一種Logistic-Fibonacci級聯的混沌映射及其性能分析

郭 媛,敬世偉,周艷艷，金 濤，金 梅

(齊齊哈爾大學 計算機與控制工程學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

0 引 言

1976年美國數學家May提出Logistic混沌映射，由于其簡單易于實現，又有非常復雜的動力學特性，受到學者們的研究，并在混沌加密中得到廣泛運用[1-5]。但Logistic混沌映射存在以下幾個問題：① 映射處于滿映射狀態的參數區間過小，遍歷性不好；② 生成的序列分布不均勻，出現“穩定窗”與空白區問題；③ 存在無窮多個不動點。如將其運用到混沌加密中會出現混沌序列不均勻、密鑰空間小、大量弱密鑰等問題。

針對以上問題,許多學者對Logistic進行了改進。文獻[6-10]中利用分段函數的思想解決了Logistic的遍歷性問題，使參數處于混沌的范圍有所增加，但生成的序列依舊不夠均勻。蔣夢軒等[11]也利用分段函數思想將參數范圍擴大，參數混沌范圍能達到[2 960,12 980]，擴大了密鑰空間，但未能解決Logistic序列分布不均勻，達不到滿映射的問題。楊鼎鼎等[12]、徐兵等[13]用一個值域上下限都接近4的函數代替Logistic的參數，使得改進后的Logistic參數范圍增大遍歷性有所加強，但是生成的序列依舊不能達到滿映射，同時分布也不均勻。文獻[14-17]中提出混沌間級聯以改善Logistic的混沌特性，適當的級聯增加了系統參數、擴展混沌映射和滿映射的參數區間,提高了混沌映射的初值敏感性，但是混沌與混沌的級聯仍然會出現空白區以及分布不是足夠均勻。劉睿[18]通過添加新的非線性調節項和控制參數提高了Logistic的均勻性和遍歷性，但對初值設置有一定要求，N為整數。范春雷等[19]利用Logistic與Arnold變換相結合解決了混沌系統數字化后受硬件影響出現的類短周期問題。這種方法生成的是二值序列，用在圖像加密與通信中需要再次處理。李頔等[20]運用直方圖均化法極大程度改進了Logistic的均勻性，但是參數范圍沒有擴大。同時以上這兩種改進方法過程都比較繁瑣耗時比較長。

本文提出來一種用Logistic與廣義三階Fibonacci級聯的簡易方案，將Logistic生成的序列作為廣義三階Fibonacci的動態參數。實驗結果表明,該改進方案生成的序列分布均勻、隨機性強，擴展了混沌映射參數區間，并且在整個區間內都能達到滿映射，混沌系統相關評價指標均優于以上幾種改進方法，同時為混沌加密應用增加了密鑰個數擴大了密鑰空間。

1 Logistic與廣義三階Fibonacci級聯

Logistic混沌映射表達簡單，易于實現，隨機性能良好，被廣泛應用于混沌保密通信的各個領域。該映射定義為

xn+1=μxn(1-xn),n=1,2,…

(1)

式中，當參數μ∈(3.57，4]范圍內時該混沌映射處于混沌狀態，其值分布在(0,1)區間。

Fibonacci數列具有簡單、快速、易于實現等特性，其表達式為：

Fn=Fn-1+Fn-2,n≥2,F0=0,F1=1

(2)

使用Fibonacci數列產生隨機數,由于序列本身存在顯著的相關性,所以需要對它進行改進,這樣才能滿足實際的需要。對經典的Fibonacci數列進行改進可以得到延遲的Fibonacci數列：

Fn+1=(Fn+Fn+p)modM

n=p,p+1,…,M

(3)

式中:M為常數;mod為取余運算。將Logistic與延遲的Fibonacci數列進行級聯,得到如下表達式：

Fn+1=(μ1Fn(1-Fn)+μ2Fn(1-Fn))mod 1

(4)

式中，μ1和μ2為控制參數。此級聯方式增加了系統參數，擴展混沌映射和滿映射的參數區間,但處于混沌的參數區間不能全部達到滿映射，產生的混沌序列也不夠均勻。

因此，采用Logistic與廣義三階Fibonacci級聯即L-F，克服Logistic產生的隨機序列的穩定窗與空白區問題，使得在參數μ處于混沌區間時能達到滿映射分布且更加均勻。廣義三階Fibonacci方程如下:

