基于Grid-PARAFAC的毫米波大規模多輸入多輸出系統聯合信道估計算法

楊 哲， 周小平， 王培培， 張 景

(上海師范大學信息與機電工程學院， 上海 200234)

毫米波大規模多輸入多輸出(multiple input multiple output，MIMO)無線傳輸能夠拓展利用新頻譜資源，深度挖掘空間維度無線資源，大幅提升無線傳輸速率，是未來無線通信系統最具潛力的研究方向之一[1-3]。精確的信道估計是系統實現良好性能的前提，但毫米波高衰減的天然特性以及在毫米波系統中超密集組網存在干擾問題，使得毫米波大規模MIMO信道估計的計算量變得巨大，這在一定程度上嚴重制約著毫米波大規模MIMO 無線傳輸技術研究工作的開展，為了突破這一局限，探索高性能的毫米波大規模MIMO的信道估計算法十分迫切[4-6]。

張量分解是高維數據分析的有力工具，可以有效降低數據維度，并從中挖取出有用信息。在通信系統中基于張量分解的毫米波大規模MIMO天線信道建模，不會破壞各天線間空間結構的內在聯系，能夠更加充分地利用信號的空間結構信息，提高信道估計準確性[7-9]。文獻[10]提出基于張量分解的DS-CDMA(direct sequence-code division multiple Access)系統中，在滿足唯一性定理的情況下能夠在多維接收信息中分解出信號特征，為信道估計提供了一個方向。文獻[11]提出基于張量分解的OFDM(orthogonal frequency division multiplexing)系統信道估計，構建了空時頻三個維度的PARAFAC(parallel factor)系統模型，實現了信號到達角和傳播時延的聯合估計，但其采用了截尾SVD(singular value decomposition)造成了接收信號部分損失，在低信噪比情況下的估計性能有所下降。文獻[12]提出基于張量分解的MIMO-FBMC(multiple input multiple output filter bank-based multi carrier)系統聯合信道估計和信號檢測，通過張量分解將多維度搜索問題轉化為獨立并行的單維度搜索問題，降低了系統計算的復雜度。因此，張量分解方法為提高毫米波大規模MIMO信道估計性能和降低計算復雜度提供了可行性，但隨著毫米波大規模MIMO超密集組網的實施，傳統的PARAFAC算法并不能處理大規模張量數據，因此提出Grid-PARAFAC張量分解來處理大尺度張量問題，通過Grid-PARAFAC張量分解能夠在保留原始空間信息的條件下深度挖掘數據隱藏因子，并對其處理而不是整個數據張量，減少了運算量，增大了分辨粒度，減少了信號間的干擾。

針對在毫米波大規模MIMO系統中超密集組網存在干擾的問題，提出了基于Grid-PARAFAC聯合信道估計方法。首先，通過對大規模天線的高維度接收信號映射到一個大尺度的張量空間，將大尺度張量空間的接收信號分塊張量分解轉化為獨立的子張量接收信號；然后，同時將子張量接收信號獨立并行張量分解得到符號、接收天線和子載波的子投影矩陣，降低接收信號維度，同時又保留著高維接收信號的空間結構互相關信息；最后，通過ALS(alternate least squares)，準確求得隱藏高維接收信號中的信道估計。

1 系統模型

在毫米波大規模MIMO系統超密集組網下，系統模型如圖1所示，考慮有NT根發射天線，NR根接收天線，每根發射天線傳送T個發送符號，每個符號由K個子載波進行傳輸，在毫米波幾何信道模型下，不考慮信道的時變特性，則在第j根接收天線第i根發射天線的信道矢量為

圖1 毫米波大規模MIMO 系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of millimeter-wave massive MIMO system

(1)

式(1)中：P表示可分辨路徑個數；βj,i,p表示在第j根接收天線第i根發送天線的第p條路徑的傳輸增益；θj,i,p和φj,i,p分別表示在第j根接收天線第i根發送天線第p條路徑的到達角和離開角；αr(·)和αt(·)分別表示接收端和發射端的均勻天線陣列響應，其表達式分別為：

