考題為例進(jìn)行分析，希望同學(xué)們能靈活運(yùn)用運(yùn)算公式，注意公式的逆用。

例1 （2019·南京）計(jì)算（a²b）³的結(jié)果是（）。

A.a²b³B.a⁵b³C.a⁶b D.a⁶b³

【解析】題目的字越少，我們?cè)叫枰J(rèn)真審題，在閱讀時(shí)放慢速度，找準(zhǔn)與題目對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，提高解題的正確率。本題考查了積的乘方和冪的乘方，只要準(zhǔn)確使用公式就能輕松解決。冪的乘方公式：（a^m）ⁿ=a^mn（m，n為正整數(shù)）;積的乘方公式：（ab）ⁿ=aⁿbⁿ（n為正整數(shù)）。本題應(yīng)先算積的乘方，再算冪的乘方。部分同學(xué)由于沒有看清題目，以為只對(duì)b進(jìn)行乘方就行了，而忘了a²也要乘方。

解：（a²b）³=a⁶b³。故本題選D。

【點(diǎn)評(píng)】解決中考中有關(guān)冪的運(yùn)算的選擇題或填空題，要關(guān)注題目的條件。一般情況下，要多讀幾遍題目，確定選擇四種運(yùn)算中的哪一種或哪幾種組合，理清運(yùn)算的順序，這樣就可以有效防止主觀性錯(cuò)誤的發(fā)生。

例2 （2015·閬中模擬）在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，如何求1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+…+1/2ⁿ的值（結(jié)果用n表示）？

【解析】我們?cè)谧鲱}時(shí)，方法的選擇非常重要。適切的方法往往可以使解題事半功倍，變得輕松。雖然“冪的運(yùn)算”是代數(shù)知識(shí)，但構(gòu)造圖形能直觀形象地解釋公式，驗(yàn)證定理，在一定程度上豐富了解決問題的策略。本題中，求原式的值有不同的方法，如果構(gòu)造圖形，數(shù)形結(jié)合，能更直觀有效，而剖分圖形面積則是構(gòu)造圖形的關(guān)鍵。

方法一：設(shè)計(jì)如圖1所示的正方形，將正方形的面積記作單位“1”。第一次取其面積的一半為1/2，第二次取剩余一半面積的一半為1/2²，第三次取剩余四分之一面積

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)解題能力的提升，不能依靠題海戰(zhàn)術(shù)。同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)做題過程中，要學(xué)會(huì)提煉解題方法和思想，合理選擇解題方法。有時(shí)將代數(shù)問題幾何化，將幾何問題代數(shù)化，換一個(gè)思考問題的角度，就會(huì)有驚喜。對(duì)于本題，我們既可以設(shè)計(jì)圖形來解決（除了方法一，在同一個(gè)正方形中，還有其他圖形設(shè)計(jì)方法），也可以從代數(shù)法入手，用“擴(kuò)倍相消”的方法解決。

例3 （2019·安順）閱讀以下材料：

對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾。納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系。對(duì)數(shù)的定義：

【點(diǎn)評(píng)】本題在考查同底數(shù)冪的乘、除法的同時(shí)，還融入了數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)常識(shí)。解此題的關(guān)鍵是明確新定義，明白指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的關(guān)系。“冪的運(yùn)算”這一章公式比較多，靈活應(yīng)用是關(guān)鍵。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)華羅庚實(shí)驗(yàn)學(xué)校）