“冪的運算”中的數學思想

吳亞平

數學思想方法是數學的精髓，是將數學知識轉化為數學素養的橋梁。在冪的運算中，同學們如果掌握了冪的運算法則及性質，再理解了數學思想方法，解題時思維會更加靈活，解題過程也會更加簡潔優化。

一、轉化思想

轉化思想是數學常用的思想方法之一，就解題的本質而言，是把陌生的問題轉化為熟悉的問題，把復雜的問題轉化為簡單的問題的一種思想方法。對于冪的大小的比較，轉化思想的應用尤其明顯。

例1 比較3⁵⁵、4⁴⁴、5³³的大小。

【解析】這三個數的底數不同，指數都是11的整數倍，故可先逆用冪的乘方的運算性質，將這三個數轉化成指數相同的冪，然后再通過比較底數的大小來比較冪的大小。

【解析】這三個數的指數不同，底數16、8、4都可以轉化成2的乘方的形式，故可將這三個數分別化成以2為底的冪，然后再通過比較指數的大小來比較冪的大小。

二、分類討論

每個數學結論都有其成立的條件，每種數學方法的使用也往往有其適用范圍，因此就需要我們把所求問題分成若干類，然后轉化為若干個小問題來解決，這就是分類討論思想。在冪的運算中，當我們遇到有關冪為1的問題時，就要利用分類討論思想，對每種情況逐一進行考慮。

例3 若（2x-1）^2x+2=1，求x的值。

【解析】因為1的任何次冪是1，-1的偶數次冪是1，任何非0數的0次冪也是1，因此我們要分三種情況進行考慮。

三、逆向變換

逆向變換思想在“冪的運算”這章內容中的體現，是將一些計算公式逆向運用。逆用冪的乘方運算、同底數冪的乘法的運算性質，對所求式子進行變形，往往能拓展解題思路，從而使運算簡便。

例4 計算（-0.25）²⁰¹⁹×4²⁰²⁰。

【解析】我們觀察這兩個冪的底數，-0.25與4是互為負倒數關系，兩者之積為-1，于是可聯想到積的乘方運算性質的逆用。但兩個冪的指數又不一樣，因此我們可逆用同底數冪的乘法運算性質，得4²⁰²⁰=4²⁰¹⁹0×4。這樣問題就被巧妙解決了。

四、整體思想

整體思想就是通過研究問題的整體形式、結構、特征，對問題進行細心觀察和深入分析，找出整體與局部的聯系，從整體上把握問題，進而解決問題的一種思想方法。

例5 若x+3y-4=0，求3^x·27^y的值。

[解析]要求3^x·27^y的值，只需知道字母x和y的值。但一個方程x+3y-4=0有兩個未知數，顯然這樣的x和y無法確定。我們可抓住所求式子進行考慮，先化為同底，再利用整體思想來解決。

總之，在解題中滲透數學思想方法后，可在不同程度上降低題目的難度，原先無從下手的題目也都迎刃而解了。“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化。提高數學素養的核心就是提高對數學思想方法的認識和運用的能力，數學素養的綜合體現就是“能力”。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區華羅庚實驗學校）