有阻尼體系受迫振動(dòng)位移響應(yīng)分析

袁玉寶 雷振 高正華 賀路

摘 要：為了掌握有阻尼體系受迫振動(dòng)位移響應(yīng)及其影響因素，本篇運(yùn)用高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等知識(shí)，從理論上推導(dǎo)出位移響應(yīng)的解析解，并對(duì)影響位移響應(yīng)的因素進(jìn)行分析，得出如下結(jié)論：（1）使用模態(tài)疊加法求解多自由度體系有阻尼受迫振動(dòng)的微分方程可大大簡(jiǎn)化計(jì)算。（2）當(dāng)頻比系數(shù)趨于0時(shí)，動(dòng)荷載可以看作靜荷載處理。此時(shí)慣性力和阻尼力很小，動(dòng)荷載主要與彈性恢復(fù)力平衡，且動(dòng)荷載與位移同步。（3）當(dāng)頻比系數(shù)趨于∞時(shí)，阻尼力和彈性恢復(fù)力很小，動(dòng)荷載主要與慣性力平衡，且動(dòng)荷載與位移反向，減弱振動(dòng)，即高頻振動(dòng)引起的位移響應(yīng)可以忽略。（4）當(dāng)頻比系數(shù)趨于1時(shí)，發(fā)生在共振現(xiàn)象。此時(shí)阻尼比的微弱變化對(duì)動(dòng)力系數(shù)影響很大，但結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)力系數(shù)并非共振時(shí)的動(dòng)力系數(shù)。

關(guān)鍵詞：受迫振動(dòng);位移響應(yīng);模態(tài)疊加法;頻比系數(shù);阻尼比;動(dòng)力系數(shù)

中圖分類號(hào)：O325? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1006—7973（2020）01-0112-03

有阻尼受迫振動(dòng)現(xiàn)象廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活中。人們?cè)诶谜駝?dòng)原理解決工程難題[1]的同時(shí)，也在避免振動(dòng)帶來(lái)的的危害[2]。很多專家學(xué)者也對(duì)振動(dòng)的響應(yīng)做出了大量的研究[3～5]。如位移響應(yīng)不僅與荷載頻率有關(guān)，還與自振頻率有關(guān)，當(dāng)荷載頻率接近自振頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)體系將發(fā)生共振從而可能引起破壞。但這些畢竟是一些定性的講法。怎樣定量表示位移響應(yīng)的大小，并研究位移響應(yīng)與其影響因素之間的關(guān)系成為工程的難點(diǎn)問(wèn)題，這也是筆者研究的內(nèi)容。

1有阻尼受迫振動(dòng)微分方程

1.1 單自由度體系受迫振動(dòng)微分方程

如圖1所示，有阻尼的單自由度體系在動(dòng)荷載作用下發(fā)生受迫振動(dòng)。

由達(dá)朗貝爾原理知，體系共受到動(dòng)荷載P（t）、慣性力、阻尼力和彈性恢復(fù)力-ky四個(gè)力共同作用。m、c、k分別為體系質(zhì)量、阻尼、剛度，、、分別為體系加速度、速度、位移。振動(dòng)方程為;

1.2 多自由度體系受迫振動(dòng)微分方程

如圖2所示，有阻尼的多自由度體系在動(dòng)荷載向量作用下發(fā)生受迫振動(dòng)。振動(dòng)方程為

[C]、[K]分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，、、分別為加速度向量、速度向量、位移向量，{P（t）}為動(dòng)荷載向量。質(zhì)量矩陣[M]為對(duì)角矩陣;剛度矩陣[K]為對(duì)稱矩陣，即kij=kji;阻尼矩陣[C]一般不為對(duì)稱矩陣，但可通過(guò)線性組合成為對(duì)稱矩陣。

2有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的位移響應(yīng)[6～7]

2.1 單自由度體系受迫振動(dòng)微分方程的位移響應(yīng)

式中為荷載作用時(shí)刻，被積函數(shù)t為計(jì)算位移時(shí)刻，積分上限t為瞬時(shí)沖量作用的時(shí)間范圍。綜上，單自由度體系有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的位移響應(yīng)為

2.2 多自由度體系受迫振動(dòng)微分方程的位移響應(yīng)

多自由度體系受迫振動(dòng)微分方程的位移解法通常有直解法和模態(tài)疊加法兩種。下面筆者將分別予以介紹。

2.2.1 多自由度體系受迫振動(dòng)微分方程的位移直解法

在式（2）中，假定阻尼矩陣[C]為對(duì)稱矩陣，當(dāng)體系受到的動(dòng)荷載向量為簡(jiǎn)諧荷載向量作用時(shí)，可用直解法進(jìn)行求解。平穩(wěn)階段位移響應(yīng)的形式為

若多自由度體系受到的動(dòng)荷載向量不為簡(jiǎn)諧荷載向量，而是一般動(dòng)荷載向量，可將一般動(dòng)荷載向量轉(zhuǎn)換成為若干個(gè)簡(jiǎn)諧荷載向量的疊加。但荷載疊加法在單自由度體系中已相當(dāng)繁瑣，在多自由度體系中必將更為復(fù)雜，甚至不可能實(shí)現(xiàn)。

