大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中測量不確定度的分析研究*

馮明春 王玉杰

(滁州學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院 安徽 滁州 239000)

測量不確定度是指測量結(jié)果變化的不肯定，是表征被測量的真值在某個(gè)量值范圍的一個(gè)估計(jì)，是測量結(jié)果含有的一個(gè)參數(shù)，用以表示被測量值的分散性[1,2].測量不確定度的定義表明，一個(gè)完整的測量結(jié)果應(yīng)包含被測量值的估計(jì)與分散性參數(shù)兩部分.例如，被測量Y的測量結(jié)果為y±u，其中y是被測量值的估計(jì)，u為被測量的不確定度.文獻(xiàn)[3～5]著重分析了不確定度的一些理論；而本文在不確定度理論基礎(chǔ)上再結(jié)合具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別對力學(xué)、熱學(xué)和光學(xué)實(shí)驗(yàn)中所對應(yīng)的彈性模量、液體表面張力系數(shù)和牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)中平凸透鏡的曲率半徑這3個(gè)實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果的不確定度進(jìn)行了分析討論，這有助于教師實(shí)驗(yàn)教學(xué)和學(xué)生分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，使得研究更有意義.

1 分析過程

根據(jù)測量不確定度的定義，在測量實(shí)踐中如何對測量不確定度進(jìn)行合理的評定，這是必須解決的基本問題.對于一個(gè)實(shí)際測量過程，測量不確定度的來源有多個(gè)，這些不同來源的不確定度在計(jì)算方法上只有兩類，一類稱為A類分量，它是用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法計(jì)算的分量，是隨機(jī)誤差性質(zhì)的不確定度；另一類稱為B類分量，是用非統(tǒng)計(jì)方法評定的分量，是系統(tǒng)誤差性質(zhì)的不確定度[6].計(jì)算不確定度，常用計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差去表示，稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度.

1.1 直接測量值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類分量uA(x)

取x的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類分量為

(1)

1.2 直接測量值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類分量uB(x)

設(shè)x誤差的某一項(xiàng)的誤差限為Δ，其標(biāo)準(zhǔn)差

則標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類分量

(2)

式(2)中，k稱為包含因子，k值與x的分布有關(guān)，其常用分布及其k值如表1所示.

表1 常用分布及其k

1.3 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(x)或uc(y)

對某一物理量測量之后，要計(jì)算測量值的不確定度，由于其測量值的不確定度來源不止一個(gè)，所以要合成其標(biāo)準(zhǔn)不確定度.

對于直接測量，設(shè)被測量X的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的來源有m項(xiàng)，則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(x)為

(3)

式(3)中的u(x)可以是A類評定或B類評定.

對于間接測量，設(shè)被測量Y由n個(gè)不相關(guān)的直接被測量x1，x2，…，xn算出，它們的關(guān)系為y=y(x1，x2，…，xn)，各xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(xi)，則y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)為

(4)

1.4 不確定度的報(bào)告

Y=y±uc(y)

(5)

式(5)就是被測量的不確定度的表現(xiàn)形式.

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 彈性模量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

金屬絲彈性模量E的表達(dá)式為[6]

(6)

在式(6)中，F(xiàn)為外力，l為金屬絲的長度，d為金屬絲的直徑，這3個(gè)物理量都易測量；由于金屬絲的伸長量δ太小，不容易測量，所以在計(jì)算金屬絲的彈性模量時(shí)，關(guān)鍵是如何解決測量金屬絲伸長量δ的問題.那么，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，巧妙地利用了光杠桿裝置來測量伸長量δ[6]，實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示.

圖1 彈性模量實(shí)驗(yàn)圖

在圖1中，光杠桿G前足尖到兩后足尖連線的垂直距離為d1，光杠桿平面鏡到直尺S的距離為d2，加砝碼m前后望遠(yuǎn)鏡中直尺的讀數(shù)為A0和Am，根據(jù)幾何關(guān)系得到金屬絲伸長量δ為

(7)

根據(jù)式(6)、式(7)以及F=mg，得到伸長法測金屬絲彈性模量E的公式為

(8)

(9)

根據(jù)式(9)，可以推導(dǎo)出彈性模量E的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(E)為

(10)

在此實(shí)驗(yàn)中測量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表2所示.

在表2中一個(gè)砝碼質(zhì)量m=360 g，根據(jù)表2數(shù)據(jù)采用3種方法來計(jì)算K.

(1)由逐差法計(jì)算求得

2.66×10-3m·kg-1

表2 彈性模量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

(2)由圖像法擬合求得

根據(jù)表2實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制圖2.