αr(θj,i,p)

(2)

αt(φj,i,p)

(3)

式中：λ表示信號波長；d表示相鄰天線間距。因此，在接收天線和發射天線之間的信道傳輸矩陣表示為：

(4)

若假定在整個觀測時間內，信道矩陣是靜態不變的，可得在第j根接收天線上的接收信號為

Yj=SDj(H)CT+Nj,Yj∈CK×T

(5)

式(5)中，S∈CK×NT是在K個子載波在NT根發送天線上所構成的發射信號矩陣，Dj(H)表示對角化操作，取出信道傳輸矩陣H的第j行向量Hj，以Hj的元素作為主對角元素，其他元素記為零，Nj∈CK×T是噪聲矩陣，其元素為獨立同分布的加性高斯白噪聲。在發送端采用簡化的Khatri-Rao空時編碼矩陣C∈CT×NT對發送信號進行預編碼處理。

將NR個接收天線的接收信號進行堆疊，則：

(6)

式(6)中：⊙表示Khatri-Rao積。式(6)可以視為三階張量y∈CNR×K×T沿著接收天線緯度展開的矩陣展開式。y的三個因子矩陣分別由S、H和C來表征，即：

y=INT×1H×2S×3C+N

(7)

式(7)中：INT是一個NT階的單位張量；N為對應的噪聲張量，該模型還可以寫為標量形式：

(8)

式(8)中：ynr,k,t和nnr,k,t分別表示張量y和N中的元素，hnr,nt、sk,nt、ct,nt分別表示因子矩陣H、S、C中的對應元素。

2 Grid-PARAFAC模型信道估計

2.1 Grid-PARAFAC分解

從多天線理論分析可知，通過簡單地增加收發端的發射天線數量就可增加通信容量，隨著天線數量的不斷增加，毫米波大規模 MIMO 系統的信道狀態系數矩陣為高維矩陣，而高維矩陣求逆、相乘需要大量的計算復雜度，因此給信道獲取及基帶信號處理實現帶來相當高的復雜度[13-14]。傳統的PARAFAC張量分解需要計算大量Khatri-Rao乘積和高維矩陣的逆，這將需要大量的時間和內存消耗。為此，提出了Grid-PARAFAC張量分解來處理大尺度張量問題，通過Grid-PARAFAC張量分解能夠準確預測系統參數變化對信道估計性能造成的影響。

(9)

式(9)中每個子因子矩陣的維度為：Hu∈CU×NT,Sv∈CV×NTCw∈CW×NT，根據文獻[15]引理[2]：y=X×1A(1)×2A(2)…×NA(N)，在忽略噪聲的情況下可得到：

y(m)=INT×1Hu×2Sv×3Cw

(10)

(11)

針對Grid-PARAFAC模型，利用ALS算法最小化所有的低維度接收信號子張量y(m)的歐幾里德距離可以求得：

(12)

(13)

(14)

式中：?表示Hadamard乘積，因此可以得到子信道矩陣Hu和子信源矩陣Sv聯合估計，依次交替擬合式(13)、式(14)可得到更新因子矩陣分別為

(15)

(16)

2.2 復雜度分析

考慮用迭代算法達到收斂時所需要的乘法次數來分析比較傳統的PARAFAC和Grid-PARAFAC算法的復雜度。在單次迭代中，傳統的PARAFAC和Grid-PARAFAC算法估計H的復雜度分別為O[KTNTNR+2K2T2NT+K3T3] 和O[U2VWNT+U(NT)3]，估計S的計算復雜度分別為O[KTNTNR+2T2(NR)2NT+(NR)3T3]和O[UV2WNT+V(NT)3]，顯然可以看出，在單次迭代過程中，傳統的PARAFAC的算法復雜度高，并且每次計算的都是高維矩陣，求解高維矩陣將會耗費大量的時間和內存，然而Grid-PARAFAC算法將高維矩陣的求解轉化為低維小矩陣的求解，可以通過在計算機內并行快速迭代出最優解，并且Grid-PARAFAC算法利用張量的空間結構性，在子張量的求解中減少了錯誤誤差的迭代累加，可以更快地達到收斂。因此，采用子張量作為基本的數據結構單元進行數據處理具有計算效率和性能上的巨大優勢。

