談高中數學寫作資源的開發*

倉萬林 李 紅 (江蘇省江陰市要塞中學 214432)

數學寫作又稱WTL(通過寫作來學習)，是一種新型的學習方式．借新課程改革的東風，數學寫作活動的教育價值有了新的內涵．開發合適的數學寫作資源，對數學寫作活動具有重要意義．如果將數學寫作作品中的素材看成一桶水，那么寫作資源的開發就相當于去尋找水的源頭．2017年5月，“數學寫作”學校聯盟成立，目前全國已經有20多個省份的100多所學校加盟．下面結合“數學寫作”學校聯盟成員的經驗，談談高中數學寫作資源的開發問題．

1 研讀教材

教材是師生在教和學過程中最容易得到、也是最常用的材料．筆者在數學寫作活動中反復呼吁教師和學生們應充分合理使用教材，與其感嘆時間不夠用卻又沉湎于題海戰術不能自拔，不如就地取材，認真研讀教材，尤其是新版的人教A版數學教材，是數學寫作素材的重要源泉．

1.1 教材章首

數學教材在歷次版本的更新換代中，其可讀性也越來越強，許多圖片也升級為彩色印刷，更加貼近中學生閱讀的實際．在這個讀圖的時代，這些元素都是必需的．教材的封面、主編寄語(談數學的作用和學習之法)、本冊導引、目錄、章首語等內容中有大量隱性的數學課程元素，閱讀這些內容可以培養數學學習的大局觀，讓學生從宏觀上認識學習的內容、結構、方法，促使學生的視角從士兵向將軍轉化，提升數學學習的能力，幫助學生更好地親近數學、理解數學，改變部分學生對數學學科的刻板印象．在奶粉行業的營銷中，大家都說嬰兒的第一口奶特別重要．筆者在指導學生讀書的時候，特別是起始年級，舍得花時間和學生一起看這些似乎和數學解題無關的因素，甚至連這本書的價格是多少這一細節也不放過，因為這也是有意義的——教材價格與學生們購買的大量教輔圖書價格相比有很大差異，這是學生們在今后的建模問題中推敲模型合理性、可靠性的一個重要指標．

筆者曾經在了解學情的階段布置過這樣的作業題：

作業：我的數學之路

認真閱讀課本上主編寄語談到的數學學習方法，你有什么體會？或者你認為在數學學習中最重要的方法是什么？簡單介紹自己的數學學習情況，比如有哪些困惑或者特殊的學習經歷、需要老師提供什么幫助等．200字以上，文體不限，歡迎更為完整的作品，一周時間完成．

當然教材中還有很大篇幅的數學史和數學文化類閱讀材料，在幫助學生更好地理解數學的同時，也是數學寫作的素材來源．

1.2 教材概念

概念是數學學習中的重要內容，李邦河院士曾經說：“數學是玩概念的，技巧不足道也．”在新教材中，我們驚喜地發現，許多概念后面都有一些圍繞概念理解的思考題，引導學生更好地理解概念，如“函數的單調性”一節，后面就留下了這兩個思考題．

(1)設

A

是區間

D

上某些自變量的值組成的集合，而且對任意

x

,

x

∈

A

，當

x

<

x

時，都有

f

(

x

)<

f

(

x

)，我們能說函數

f

(

x

)在區間

D

上單調遞增嗎？你能舉例說明嗎？

(2)函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，你能舉出在整個定義域內是單調遞增的函數例子嗎？你能舉出在定義域內的某些區間上單調遞增但在另一些區間上單調遞減的函數例子嗎？

筆者在布置學生預習時，順便讓他們看了蘇教版教材上的練習題8：

下列說法正確的序號是

．(1)若定義在

R

上的函數

f

(

x

)滿足

f

(2)>

f

(1)，則函數

f

(

x

)是

R

上的增函數；(2)若定義在

R

上的函數

f

(

x

)滿足

f

(2)>

f

(1)，則函數

f

(

x

)是

R

上不是減函數；(3)若定義在

R

上的函數

f

(

x

)在區間(-∞,0]上是增函數，在區間[0,+∞)上是增函數，則函數

f

(

x

)在

R

上是增函數；(4)若定義在

R

上的函數

f

(

x

)在區間(-∞,0]上是增函數，在區間(0,+∞)上是增函數，則函數

f

(

x

)在

R

上是增函數．

學生們可以對照函數的定義，結合函數圖象深入思考，對加深概念理解很有作用，功夫在無形中增長．這個概念理解過程就是數學寫作的素材之一．

1.3 教材例題(習題)

新教材中的例題和習題，其設計形式和開放程度較以前版本有了很大的變化．認真研讀教材后，可能會深刻影響到今后的教和學．學生們在學習中發現，部分問題(包括例題的解答)和自己的認知有很大的差異，將其梳理出來，就是很好的批判性學習和寫作的素材．如人教A版教材第206頁例5：

求函數的單調遞增區間．

分析 令當自變量

x

的值增大時，

z

的值也隨之增大，因此若函數

y

=sin

z

在某個區間上單調遞增，則函數在相應的區間上也一定單調遞增．

解

令則因為單調遞增區間是且由得所以函數的單調遞增區間是這個例題的解法很有違和感，學生們花了不少時間琢磨其通性通法，并整理成文，很有收獲．這就是數學寫作活動中一個典型的批判性視角的解題研究文章的素材，開發類似資源對培養學生的探究能力很有幫助，能有效提升學科核心素養

.