Fn=(AFn-1+BFn-2+CFn-3)modM

(5)

n=1,2,…

式中,A、B、C和M表示常數。

L-F的過程為：將Logistic生成的序列作為廣義三階Fibonacci中的A、B、C,每生成一個Fn換一組A、B、C值。為使F初值具有很好的敏感性，3個初值取同一值,即F1=F2=F3=intF。公式表示為

Fn=(x3n-1Fn-1+x3n-2Fn-2+x3n-3Fn-3)modM，

n=1,2,…

(6)

為將生成的數據與Logistic生成的數據范圍一致,便于對比，以及在加密通信中運用方便,再將生成的序列對1取余，即

Bn=Fnmod 1

(7)

2 性能分析

對L-F產生序列的隨機性、遍歷性、復雜度、初值敏感性、相關性、生成時間以及密鑰空間進行分析，同時與Logistic和其他改進方案進行對比。其中文獻[13]中的幾種級聯方式選擇Logistic與Logistic級聯形式，為了取得好的對比效果，令μ1=4，μ2和以后對比中取值μ相同。PC機配置：Intel(R) core(TM) i5-8500 CPU @ 3.00 GHz,內存8 GB，Win10 64位操作系統。通過Matlab 2016a編寫程序實現以下分析。

2.1 隨機性分析

2.1.1 頻數檢測

頻數檢測是為了保證二值序列中的0,1個數大致相等，也是數列具有隨機性的一個必要條件。計算過程先將隨機序列二值化，二值化公式如下：

(8)

再將二值化的二值序列代入頻數檢測公式

(9)

式中：n1為序列中為1的個數;n0為序列中為0的個數;n為序列長度。實驗初始取值x0=0.55,μ=3.8,M=191,intF=1，每種混沌映射進行10 000次迭代，實驗結果如表1所示。

表1 序列頻數檢測

由表1可見,每種映射都過了測試，但明顯看出本文的結果更接近理想值0，即隨機性更好。

2.1.2 直方圖

為更直觀地觀察系統輸出序列分布均勻情況，繪制了本文提出的L-F、傳統logistic和文獻[6，12，14]映射產生的直方圖,為便于觀察，將區間[0,1]分為50份做出直方圖，如圖1所示。

(a) 本文

(b) Logistic

(c) 文獻[6]

(d) 文獻[12]

(e) 文獻[14]

由圖1(b)、(d)可見，傳統Logistic和文獻[12]迭代生成的值在[0,1]之間有空白區，分布極不均勻。圖1(c)、(e)即文獻[6，14]雖能達到滿映射，但分布不夠均勻。本文提出的方案分布更均勻，體現了更強的隨機性，彌補了Logistic混沌序列分布不均勻的缺點，更符合應用于混沌保密系統的要求。

2.2 分岔圖

分岔圖通常用來直觀反映混沌迭代序列數值分布與參數μ之間的二維關系。將本文提出的L-F分岔圖與傳統Logistic和文獻[6,11,14]映射分岔圖進行對比，結果如圖2所示。

(a) 本文

(b) Logistic

(c) 文獻[6]

(d) 文獻[12]

(e) 文獻[14]

由圖2(b)可見,傳統Logistic映射穩定窗口范圍均小于[0,1]存在空白區；由圖2(c)、(e)知，用分段函數的方式和兩Logistic級聯解決了這個問題,但參數μ的滿映射范圍不連貫,范圍比較小；圖2(d)顯示用接近4的函數替代參數μ函數，只能無限接近4卻不能達到4,導致了整個序列都不能達到滿映射。本文提出的L-F方案很好地解決了這個問題,由圖2(a)可以看出，在參數μ處于混沌范圍內迭代數值都映射在整個[0,1]區間，具有更好的遍歷性，同時處于滿映射的參數范圍寬、連續。

2.3 吸收子

混沌運動在相空間中的軌道通常被稱為“吸引子”，吸引子的復雜程度決定了混沌系統的動力學特征，研究吸引子是了解一個混沌系統的重要途徑。對本文提出的L-F吸引子進行三維點式仿真，選取初值x0=0.55，intF=1，M=191,分岔參數μ=3.8。以同樣的仿真方法對傳統Logistic映射以及文獻[6,12,14]吸引子進行分析對比仿真，結果如圖3所示。