3 實驗仿真

下面來驗證所提出的Grid-PARAFAC 方法的估計性能。在所有的仿真中，系統噪聲矩陣和信道矩陣中的所有元素都是均值為0方差為1的獨立同分布復高斯隨機變量。編碼矩陣采用Khatri-Rao空時編碼矩陣，發送端的發送符號矩陣是由QPSK(quadrature phase shift keying)調制。信道矩陣H的估計性能由MSE(mean squared error)來權衡，并采用蒙特卡羅仿真1 000次。

圖2給出了所提方法和已有方法的MSE性能比較，已有方法選擇了傳統PARAFAC方法和基于導頻的信道估計算法。其中，NT=64，NR=64，K=1024,T=64，子載波頻率為28 GHz，當信噪比為0～30 dB時，如圖2所示，所提方法的信道估計算法性能是優于基于導頻估計算法和傳統PARAFAC算法，特別是在低信噪比的情況下，基于導頻的估計算法的性能非常差，但所提方法依然具有較好的估計性能。此外，Grid-PARAFAC 算法受參數M的影響，從仿真圖2可以看出，當M=4時的Grid-PARAFAC 算法性能略優于M=2，因此合理設置Grid-PARAFAC 算法的參數可以提高其算法性能。

圖3比較了各種算法在不同信噪比下系統的誤碼率BER(bit error rate)，以此來比較不同算法的性能。從圖3中可以看出，無論在高信噪比還是低信噪比下，所提出方法的誤碼率相較于基于導頻訓練與傳統PARAFC性能都有所提升，這是因為Grid-PARAFAC算法利用張量的空間結構性，在張量的求解中由于子張量的分級減少了錯誤誤差的逐層迭代累加，減少了分級的子誤碼率，從而使整體系統的誤碼率性能得到了提升。

圖4對比了三種算法在天線端配備不同天線數時所需要的估計時間，以此來驗證不同算法的時間復雜度。從圖4中可以看出，隨著接收端天線數不斷增多，信道估計的維度也隨之增大，不同算法所耗費的估計時間也迅速增加。其中，Grid-PARAFAC算法所耗費的時間最短，并且隨著天線維度增長緩慢變化，這是因為Grid-PARAFAC算法對高維矩陣的求解轉化為低維小矩陣，并且通過并行工具箱對數據進行并行處理迭代出最優解，而傳統的PARAFAC隨著天線數的不斷增加，需要對高維矩陣進行迭代與求逆，信道估計的凸優化問題復雜度變得非常巨大，其所耗費的估計時間非常不理想，因此并不能應用于解決實際大規模MIMO信道估計問題。

圖2 不同信道估計算法性能MSE比較Fig.2 MSE performance comparison of different channel estimation algorithms

圖3 不同算法BER比較Fig.3 BER comparison of different algorithm

圖4 接收端天線數與估計時間曲線Fig.4 The number of antennas at the receiving and estimated time curve

4 結論

針對在毫米波大規模MIMO系統中超密集組網存在干擾的問題，提出了基于Grid-PARAFAC的聯合信道估計方法，首先，通過對大規模天線的高維度接收信號映射到一個大尺度的張量空間，將大尺度張量空間的接收信號分塊張量分解轉化為獨立的子張量接收信號；然后，同時將子張量接收信號獨立并行張量分解得到符號、接收天線和子載波的子投影矩陣，降低接收信號維度，同時又保留著高維接收信號的空間結構互相關信息；最后，通過交替最小二乘準確求得隱藏高維接收信號中的信道估計。仿真結果表明，所提算法減少了超密集組網所存在高維度信道干擾，降低了計算復雜，提高了系統性能。但本文目前只實現了實驗仿真，應用于實際系統是未來研究的方向。