概率分布模型在井眼軌跡不確定性中的應用探討

邸建偉， 陳秀一， 劉洪彬， 李相鵬， 黃芳飛

(1中石油海洋工程有限公司 2中石油長城鉆探工程公司 3中石油川慶鉆探工程有限公司鉆采工程技術研究院 4中國地質調查局廣州海洋地質調查局)

0 引言

在進行井眼軌跡數據采集和計算時，軌跡計算的結果受到深度誤差、測量工具姿態、測斜儀器精度(井斜、方位)、鉆具或外部環境對磁性工具的干擾、數據計算方法等因素的影響，這些因素均構成了軌跡數據結果的誤差，且隨著深度的增加誤差將累計并放大，因此不管哪種測量儀器及計算方法得到的軌跡數據結果是存在誤差的[1]。井眼軌跡在某一點的不確定性可以由一個橢球來描述，該橢圓為誤差橢球。按照國際石油公司的通用慣例，比如殼牌、斯倫貝謝、雪弗龍等公司的防碰標準和做法是：從井口開始井深500 m內，最小誤差橢球半徑按2 m計算，井深每增加1 000 m則最小誤差半徑增加3 m，空間安全圓柱半徑為誤差橢球半徑的2倍。

為了定量描述兩口井間的安全距離定義了分離系數，分離系數是指兩井眼中心距與兩井眼中心距減去兩井眼橢球間距的差值之比。

1 誤差橢圓概率分布模型

井眼軌跡的誤差是一種理論上的概念，軌跡誤差橢圓半徑為不同的誤差源疊加結果，但是每種誤差來源也是一種概率事件，誤差源之間相互獨立，各自具有不確定性及偶然性，導致誤差橢圓半徑出現具有隨機性和不確定性，所以井眼軌跡的誤差橢圓半徑可以理論上看作隨機出現的事件。通常工程上討論的誤差橢圓都是基于一定置信水平上的統計概念，且單純某個誤差橢圓半徑的概率是沒有意義的，只有對應的概率密度值，一定范圍或區間內的誤差橢圓半徑才具有統計學的概率或累計概率意義。但是使用哪種統計分布模型來刻畫不同誤差橢圓半徑出現概率至今沒有一個定論。

軌跡誤差橢圓半徑為連續出現，必然服從連續概率分布，所以對于誤差橢圓半徑的描述可以集中到連續分布模型。常用的連續分布模型包括正態分布、指數分布、均勻分布等，下面分別描述。

1.1 正態分布

正態分布又名高斯分布，是一種很重要的連續型隨機變量的概率分布，在石油領域中也存在廣泛的應用[2-5]。正態分布模型主要由兩個參數μ和σ刻畫，其中第一個參數μ是正態分布的隨機變量的均值，第二個參數σ是此隨機變量的標準差，正態分布模型可以記作N(μ，σ2)。服從正態分布的隨機變量的概率規律為取μ鄰近的值的概率大，而距離μ越遠的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正態分布的概率密度函數與累計概率函數模型為式(1)～式(2)。正態分布的密度函數的特點是：關于μ對稱，在μ處達到最大值，在正(負)無窮遠處取值為0，在μ±σ處有拐點，滿足3σ原則。

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1.2 指數分布

指數分布是另一個應用廣泛的連續型分布函數，通常用于可靠性研究，用于描述對發生的缺陷數或系統故障數的測量結果。指數分布在石油領域中的應用雖少于正態分布，但仍然存在相關研究成果。如果一個隨機變量X呈指數分布，則可以寫作：X～Exponential(λ)，簡記為X～e(λ)。指數分布模型只有一個參數λ描述，其中，正態分布的概率密度函數與累計概率函數模型為式(3)～式(4)。

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1.3 均勻分布

在工程實踐中，均勻分布是經常遇到的另一種分布，其主要特點是：測量值或觀察值在某一范圍中各處出現的機會一樣，即均勻一致，又稱為矩形分布或等概率分布。如果一個隨機變量X出現的概率是均等的，則服從均勻分布，其中A，B為X出現的邊界，則服從U～ [A，B]其概率密度與累計概率函數模型,用式(5)～式(6)表示。

(5)

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下面以某油田一口待鉆水平井與老井進行詳細分析。

2 案例分析

某海上油田按照油藏要求進行水平井開發，其中水平井的著陸點A點附近20 m處存在一口直井探井，由于兩井距離較近，在水平井鉆進過程可能存在碰撞的風險。表1為水平井軌道設計數據表。

在Landmark軟件內，設置置信水平為2σ，計算水平井不同深度下的誤差橢圓半徑，見表2,水平井與直井可能的碰撞點在A點處。從表2中可以看出，在A點處水平井的誤差橢圓半徑最大為25.06 m，該數據是基于3σ原則中95.45%置信水平下計算的值，是一個隨機性的概率數值。那么在A點處不同誤差橢圓半徑對應的概率密度需要基于不同的分布模型來計算，誤差橢圓半徑出現的數值是呈連續性分布的，可以用以上討論過的三個常用連續概率模型進行計算對比。

