分數Brown運動擾動風險模型的破產概率模擬計算

王 琪，薛 紅，陳毛毛

西安工程大學 理學院，西安710600

1 引言

破產概率是風險理論研究的核心內容，至今已有一百多年的發展歷史。Lundberg和Cramer建立了風險理論與隨機過程理論之間的聯系，提出了經典風險模型，引入調節系數并得到了最終破產概率的近似表達式[1]，文獻[2]利用非參數統計方法，討論了有限時破產概率。考慮到現實生活中風險干擾因素對計算破產概率的影響，劉博濤等[3]利用標準Brown 運動來刻畫風險擾動，通過Laplace逆變換方法，得到了標準Brown運動擾動風險模型的最終破產概率上界。然而對保險公司的盈余過程序列進行分析后發現，相較于標準Brown 運動，分數Brown運動所具有的長程相依性以及自相似性使其更適合刻畫盈余過程序列。自1968 年首次提出“分數Brown 運動”概念以來[4]，它已被廣泛應用于金融研究領域[5-6]。近年來也在風險理論研究中有所應用，文獻[7]討論了帶線性漂移的分數Brown 運動擾動風險模型的破產概率，文獻[8]研究了非線性漂移的分數Brown運動擾動風險模型的破產概率上界，然而這些模型都是用分數Brown 運動來模擬索賠并在此前提下得到的結果。在此用復合泊松分布來刻畫理賠過程，引入帶波動系數的分數Brown運動來刻畫風險干擾因素，建立分數Brown 運動擾動風險模型。由于此類風險模型的破產概率沒有解析表達式，故提出了一種有效的數值模擬算法，對有限時破產概率進行Monte-Carlo模擬計算。

2 預備知識及模型建立

2.1 分數Brown運動

定義1[4]設(Ω,F,P)是一個完備的概率空間，H ∈(0,1) 為一常數。具有Hurst 參數H 的分數布朗運動是Gaussian過程，且滿足：

（1）對?t ≥0,BH(0)=E[BH(t)]=0；

分數布朗運動的另一個重要的性質是自相似性（self-similarity）：對任意的和任意的α ＞0 ，{BH(αt),t ≥0} 和{αHBH(t),t ≥0} 具有相同的分布。

2.2 模型建立

分數Brown運動擾動風險模型：

其中，u 表示初始盈余，c 為單位時間內的保費收入。{N(t),t ≥0} 表示[0,t]內的理賠次數，服從參數為λ 的Poisson過程且均值為{Xi,i ≥1}表示第i 次的理賠額，具有同分布F 且均值為μB。σ ＞0 為波動常數，{BH(t),t ≥0}是Hurst 指數為H 的分數Brown 運動。假設{N(t),t ≥0}，{Xi,i ≥1}及{BH(t),t ≥0}相互獨立。

當σ=0 時，式（1）即為經典風險模型。文獻[9]對經典風險模型在有限時間內的破產概率進行了模擬計算。當理賠額序列獨立同分布于指數分布時，文獻[10]得出了最終破產概率表達式：

其中R 是關于r 的方程-cr+λ[MX(r)-1]+的正根，MX(r)為索賠額序列的矩母函數。

3 分數Brown運動樣本軌道模擬

定義2[12]若矩陣A ∈Rn×n對稱正定，則存在唯一對角元為正的下三角矩陣L ∈Rn×n，使得A=LLT，稱L 為Cholesky分解因子，此分解方法為Cholesky分解。

利用MATLAB軟件對分數Brown運動的協方差陣進行Cholesky 分解[12-14]，將Cholesky 分解因子作用于標準正態分布樣本點，得到分數Brown 運動隨機數，進一步畫出樣本軌道。步驟如下：

