巧轉化 助解題

文蔡麗莉

在學習“冪的運算”這一章內容的過程中，有些同學會遇到這樣的問題，就是記得運算公式，卻總做不對題目。導致這種情況出現的原因，主要有以下兩點：一是對冪的定義的內涵理解不夠，把計算方法（公式）弄混淆；二是解題思路不明確，拿到題目后，無從下手，只能憑感覺做題。還有一些同學，牢記冪的運算特征，對于基本運算方法和公式的直接運用，比如同底數冪相加減，同底數冪的乘除、乘方等問題，能夠解決，但遇到不符合上述運算特征的問題時，卻很困惑，束手無策。這些問題是同學們在學習“冪的運算”的過程中遇到的最常見的困難，解決的方法就是“轉化”。轉化兩個冪的底數或指數，使兩個冪符合相應的運算條件。下面，我們就一起來探討“冪的運算”中常見的轉化方法。

一、化為底數相同

如果兩個冪的底數不同，在運算中，我們可以把這兩個冪化成同一個底數的冪的形式。我們可以用冪的乘方公式（am）n=amn，把不同底數的冪化作同底數冪。

例1計算：9a+1×272a。

【解析】算式中的兩個冪的底數不同，不滿足冪的乘法公式的條件，故需要轉化。我們觀察底數9和27，它們分別是3的2次冪和3次冪，這說明這兩個冪可以把底數都化成3。

解：9a+1×272a

=（32）a+1×（33）2a

=32a+2×36a=38a+2。

二、化為指數相同

1.當兩個冪的指數相近時，我們可以反用積的乘方公式am+n=am·an，把含較大指數的冪寫成兩個冪的積，并使其中一個冪的指數和指數最小的冪的指數相同。

例2 計算：1038-1036。

【解析】因為冪的減法運算要求參與運算的冪的指數和底數皆相同，而算式中兩個冪的底數已經相同了，所以只需要把它們的指數化成相等的即可。我們注意到，指數38和36很接近，可以把它們都化成含有指數36的指數。

解：1038-1036

=102×1036-1036

=（102-1）×1036

=99×1036

=9.9×1037。

2.當兩個冪的指數不相近時，我們可以反用冪的乘方公式amn=（am）n，把這兩個冪的指數化成它們的最大公約數。

例3 計算：636÷324。

【解析】算式中的兩個冪不符合冪的乘除運算的特征，故需要轉化。注意到它們的底數不具備化成同底數冪的條件，指數又不相近，我們可以考慮把指數化成這兩個冪的指數的最大公約數。

解：636÷324

=（63）12÷（32）12

=21612÷912

=（216÷9）12

=2412。

3.求有關冪的等式中的未知數。

兩個相等的冪的底數相等時，它們的指數也相等，如已知a2=ax，則x=2；兩個相等的冪的指數相等時，它們的底數不一定相等，如已知3a=xa，則要對a進行討論；兩個相等的冪的底數和指數都不相同時，無法直接將有關冪的方程轉化為整式方程去求未知數的值，此時需要轉化兩個冪的底數或指數，使它們相同。當等式兩邊有多個冪時，需要依據運算符號進行運算，將等式先轉化成只含有兩個冪的等式后，再進行求解。

例4 若m滿足等式：4m-1×812=

【解析】因為等式兩邊共有三個冪，且字母m在指數上，故需要先計算出等號左邊的積，使等號兩邊各保留一個冪，然后再化底數相等，最后用指數相等列等式。

解：∵ 4m-1×812=（22）m-1×（23）12=22m-2×236=22m+34，

∴2m+34=4m，

∴m=17。

同學們要注意，學習“冪的運算”這一章時，牢記公式是解題的基礎，熟練掌握轉化底數和指數的方法是解題的關鍵。分析題目中冪的運算所需要的條件，可以明確解題思路；觀察冪的底數和指數的特點，可以明確解題的具體過程，從而提高解題的正確率。