表1 水平井井眼軌道設計數據表

在A點處水平井的誤差橢圓半徑在置信水平為2σ情況下最大為25.06 m，最小為0 m，假設A點誤差橢圓半徑的期望為μ，滿足μ+2σ=25.06，μ-2σ=0，通過該方程組得到μ=12.53 m，σ=6.27 m。基于μ與σ的數值討論不同概率分布模型。

按照正態分布模型，在A點誤差橢圓半徑服從N(12.53，6.272)，根據正態分布的概率密度函數模型(式1)計算不同誤差半徑對應的概率密度；根據累計概率密度函數模型(式2)計算不同區間誤差橢圓半徑對應的概率。水平井與直井之間的間距為20 m，兩者存在碰撞的可能性，如果誤差橢圓半徑服從正態分布模型，碰撞的可能性可以定量化。依據圖1所示的計算結果，誤差橢圓半徑超過20 m的概率為12%，即存在12%的可能性兩者會碰撞。

表2 水平井軌道在不同深度下誤差橢圓半徑

圖1 基于正態分布下不同橢圓誤差半徑的概率密度與累計概率分布

按照均勻分布模型，在A點誤差橢圓半徑服從U～ [A，B]，誤差橢圓出現的最小值為0，即A=0，B為可能的最大值，該值也無法確定，根據3σ原則在(μ-3σ，μ+3σ)范圍內概率達到99.73%，統計學上認為超過小于0.05%即為小概率事件，幾乎不可能發生。可以近似認為B=μ+3σ=31.34，即A點誤差橢圓半徑服從U～ [0，31.34]。根據均勻分布的概率密度函數模型(式5)計算不同誤差半徑對應的概率密度；根據累計概率密度函數模型(式6)計算不同區間誤差橢圓半徑對應的概率。如果誤差橢圓半徑服從均勻分布模型，對碰撞的可能性定量化。依據圖3所示的計算結果，誤差橢圓半徑超過20 m的概率為36%，即存在36%的可能性兩者會碰撞。

圖2 基于指數分布下不同橢圓誤差半徑的概率密度與累計概率分布

圖3 基于均勻分布下不同橢圓誤差半徑的概率密度與累計概率分布

三種概率分布模型表現出不同的特征。從概率密度分布曲線上看(圖4)，指數分布隨著誤差橢圓半徑的增大概率密度不斷的減小，反映出誤差橢圓半徑低值出現的頻率更大，概率更高，隨著誤差橢圓半徑的增加出現的概率降低，即指數分布認為誤差半徑雖然可能出現較大值(比如超過20 m)，但主要集中在較小的范圍內(小于10 m)；正態分布出現中間高兩邊低的特征，平均期望值周圍出現的概率較大，誤差橢圓半徑越小或越大，出現概率都會減小，即正態分布認為誤差半徑雖然也可能出現較大值，但主要集中在期望值附近的范圍內(7～18 m)；正態分布的概率密度不依賴誤差橢圓半徑的值，表現出不同誤差橢圓半徑出現的概率是無差別的。

圖4 不同概率分布對應的概率密度

該案例中，設計的水平井軌道距離已鉆老井距離為20 m，不管用哪種概率分布模型計算，兩井都有存在碰撞的可能性，但是定量化描述后存在較大差異。根據累計概率計算結果(圖5)，正態分布認為會有12%的概率碰撞，指數分布認為會有21%的概率碰撞，均勻分布認為會有36%的概率碰撞。

圖5 不同概率分布對應的累計概率

從概率學角度，不管哪種概率都有利弊，具體要基于油田開發的階段而定。如果一個油田處于初始勘探、評價階段，MWD等工具應用較少，矯正參考不確定，成熟數據計算方法尚未建立，可以認為誤差橢圓半徑出現的概率比較接近，此時近似于均勻分布；當油田進入開發階段，已經積累了一定的鉆井工程經驗，MWD等工具使用頻繁、統一校核、工程經驗逐漸積累，此階段的誤差橢圓半徑會呈現一種均值附近搖擺的狀態，即近似于正態分布；當油田進一步開發，工程經驗積累到成熟程度，完全摸清該油田地質特征，鉆井的誤差橢圓半徑會進一步的降低，呈現指數分布的特征。

3 結論

1)井眼軌跡在空間中存在不確定性，理論上可以看作隨機出現的事件，沒有確定的概率分布模型來進行定量化描述。

2)以某油田水平井為例，采用三種連續概率模型正態分布、指數分布及均勻分布模型進行誤差橢圓半徑概率密度及累計概率計算，定量化計算兩井碰撞的概率分別為12%、 21% 和 36%。

3)三種概率模型各有利弊，適用于不同油田開發階段。建議各地區、各服務商應該積累自己的歷史數據，找到適合的預測方法，減少井眼相碰帶來的損失。