（2）確定分數布朗運動的有限維分布BH( t) =N( 0,COV )，其中COV=

（3）對COV 進行Cholesky分解，分解因子矩陣為：

（4）用MATLAB 軟件生成一組標準正態分布隨機數列向量Y ，且Y=( )Y1,Y2,…,YN′～

（5）生成分數Brown運動隨機數BH( t)=B*Y ，即：

（6）用MATLAB 軟件畫出分數Brown 運動的樣本軌道。

例1 假設T=10, 將[0,T]等分為N=200 份，則小區間長度為Δt=T/N=0.05。分別取Hurst指數H=0.5,H=0.7,H=0.9，利用MATLAB軟件模擬出相應的樣本軌道，見圖1。

圖1 分數Brown運動樣本軌道

4 有限時破產概率模擬計算

本文提出一種有效的數值模擬計算方法，對風險模型（1）在有限時間內的破產概率進行Monte-Carlo 模擬計算。步驟如下：

（1）確定初始盈余u、單位保費率c 的取值。

（2）設T 為研究時間總長度，將時間區間[0,T]平均等分為N 份，s=T/N 為每一小時間區間的長度。

（3）假設理賠時間間隔序列服從均值為μA的指數分布，由MATLAB軟件生成[0,T]內的一列參數為λA=的指數分布隨機數，此即理賠時間間隔序列{Wj,1 ≤j ≤n}，并記{τi,1 ≤i ≤n}為理賠發生時刻。

（4）假設理賠額序列服從F 分布且均值為μB，則由MATLAB軟件生成理賠額序列{Xi,i=1,2,…,n}。

（5）考慮每一時間節點的盈余值Uk(k=1,2,…,N)。 若τi∈[(k-1)s,ks]，則在時間區間[(k-1)s,ks]內發生了理賠，那么計算盈余值Uk時不僅要加入分數Brown 運動擾動項，也要減去理賠額Xi，表達式為：Uk=Uk-1+c ?s+σ ?BHk-Xi；反之，若區間[(k-1)s,ks]內并未發生理賠，則計算Uk時只需加入分數Brown 運動擾動項，表達式為：Uk=Uk-1+c ?s+σ ?BHk。如果一旦有Uk＜0，就意味著本次模擬計算發生破產，那么終止本次循環，破產次數加1，進入下一次的循環模擬計算。

（6）總共進行M 次循環模擬計算，若其中發生破產的次數為m，則p=m/M 為破產概率模擬值。

例2 對風險模型（1）中的參數進行如下假設：初始盈余u=100，單位時間保費收入c=5；理賠時間間隔序列{Wj,j ≥1}服從均值為μA=5 的指數分布；理賠額序列服從均值為μB=15 的指數分布；取時間總長度為3年即T=3，將時間區間[0,T]等分為N=50 份，則小區間長度為s=0.06 年。

（1）令Hurst指數H=0.7，波動常數取不同值，對每一情形進行M=104次模擬，破產概率模擬值見表1。

表1 波動常數對破產概率的影響

當σ=0 時，即為經典風險模型。此時破產概率模擬數值為p1=0.02，由式（2）計算得最終破產概率為Ψ1=0.04。 p1＜Ψ1，即3年內的破產概率小于最終破產概率，說明了模擬計算的有效性。

由表1 知，當其他參數的取值不變時，波動常數σ取值越大，破產概率模擬值越大，說明風險干擾強度的增大會加大保險公司的破產概率。進一步反應了保險公司在面對現實中的風險干擾時，應及時采用合理調控手段，以達到規避破產風險的目的。

（2）令波動常數σ=0.04，Hurst指數H 分別取不同值，對每一情形進行M=104次模擬，破產概率模擬值見表2。

表2 Hurst指數對破產概率的影響

當H=0.5 時，即為帶標準Brown 運動擾動風險模型。此時破產概率模擬數值為p2=0.08，由式（3）計算得出風險模型的最終破產概率為Ψ2=0.32。 p2＜Ψ2，即3年內的破產概率小于最終破產概率，再次說明了模擬計算的合理有效性。

