線性廣義系統P型迭代學習控制在Lp范數意義下的收斂性

張克軍， 劉 芳， 劉萬利

(徐州工程學院數理學院，徐州 221018)

廣義系統[1]又稱為奇異系統，是客觀系統自然表示的一種，可以更好地刻畫描述客觀系統的性能特征，與正常系統相比，其形式更具廣泛性。自20世紀70年代廣義系統被提出以來，其理論不斷完善、發展，在航空航天、能源、石油、化工和通信等諸多領域被廣泛應用，這使得廣義系統及其理論的研究深受許多學者的青睞。

迭代學習控制[2]是智能控制的重要分支之一，適用于具有重復運行性質的動力學系統，在不依賴系統精確模型的情況下，就可實現對期望輸出的精確跟蹤。然而，現有的關于迭代學習控制的理論和應用研究主要是針對常義系統的。與之相比，由于廣義系統存在脈沖項，對廣義系統的迭代學習控制進行研究要困難得多，相關研究成果也遜色不少。采用分塊矩陣的思想，在對線性廣義系統進行奇異值分解后，文獻[3]提出了一種新的控制算法，并對算法的收斂性進行了理論分析。借助矩陣理論和不等式技巧，文獻[4-5]分別討論了線性廣義系統在四種類型迭代學習控制算法下的收斂性問題。針對帶控制時滯廣義系統和單個狀態時滯的廣義系統，結合矩陣廣義逆理論，文獻[6-7]分別討論了PID型、閉環PD型迭代學習算法收斂條件。文獻[8]提出了一類廣義系統的二階迭代學習控制算法，并借助Qp因子討論了算法的收斂速度問題。文獻[9]研究了一類線性廣義系統在固定初值下的閉環PD型和D型迭代學習控制算法的收斂條件，并對算法的收斂性進行了證明。針對一類線性廣義系統，文獻[10]研究了一種帶指數變增益的閉環D型學習算法的收斂性。一些學者對離散廣義系統也有研究，例如：文獻[11]對一類離散廣義系統的PD型迭代學習控制算法的跟蹤問題進行了討論，此類研究還有文獻[12]；此外，在離散頻域中，針對一類連續線性廣義系統，文獻[13]討論了P型迭代學習控制算法的收斂性態問題。

在理論分析過程中，在度量跟蹤誤差時，上述文獻主要采用λ范數。但是，當參數λ取值比較大時，雖然能夠滿足控制算法的收斂條件，但在系統重復運行時，暫態跟蹤誤差的最大值落在實際工程應用的容許范圍之外，導致系統崩潰[14-15]。在文獻[16-17]中，阮小娥等利用Lebesgue-p(Lp)范數研究了線性時不變系統P型和PD型迭代學習控制算法的收斂性，發現系統的收斂條件不依賴參數λ的取值，主要取決于系統本身屬性和學習增益矩陣。進一步，在Lp范數意義下，文獻[18-20]討論了分數階線性系統的分數階迭代學習控制算法的收斂性問題。受此啟發，在對線性廣義系統進行非奇異變換的基礎上，利用Lp范數對一、二階P型迭代學習控制算法的收斂條件進行分析；然后，利用Qp因子方法對兩種控制算法的收斂速度進行對比，并通過仿真實驗驗證理論的正確性。

1 數學知識

下面列出理論分析需要的一些相關數學知識。

2 問題描述及分析

考慮如下連續線性廣義系統：

(1)

式(1)中，x(t)∈Rn、u(t)∈Rm、y(t)∈Rq分別為系統狀態量、控制輸入量和系統輸出量；A∈Rn×n、B∈Rn×m、C∈Rq×n為定常矩陣；E∈Rn×n是一奇異矩陣，即rank(E)=r

(2)

其中，A11∈Rr×r，A12∈Rr×(n-r)，A21∈R(n-r)×r，A22∈R(n-r)×(n-r)，B1∈Rr×m，B2∈R(n-r)×m。

則式(2)變為

(3)