圖2 圖像擬合法

(3)由最小二乘法求得

令xi=mi，yi=Ai進(jìn)行直線擬合(y=a+bx)，此b值就是K，其中

∑xi∑x2i∑yi∑y2i∑xiyi10.0818.1440.438480.024070.56689

則令

計(jì)算得到

1.2.1.1 造口護(hù)理指導(dǎo) 示范更換造口袋的護(hù)理程序，指導(dǎo)患者造口袋滲漏的判斷和更換時(shí)機(jī)，觀看造口袋的護(hù)理錄像，發(fā)放造口護(hù)理手冊;指導(dǎo)患者使用收集袋的排放方法以及到廁所排放的方法，學(xué)會(huì)不同的排放氣體的方法;指導(dǎo)患者正確清潔造口袋;根據(jù)造口形狀、患者經(jīng)濟(jì)條件推薦不同的造口輔助產(chǎn)品，以滿足不同的需求;讓患者了解造口的各種并發(fā)癥的癥狀表現(xiàn)，示范處理方法，做到早期預(yù)防，告知患者定期隨診的重要性;指導(dǎo)選擇合適的造口袋，造口袋使用的注意事項(xiàng)，告知患者購買途徑以及造口袋的儲(chǔ)存方法及注意事項(xiàng)。

可以看出，3種方法求得的K誤差不大，再結(jié)合其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)l為38.52 cm，d1為9.800 cm，d2為161.50 cm，d為0.642 mm，根據(jù)式(9)求得E為

由測量儀器的誤差限可知

采用的都是均勻分布的B類分量，根據(jù)式(10)，計(jì)算得到E的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

u(E)=0.770×1010N·m-2

那么，金屬絲的彈性模量E的標(biāo)準(zhǔn)不確定度報(bào)告為

E±u(E)=(14.46±0.77) ×1010N·m-2

2.2 液體表面張力系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示.

圖3 實(shí)驗(yàn)示意圖

在實(shí)驗(yàn)中金屬框P中間拉一金屬細(xì)絲ab，將框及細(xì)絲浸入水中后慢慢地將其拉出水面，在細(xì)絲下面將帶起一水膜，當(dāng)水膜即將破裂時(shí)，則有

F=W+2γl+ldhρg

(11)

在式(11)中，F(xiàn)為向上的拉力，W為框所受重力和浮力之差，l為細(xì)金屬絲的長度，d為金屬絲的直徑即水膜的厚度，h為水膜被拉斷前的高度，ρ為水的密度，g為重力加速度.ldhρg為水膜的重量，因?yàn)閺埩Υ笮∨c長度成正比，同時(shí)水膜有前后兩面，所以式(11)中張力為2γl.從式(11)可得水的表面張力系數(shù)表達(dá)式為

(12)

在此實(shí)驗(yàn)中，約利秤的勁度系數(shù)k為0.97 N·m-1，測量液體表面張力系數(shù)的其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3所示.

表3 液體表面張力系數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

在表3中，s1為金屬絲剛好到水面時(shí)的位置，s2為水膜剛好破裂時(shí)的位置，L0為水膜剛好破裂時(shí)B柱上的位置，L1為當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)E使金屬框緩慢下降到G回到零點(diǎn)(G的橫線、橫線的像和鏡面標(biāo)線重合位置)時(shí)B柱上的位置，可知水膜高度

h=|s2-s1|

F-W=kL=k|L1-L0|

根據(jù)表3數(shù)據(jù)，再代入式(12)可求得水的表面張力系數(shù)為

51.99×10-3N·m-1

由測量儀器的誤差限可知

采用的也都是均勻分布的B類分量，由式(12)可知，γ的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

0.66×10-3N·m-1

那么，水表面張力系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度報(bào)告為

γ±u(γ)=(51.99±0.66)×10-3N·m-1

2.3 曲率半徑的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

牛頓環(huán)儀是由平凸透鏡L和磨光的平玻璃板P疊合安裝在金屬框架F中構(gòu)成的，如圖4所示；測量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[7]，如表4所示.

(a)實(shí)驗(yàn)裝置

(b)牛頓環(huán)干涉圖樣

表4 牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)

根據(jù)表4中數(shù)據(jù)，可以得出

其中，環(huán)數(shù)差m=10，波長λ=589.3 nm，根據(jù)曲率半徑公式

計(jì)算得到R為877.1 mm.

下面計(jì)算曲率半徑R的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(R)

Δ的A類分量為

Δ的B類分量為

其中Δins=0.01 mm為移測顯微鏡的最小分度值.

合成后

同時(shí)，由于視覺疲勞所造成的環(huán)數(shù)誤差u(m)，不妨假設(shè)u(m)=0.1；再結(jié)合u(λ)=0.30 nm(鈉雙黃線波長λ1=589.0 nm和λ2=589.6 nm導(dǎo)致)，可得合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

u(R)=

測量結(jié)果為

R±u(R)=(877.1±9.9) mm

而廠家提供的凸透鏡曲率半徑標(biāo)準(zhǔn)值為

AR=855.1 mm

根據(jù)測量結(jié)果

R=877.1 mm

與其標(biāo)準(zhǔn)值

AR=855.1 mm

可知，兩者之差不超過其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(R)=9.9 mm的3倍[6]，即

|R-AR|≤3u(R)

則可以認(rèn)為測量結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)值在測量誤差范圍內(nèi)是一致的.

3 分析和討論

金屬絲彈性模量E的不確定度表達(dá)式

但用逐差法求解

時(shí)，分母體現(xiàn)出來的是16m，所以計(jì)算時(shí)

而不是

4 結(jié)論

在分析金屬絲彈性模量E的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(E)和液體表面張力系數(shù)γ的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(γ)時(shí)，僅僅分析計(jì)算了B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度作為總的不確定度，略去A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，主要是B類分量起主要作用；在分析曲率半徑R的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(R)時(shí)，同時(shí)考慮了A類不確定度和B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度；對于隨機(jī)誤差為主的測量情況，可以忽略B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，只分析計(jì)算A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度作為總的不確定度.