由表2 知，當固定其他參數取值時，Hurst 指數的取值對破產概率模擬值有顯著影響。

5 實證分析

5.1 數據選取

以中國太平洋財產保險股份有限公司（簡稱太平洋財險）為研究對象，通過查找《中國保險年鑒》[15]，選取該公司2008—2017年的數據，見表3。

5.2 模型選取

根據表3 中的數據，記年末盈余過程序列為{Ui,i=1,2,…,10} ，盈余增量序列為{U ′j,j=1,2,…,10} ，且{Ui,i=1,2,…,10} 和{U ′j,j=1,2,…,10} 各為一組時間序列。利用SPSS 16.0軟件中的DW檢驗方法來分析盈余增量序列的獨立性，檢驗在顯著性水平α=0.05 下進行，圖2最后一列結果顯示DW的值為2.335。根據判定方法，增量序列呈現出較弱的負相關性，即盈余過程序列{ }Ui的增量不獨立，不具有Markov性，經典風險模型或標準Brown 運動擾動風險模型不能刻畫此盈余過程，故需要用分數Brown運動擾動風險模型來刻畫盈余過程。

表3 太平洋財險2008—2017年基本數據信息 百萬元

圖2 DW獨立性檢驗

進一步考慮平均其他營業支出μ 對盈余過程的影響，盈余過程為：

參數意義同模型（1）。

5.3 模型的參數估計及分布檢驗

（1）以年為單位，根據表3 中各年的保費率估計得出年平均保費率為c?=71 536.49 百萬元/年，根據各年的其他營業支出估計得年平均其他營業支出為17 981.49 百萬元/年，將每年的賠付支出看作一個整體，則理賠次數序列{N(t),t ≥0} 服從參數?=1 的Poisson過程。

（2）假設索賠額序列{Xi,i ≥1}服從指數分布，運用SPSS軟件估計參數，并利用單樣本K-S檢驗[16]來驗證這一假設。檢驗在顯著性水平α=0.05 下進行，圖3 結果表明漸近顯著性（雙側）值α′=0.226 ＞α ，不能拒絕原假設，即{Xi,i ≥1} 服從均值為=39 763.813 的指數分布。

（4）對各年的年末盈余值進行 計算，記為{Uk′,k=1,2,…,10} ，計算公式為：

圖3 指數分布K-S檢驗

年末盈余的計算值{Uk′ }與真實值{Uk} 之間存在偏差，偏差代表了保險公司在現實中遇到的風險干擾。記偏差值序列為{ εk,k=1,2,…,10 }，且εk=Uk′-Uk，結果見表4。

用分數Brown 運動擾動項來刻畫偏差，則εk～N(0,σ2t2H)，研究期限為一年即t=1。根據數理統計中正態總體的無偏方差估計方法[18]，參數σ 的估計式為：

5.4 有限時間內破產概率模擬計算

結合5.3 節，可確定分數Brown 運動擾動風險模型（4）中的參數估計值。取2018 年初的盈余值為初始盈余值，則u=144 119.95 百萬元，為提高模擬精度，把一年分為N=200等份即每一小時間區間的長度為s=0.005年，利用MATLAB軟件對太平洋財險公司在有限時間內的破產概率值進行Monte-Carlo模擬計算，結果見表5。

由表5 可知，隨時間推移，一年內破產概率模擬值呈逐年下降趨勢，反映了中國太平洋財產保險股份有限公司近年來經營狀況良好，經營策略穩健，破產風險逐年降低。

表4 太平洋財險年末盈余偏差值 百萬元

表5 有限時破產概率模擬值

6 結束語

與經典風險模型及標準Brown 運動擾動風險模型相比，分數Brown運動擾動風險模型進一步考慮到現實中保險公司的盈余過程具有長程相依性的特點，故更適合刻畫盈余過程序列。本文引入帶波動系數的分數Brown運動來刻畫風險干擾因素，并提出了一種有效的數值算法來對有限時破產概率進行Monte-Carlo模擬計算，彌補了此類風險模型的破產概率無解析表達式的缺陷。并結合保險公司的實際數據，利用統計分析方法對風險模型的參數進行估計，通過對該公司有限時破產概率的Monte-Carlo 數值模擬結果進行分析，可反映出風險控制管理狀況，對公司經營具有現實指導意義。