由圖3(b)、(c)、(e)可見，Logistic、分段Logistic、Logistic與Logistic級聯的三維相圖都為彎曲的軌道線，圖3(d)即文獻[11]由于引入放大因子1/n和用一個值域接近4的函數代替了參數μ，使得值分布更加廣泛，值的范圍與生成序列長度相關，使文獻[11]的值范圍更廣分布復雜度增加。本文提出的方案運動軌跡在整個空間出現無規律分布。對圖3分析可知,本文提出的L-F吸收子呈現出更高的復雜度，可有效降低通過相空間逆推等手段破譯序列的可能，從而更適合應用于混沌保密系統。

(a) 本文

(b) Logistic

(c) 文獻[6]

(d) 文獻[12]

(e) 文獻[14]

2.4 初值敏感性

所謂初值敏感指混沌系統初始值即使僅有微小差別，經過數次迭代后，系統軌跡也會發生重大變化。將本文提出的L-F映射和其他改進方案的初值敏感性進行對比，計算出初值相差10-11的兩序列相關性系數如表2所示(結果保留小數后4位)。兩序列相關系數越接近0，相似度越低，即兩序列差異越大初值敏感性更高。在參數μ=3.8、初值x0=0.55產生一個長度為10 000的序列xn、在初值為z0=0.55+10-11產生一個長度為10 000的序列zn。本方案另一初值intF=1，改變量也為10-11。相關性系數公式如下：

(10)

表2 相關系數比較

由表2可見,本文提出的L-F的相關系數明顯更接近0，說明其差異性更大,初值敏感性更好。從圖4可見,本文提出的方案的兩序列產生很大差異，有較好的初值敏感性。綜上所述,L-F在初值僅僅差10-11的情況下在多次迭代后，兩個序列便會產生很大的差異，說明本文提出的方案有很好的初值敏感性。

(a) x初值

(b) int F初值

2.5 生成時間對比

由于Logistic的簡單易行，生成序列時間較短，在圖像加密通信中被大量運用。對Logistic改進一定要保留Logistic的快速性。下面對幾個經典混沌系統以及改進的和傳統Logistic在生成106個數值的時間進行對比:Logistic 0.067 250 s,本文0.312 428 s,文獻[19]64.168 217,文獻[20]0.782 680 s,量子Logistic 0.420 320 s,耦合帳篷混沌0.572 875 s,Lorenz混沌7.636 900 s。其中文獻[19]進行40次Arnold迭代?？梢?，本文提出的L-F在生成同等長度序列的情況下，較其他文獻的改進方案要快，同時也比一些經典的其他混沌系統要快，因此本方案在快速生成一個序列還是可行的。

2.6 相關性

相關性分析是混沌映射一個重要的衡量標準，混沌序列的自相關函數定義為:

(11)

互相關函數定義為:

(12)

(a) 互相關

(b) 自相關

由圖5(a)可以看出,初值相差10-11的兩序列相關系數非常低接近0。通常認為相關系數在0±0.09沒有相關性，而本文相關系數在0±0.05可認為L-F產生的兩序列沒有相關性。由圖5(b)可見,自相關曲線呈現δ形，說明本文提出的L-F映射產生的序列有良好的自相關性。

2.7 密鑰空間分析

密鑰分析是混沌保密系統的一個必要環節，只有密鑰空間足夠大才可以抵御蠻力攻擊。將混沌系統的初值以及控制參數作為密鑰，相比于傳統Logistic和分段Logistic，本文提出的方案多一個初值intF以及控制參數M，參數M理論上可以取到2以上所有數，但參數越大計算越復雜耗時越長，故本文取M∈[10,200]。若保留小數后11位,本方案多出1023的密鑰空間，同時相比于傳統Logistic本方案的參數μ的范圍更寬使得密鑰空間再次增加。本文的密鑰空間能達到1046，從安全的角度，密鑰空間≥2100≈1030就能滿足較高的安全級別，由此可以看出本方案提出的方法生成的序列足以抵御蠻力攻擊。

3 結 語

L-F級聯是用Logistic產生的序列作為Fibonacci的參數A、B、C，讓每次迭代Fibonacci的A、B、C參數都得到替換。整個方案擴大了映射的混沌控制參數范圍，滿映射范圍擴大到整個控制參數區間，產生的序列分布更均勻，具有更好的隨機性，吸收子呈現出更高的復雜度，生成序列時間較短，初值敏感性強，同時為混沌加密增加了一個初值和控制參數M使得密鑰空間更大，故本文提出的方案在混沌保密通信領域有更好的應用。