細(xì)說(shuō)古典概型的特征和概率計(jì)算公式

潘桂蘭

【內(nèi)容摘要】首先從理論上詳細(xì)解讀古典概型的特征、概率計(jì)算公式以及怎樣建立概率模型;然后具體指出在理解、認(rèn)識(shí)上應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題;最后結(jié)合舉例剖析，具體闡明古典概型的解題應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】古典概型;特征;概率;基本事件

一、要點(diǎn)精講

1.古典概型的特征

（1）對(duì)于什么樣的隨機(jī)試驗(yàn)，可以根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)稱性來(lái)確定隨機(jī)事件發(fā)生的概率？

答：該隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)同時(shí)滿足以下兩個(gè)特點(diǎn)：①出現(xiàn)的結(jié)果必須是有限個(gè);②出現(xiàn)的結(jié)果的可能性必須是相等的。

（2）古典概型具有如下兩個(gè)特征：

①試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，而且每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果;②每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。

2.古典概型的概率計(jì)算公式

（1）基本事件：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件。

（2）概率公式：如果一次試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)（即此試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成），而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1/n。

如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)（即包含的基本事件有m個(gè)），那么事件A的概率為P（A）=m/n，這就是古典概型的概率計(jì)算公式。

（3）對(duì)于古典概型，如何計(jì)算某個(gè)事件A的概率？

答：①分析一次試驗(yàn)由多少個(gè)基本事件組成（即求n=？）;②分析某個(gè)事件A包含多少個(gè)基本事件（即求m=？）;③利用公式P（A）=m/n，即可求得某個(gè)事件A的概率。

3.建立概率模型

（1）建立一個(gè)古典概型時(shí)，應(yīng)注意哪些問(wèn)題？

答：將什么看作是一個(gè)基本事件，是人為規(guī)定的，并不絕對(duì)化.每次試驗(yàn)有一個(gè)并且只有一個(gè)基本事件出現(xiàn).基本事件的總個(gè)數(shù)是有限的，并且它們的發(fā)生是等可能的。

（2）當(dāng)基本事件的總個(gè)數(shù)n較小時(shí)，計(jì)算n和m（某事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)）取值的最基本而且最有效的方法是什么？

答：先通過(guò)畫樹狀圖，直觀地將所有可能的試驗(yàn)結(jié)果一一列舉出來(lái);然后數(shù)一數(shù)，即知n和m的取值;最后利用公式P（A）=m/n，即可求得事件A的概率。

（3）如何優(yōu)化古典概型？

答：要注重發(fā)散思維，多從不同的角度去考慮一個(gè)實(shí)際問(wèn)題;同時(shí)應(yīng)注意建立的模型要使試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)變得盡可能地少，從而問(wèn)題的解決也就變得盡可能地簡(jiǎn)單。

二、 特別提醒

1. P（A）=m/n，既是古典概型的概率的定義，又是計(jì)算這種概率的基本方法.在運(yùn)用這個(gè)公式時(shí)，要注意：必須判斷這幾種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的.例如：先后拋擲兩枚均勻的一元硬幣，若認(rèn)為只出現(xiàn)“2個(gè)正面”、“2個(gè)反面”和“1正1反”這3種結(jié)果，那就不會(huì)等可能.正確理解：共出現(xiàn)“正正”、“正反”、“反正”和“反反” 這4種等可能的結(jié)果。

2.教材第167頁(yè)例2的解法4應(yīng)引起高度重視。該解法的切入點(diǎn)是：優(yōu)先考慮目標(biāo)問(wèn)題的約束條件，至于其他的情形可以不考慮，這是因?yàn)楦怕时旧硎且粋€(gè)比值。

三、典例剖析

例1：一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相等的1個(gè)白球和已編有不同號(hào)碼的3個(gè)黑球，從中摸出2個(gè)球。

（1）具體指出共有多少種不同的結(jié)果？

（2）具體指出“摸出1白1黑”共有多少種不同的結(jié)果？

（3）求“摸出1白1黑”的概率。

解析：

（1）共有6種不同的結(jié)果，分別是：（白，黑1），（白，黑2），（白，黑3），（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑2，黑3）。

（2）共有3種不同的結(jié)果，分別是：（白，黑1）;（白，黑2）;（白，黑3）。

（3）由于4個(gè)球的大小相等，因此做一次試驗(yàn)（即：摸出2個(gè)球）所出現(xiàn)的各種不同結(jié)果的可能性是相同的，這個(gè)試驗(yàn)屬于古典概型。

又由（1）知基本事件共有6個(gè)，由（2）知事件“摸出1白1黑”共包含3個(gè)基本事件.故“摸出1白1黑”的概率為P=3/6=1/2。

評(píng)注：在羅列不同的結(jié)果時(shí)，要注意考慮全面，努力做到不重復(fù)不遺漏。

例2：袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)摸球3次，每次都是有放回地隨機(jī)摸取一個(gè)球。

（1）試問(wèn)：一共有多少種不同的結(jié)果？請(qǐng)列出所有可能的結(jié)果;

（2）若摸到紅球時(shí)得2分，摸到黑球時(shí)得1分，求3次摸球所得分為5的概率。

解析：

（1）一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：（紅，紅，紅），（紅，紅，黑，），（紅，黑，紅），（黑，紅，紅），（紅，黑，黑），（黑，紅，黑），（黑，黑，紅），（黑，黑，黑）。

（2）記“3次摸球所得總分為5”為事件A，則事件A包含的基本事件共有3個(gè)，分別為（紅，紅，黑），（紅，黑，紅），（黑，紅，紅）。

又由（1）知基本事件總數(shù)為8，故所求概率為P（A）=3/8。

評(píng)注：本題極易出錯(cuò)，審清題意非常重要——由于題設(shè)要求“每次都是有放回地隨機(jī)摸取一個(gè)球”，所以每次摸取時(shí)的情景相同（袋中有1個(gè)紅球、1個(gè)黑球）。

例3：將一個(gè)骰子拋擲2次，求“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”的概率。

解析：當(dāng)?shù)谝淮螖S出的點(diǎn)數(shù)為a（a=1，2，3，4，5，6）時(shí)，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)只可能是1，2，3，4，5，6中的某一個(gè)，從而做一次試驗(yàn)所得到的基本事件共有6×6=36個(gè)。

要使兩次擲出的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)，則應(yīng)滿足：當(dāng)?shù)谝淮螖S出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)b（b=2，4，6）時(shí)，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)只可能是2，4，6中的某一個(gè).從而知事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”共包含3×3=9個(gè)基本事件.又易知此試驗(yàn)屬于古典概型，故所求概率為P=9/36=1/4。

評(píng)注：考查基本事件的個(gè)數(shù)常用處理方法有：①先按點(diǎn)坐標(biāo)的形式給出，再數(shù)之;②先按表格的形式給出，再數(shù)之;③規(guī)律性較強(qiáng)時(shí)，可通過(guò)乘法運(yùn)算迅速求得（例如本題）。

【參考文獻(xiàn)】

[1]林品吟，何小亞，朱源.古典概型的教學(xué)思考與教學(xué)新設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（5）：20-24.

[2]宮前長(zhǎng).新課程古典概型教學(xué)：困惑、解惑與感悟[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（9）：4-8.

（作者單位：甘肅省玉門市第一中學(xué)）