為了證明方便，下面給出算法的合理假設。

假設1對于在[0,T]上可微的期望輸出yd(t)，有唯一的理想控制輸入ud(t)，使得系統的狀態和輸出為xd(t)和yd(t)。

假設2A22可逆。

設初次的控制輸入u1(t)(t∈[0,T])為一任意值。二階P型迭代學習控制算法LP(γ1,γ2)的表達式如下：

(4)

式(4)中，Γ1和Γ2表示比例學習增益矩陣，加權系數γ1和γ2滿足：0≤γ1≤1、0≤γ2≤1且γ1+γ2=1；ek(t)=yd(t)-yk(t)，表示第k次迭代時系統的跟蹤誤差。

當γ1→1-時，LP(γ1,γ2)趨于一階P型控制算法LP(1)，其表達式如下：

uk+1(t)=uk(t)+Γ1ek(t),k=1,2,3,…

(5)

證明：由式(3)和假設2，可得：

(6)

(7)

所以：

(8)

記：

Δxk(t)=xd(t)-xk(t)

(9)

Δuk(t)=ud(t)-uk(t)

(10)

由于：

(11)

根據假設3，可得：

(12)

(13)

因此：

ek(t)=yd(t)-yk(t)=CΔxk(t)=

(14)

由式(4)，可得：

(15)

式(15)兩端取Lp范數，并應用卷積的推廣Young不等式，得：

(16)

由定理條件，可知：

γ1ρ1+γ2ρ2<1

(17)

根據引理2，可得：

(18)

由式(14)，可得：

(19)

式(19)兩端取Lp范數，并應用卷積的推廣Young不等式，得：

(20)

當γ1→1-時，二階P型控制算法LP(γ1,γ2)趨于一階算法LP(1)，當LP(1)施加于線性廣義系統[式(1)]時，有如下結論。

根據Qp因子的大小，可判斷控制算法收斂速度[16]。利用Qp因子方法，比較了兩種P型控制算法[式(4)、式(5)]的收斂速度，獲得以下結論：

注：從定理證明過程可知，在Lp范數意義下，跟蹤誤差的度量和控制算法的收斂性分析不受λ取值的影響。

3 數值仿真

考慮如下線性廣義系統：

(21)

在二階P型控制算法(4)中，取Γ1=0.25，Γ2=0.6，γ1=0.5，γ2=0.5，計算可得ρ1=0.589 8<1，ρ2=0.175 6<1，滿足定理的條件。在控制算法[式(4)]作用于下，廣義系統[式(21)]的第4次、第6次的實際輸出與期望輸出yd(t)如圖1所示。發現，當迭代次數逐漸增大時，可以實現系統實際輸出對期望輸出的完全跟蹤。

當二階P型控制算法[式(4)]作用于廣義系統[式(21)]時，圖2給出了在上確界范數和L2范數的意義下，系統跟蹤誤差曲線的變化趨勢。從圖2中可以發現，當迭代次數逐漸增加時，在兩種范數意義下，跟蹤誤差都單調趨于0。

圖1 系統輸出的跟蹤效果Fig.1 Tracking effect of system output

圖2 兩種范數意義下的跟蹤誤差Fig.2 Tracking errors in the sense of two norms

圖3 跟蹤誤差對比Fig.3 Comparison of tracking errors

4 結論

在對線性廣義系統進行非奇異變換的基礎上，在Lp范數意義下，本文利用卷積的推廣Young不等式，研究了一、二階P型迭代學習控制算法的收斂性，獲得其收斂的條件，并利用Qp因子方法比較了兩種控制算法的收斂速度。結果表明，控制算法的收斂條件、收斂速度與學習增益矩陣以及系統本身屬性有關；如果選取合適的學習增益矩陣，則二階P型控制算法的收斂速度要比一階的快。這種研究方法，可用于繼續分析非線性廣義系統的收斂性態。