目前的教和學，并沒有跳出傳統經驗的“坑”，經驗成為學習的障礙，這些都值得深刻反思．如果我們認真對待教材上的例題和習題，會發現這還真不是一個忽悠人的“坑”，而是一個“礦”，一個“富礦”，更是數學寫作中的寶貴資源．

2 課堂生成

課堂是數學學習的重要陣地，受制于時空等多種因素的制約，許多內容教師往往講不透，這時候教師常說“這個問題，同學們可以課后思考一下”，這意猶未盡的部分也是數學寫作的重要來源．很多時候，學生們的個性化學習就是這樣形成的．

案例

基本不等式中的素材拓展．

基本不等式是高中數學的難點和重點之一，現在放在第二章，許多教師和學生還是很不適應的(這個可以討論)．在基本不等式教學中，筆者和學生共同探討的寫作素材方面包含而不僅局限于：

(1)第39頁上基本不等式的無字證明，從趙爽的勾股圖出發，無字證明基本不等式．

(2)基本不等式中的“1”的代換和配湊問題．

(3)基本不等式中的難言之隱，一換了之——換元法面面觀．

聽課過程中的點點滴滴和疑問都可以成為寫作的重要出發點，也是寫作的重要資源，在此基礎上，學生們可以學會思考和深度思考．

3 數學文化

經過若干年的預熱，數學文化逐漸為大眾認可．比如湖北卷2015年高考中的“鱉臑”問題，仍然是人們“懟人”的經典方式之一，成為一種社會文化現象．數學文化也是數學寫作的一個重要來源．

海倫公式亦叫海倫-秦九昭公式，相傳這個公式最早是由古希臘數學家阿基米德得出的，而因為這個公式最早出現在海倫的著作《測地術》中，所以被稱為海倫公式．它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式，表達式為其中

a

,

b

,

c

分別是三角形的三邊長，已知一根長為8的木棍，截成三段構成一個三角形，若其中有一段的長度為2，則該三角形面積的最大值為

．

解析

由海倫公式可知不妨設

a

=2，則

b

+

c

=6，則當且僅當4-

b

=4-

c

，即

b

=

c

=3時等號成立，故答案為

某學生在課后進行了深入思考，發現這是一個簡化加工過的問題，原問題中三角形的動點的軌跡是以兩定點為焦點的橢圓，橢圓方程為由橢圓的幾何性質有界性，很快可以解決問題．

這些以數學文化為背景的試題，其中最經典的案例就是阿波羅尼斯圓，以此為寫作素材的作品很豐富，限于篇幅，本文不再贅述．

4 數學游戲

很多游戲之中蘊含著豐富的數學原理，比如部分撲克牌中的游戲，可以用數學知識、特別是數論知識來解釋，學生還可以上網查閱．現在許多學生宅在家里過春節，微信搶紅包是少不了的常規活動，常見的微信紅包方式都可以用數學模型來解釋，不僅僅是看運氣或某品牌手機或網絡速度．比如談祥柏先生作品中的一個有意思的材料，故事選自《談祥柏趣味數學詳談》叢書的《數學福爾摩斯》分冊．

山不在高，有仙則名；水不在深，有龍則靈．在日本有座名不見經傳的吉野寺，這個寺廟的歷史倒也蠻悠久的，方丈曾經游覽過許多中國的著名寺廟，看來讀萬卷書和行萬里路都做到了．當然，我們關心的是方丈的數學最強大腦．方丈的秘訣是這樣的，任意給出八個數，比如下面的形式然后有

“零”的諧音即為“靈”，方丈解讀為一切皆“靈”．有這么厲害的方丈，這寺廟的香火想不旺都很難，放在今天也是網紅寺廟了．

有學生在閱讀后發現，這是一個數學恒等式呀，我們完全可以按方丈的規則來說明問題，和字母的取值沒有關系．

將這八個數一般化得到下面的運算學生都會做(只需給出二階行列式的定義)，細心一點，妥妥的送分題嘛！

原來，這是必然成立的結論！

以數學游戲為題材的數學寫作，真正實現了寓教于樂．

5 其他形式

除了上面這幾種常見類型外，科普活動、社會實踐活動等，也是數學寫作活動重要的素材來源．

數學寫作中寫作資源的開發體現了其學科融合的特色，在數學寫作中，數學學科核心素養、綜合能力等都將得到提升．