中心引力場下天體運動的橢圓軌道證明

王 磊

(盤錦市高級中學,遼寧 盤錦 124000)

天體運動是高中物理必修2的內容,之前學生已經掌握了圓周運動和功能關系等輔助學習天體運動的物理知識. 天體運動首先從開普勒的三大定律講起,而開普勒三定律的得出并未做任何理論推導,這使得教師主要以灌輸的方式教,學生以記憶的方式學.“為什么是橢圓?”、“為什么掃過的面積是相等的?”、“為什么是和半長軸的立方成正比而不是短軸?”這些得不到答案的問題讓以橢圓為基礎的開普勒三定律顯得尤為神秘,尤其是當遇到天體運動的橢圓問題時,學生更是覺得不可捉摸,難以處理.而在物理競賽以及自主招生物理考試中,關于天體運動橢圓軌道的考察又較為常見,所以在相關物理教學中對天體運動橢圓軌道的證明和展開講解是有必要的.

1609年年輕的德國科學家開普勒猜測行星沿橢圓軌道運動,開普勒發現他老師弟谷觀測的火星運行數據無論是用哥白尼的日心說圓軌道理論還是托勒密的地心說本均輪軌道理論都不能很好匹配,唯有橢圓形軌道才能完美解釋老師觀測的火星位置數據.[1]這樣開普勒提出了他的第一個偉大發現“橢圓定律”并相繼發現了“面積定律”,10年之后才提出他的“周期定律”.[2]

開普勒之后,對天體運動的研究吸引了很多物理學家,比如伽利略、布里阿德、惠更斯、哈雷、胡克等,[3]他們對于圓周運動向心力,星體間引力與星體間距離平方成反比等天體運動相關理論研究均有一定的貢獻,但真正在天體運動研究領域光芒蓋過開普勒的是在其3大定律提出后半個多世紀——在其3大定律基礎上發展得出更具普適性的萬有引力定律的牛頓.不僅如此,牛頓用其發明的微積分數學方法證明了與有心力場中心距離平方成反比的引力場中物體的運動軌跡為橢圓.這是對開普勒“橢圓定律”的第一次完備的數學證明.[4]但牛頓在其著作《自然哲學的數學原理》書中所應用的微積分方法是以幾何的形式出現的,后來,拉格朗日、哈密頓等人對經典力學進行形式上的改造,大規模使用現代微積分方法而排斥初等幾何學,但其物理思想并沒有超出牛頓的框架.

圖1 極坐標下運動學

1 平面極坐標下運動學

(1)

(2)

在極坐標系OZ下研究物體運動到P點時的位置、速度、和加速度有:[5]

(2) 物體在P點的速度為

(3)

寫成微分形式有

(3) 物體在P點的加速度為

代入(1)、(2)式得

(4)

(4)式寫成微分形式有

2 極坐標下天體運動軌跡方程

徑向:

(5)

橫向:

(6)

由環繞天體運動在有心力作用下角動量守恒,有心引力場下L為定值,有

可得

(7)

(9)

將(7)、(9)式代入(5)式可得

整理得

(10)

該方程為二階齊次常微分方程,其解為

(11)

該方程是否為橢圓方程呢?

3 橢圓軌跡方程在笛卡爾坐標系和極坐標系下的轉換

圖2 笛卡爾坐標與極坐標下橢圓

(12)

(b2r2cos2θ+a2r2sin2θ)+2cb2rcosθ+(b2c2-a2b2)=0.

整理得

r2(b2cos2θ+a2-a2cos2θ)+2cb2rcosθ-b4=0,

進一步整理得

r2(a2-c2cos2θ)+2cb2rcosθ-b4=0.

(13)

該方程為r的二次方程,應用韋達定理可得其解為

由r>0有

(14)

4 引力場下橢圓軌道方程的確定

某環繞天體橢圓軌跡(圖3),設其橢圓長軸A1A2=2a,短軸B1B2=2b,兩焦點距離F1F2=2c,中心天體位于右焦點F1處.根據圖像有F1P=r，F2P=2a-r、∠F1PF2=π-2θ,[6]在ΔF1PF2中運用余弦定理有

圖3 橢圓軌道及其曲率圓

r2+(2a-r)2-2r(2a-r)cos(π-2θ)=

(2c)2,

(15)

(3)式結合a2=b2+c2以及三角函數公式

cos(π-2θ)=-cos2θ=2sin2θ-1,

(16)

(17)

(18)

將(16)、(17)式代入(18)式可得

(19)

質量為M的中心天體引力場下,質量為m的環繞天體的軌道能E(E<0)與角動量L已知,以橢圓中心為坐標原點,長軸為x軸,短軸為y軸的笛卡爾坐標系中，則其運動軌跡方程為

其中E<0.

總結:本文在極坐標下得到了萬有引力作用下環繞天體的運動軌跡方程,并通過笛卡爾坐標系與極坐標系下橢圓方程的轉換,對比得出中心天體引力作用下環繞天體的運動軌跡方程為橢圓.該橢圓軌道由環繞天體角動量和軌道能確定.最后本文給出了基于角動量和軌道能的笛卡爾坐標系下與極坐標系下的橢圓軌道方程.