2.2.2 多自由度體系受迫振動(dòng)微分方程的振模態(tài)疊加法

在實(shí)際的多自由度體系中，因阻尼力的機(jī)理比較復(fù)雜，阻尼矩陣很多情況下不是對(duì)稱矩陣，而使用模態(tài)疊加法又要求阻尼矩陣[C]為對(duì)稱矩陣，所以首先將阻尼矩陣作變換。設(shè)，...為多自由度體系的自振頻率，其可由頻率方程求出。，...分別對(duì)應(yīng)的陣型向量為，...。設(shè)振型矩陣，則。設(shè)廣義坐標(biāo)為，...，其為振型的組合系數(shù)。這樣，多自由度體系的位移向量便可用振型矩陣和廣義坐標(biāo)向量來(lái)表示，即

若已知多自由度體系的兩個(gè)自振頻率 （i≠j）及通過(guò)式測(cè)出的兩個(gè)阻尼比（n為周期數(shù)，yk為k時(shí)刻的振幅，yk+n為k+n時(shí)刻的振幅），則可通過(guò)式、求出a、b。再把a(bǔ)、b帶入式（13）即可求出廣義阻尼矩陣。

通過(guò)以上的變換，使非對(duì)稱的阻尼矩陣成為對(duì)稱的廣義阻尼矩陣后，便可以使用模態(tài)疊加法計(jì)算多自由度體系的位移響應(yīng)。

可見，我們把自由度為n的多自由度體系的動(dòng)力計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)換成n個(gè)單自由度體系的動(dòng)力計(jì)算問(wèn)題，從而使計(jì)算大大簡(jiǎn)化。對(duì)式（14）運(yùn)用杜哈梅積分，有

式中 ，為第i階振型有阻尼振動(dòng)的自振頻率。運(yùn)用式（15）可求出廣義坐標(biāo)向量，把帶入式（9）可求出多自由度體系受迫振動(dòng)的位移響應(yīng)。

3阻尼比、頻比系數(shù)及動(dòng)力系數(shù)對(duì)位移響應(yīng)的影響[8]

因多自由體系的阻尼比、頻比系數(shù)及動(dòng)力系數(shù)對(duì)位移響應(yīng)的影響過(guò)于復(fù)雜，本篇只研究單自由度體系的相關(guān)問(wèn)題，但二者受迫振動(dòng)位移響應(yīng)機(jī)理相同。

根據(jù)荷載疊加理論，一般動(dòng)荷載P（t）可以由若干簡(jiǎn)諧荷載疊加而成。故此，可做如下假設(shè)

顯然，式（22）的前兩項(xiàng)會(huì)逐漸衰減，最有只剩下第三項(xiàng)穩(wěn)態(tài)位移。若只考慮第k個(gè)簡(jiǎn)諧荷載的影響，并對(duì)第三項(xiàng)作變形，得第k個(gè)簡(jiǎn)諧荷載產(chǎn)生的位移響應(yīng)為

接近自振頻率? ? ?時(shí)，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力系數(shù)由阻尼比決定。一般結(jié)構(gòu)的阻尼比? ? 在0.01～0.1之間，發(fā)生共振時(shí)動(dòng)力系數(shù) β? 在5～50之間。可見，在工程中采取避免共振的措施尤為重要。此外結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)力系數(shù)并非共振時(shí)的動(dòng)力系數(shù)。由高等數(shù)學(xué)知，當(dāng)頻比系數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? 時(shí)，最大動(dòng)力系數(shù)

4結(jié)論

（1）對(duì)多自由度體系有阻尼受迫振動(dòng)的微分方程而言，使用位移直解法異常復(fù)雜，甚至不可行;但使用振型疊加法卻可大大簡(jiǎn)化計(jì)算，因?yàn)檎裥童B加法的原理是把自由度為n的多自由度體系的動(dòng)力的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)換成n個(gè)單自由度體系的動(dòng)力計(jì)算問(wèn)題。

（2）當(dāng)頻比系數(shù)趨于0時(shí)，荷載頻率相對(duì)自振頻率很小，體系振動(dòng)地很慢，動(dòng)荷載可以看作靜荷載處理。此時(shí)慣性力和阻尼力很小，動(dòng)荷載主要與彈性恢復(fù)力平衡，且動(dòng)荷載與位移同步。

（3）當(dāng)頻比系數(shù)趨于∞時(shí)，荷載頻率相對(duì)自振頻率很大，體系振動(dòng)得很塊。此時(shí)阻尼力和彈性恢復(fù)力很小，動(dòng)荷載主要與慣性力平衡，且動(dòng)荷載與位移反向，減弱振動(dòng)，即高頻振動(dòng)引起的位移響應(yīng)可以忽略。

（4）當(dāng)頻比系數(shù)趨于1時(shí)，荷載頻率接近自振頻率，發(fā)生在共振現(xiàn)象。此時(shí)阻尼比的微弱變化對(duì)動(dòng)力系數(shù)影響很大，但結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)力系數(shù)并非共振時(shí)的動(dòng)力系數(shù)。

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（名稱：城市地鐵隧道掘進(jìn)精確爆破振動(dòng)傳播機(jī)理及其控制? 編號(hào)：51664007）