曲柄滑塊機構的穩健性設計

鄭 瑞，張艷云

（1.成都大學，四川 成都610106；2.川北醫學院，四川 南充637100）

穩健設計就是通過調整設計變量和控制其容差，使可控因素和不可控因素與設計值發生變差時仍能保證產品質量的一種工程方法。穩健性設計亦稱“田口方法”，是一種低成本、高效益的質量工程法，此方法由日本田口玄提出，將質量重點由制造階段前移到設計階段，強調設計對質量的重要作用［1］。

曲柄滑塊機構作為機械裝置的基本機構之一，具有廣泛而重要的用途，但在其工作的整個壽命過程中受到多種不可測因素的干擾，如制造誤差、裝配誤差、使用中的磨損導致的誤差等，這些如果處理不當，將會造成嚴重的機械故障，更為甚者將會造成嚴重的安全事故［2］。所以如果在設計階段充分考慮到各種不可測因素的影響，從而使機械裝置在整個使用壽命階段的性能達到最優，對機械系統有很大的影響［3-4］。此次設計就是針對曲柄滑塊機構的以上問題，運用穩健設計方法對曲柄滑塊機構進行優化設計，并用MATLAB進行仿真，驗證了穩健性設計比傳統設計具有更好的穩健性。

1 基于傳統優化方法的曲柄滑塊設計

1.1 曲柄滑塊設計目標與要求

本文設計如圖1所示的曲柄滑塊機構，其曲柄的轉角θ是從10°到60°，滑塊距離S應該滿足從35 mm到25 mm的要求。曲柄桿長a，連桿桿長b，偏移距離e為目標變量。本文中，假設桿長變量a和b由于加工制造以及裝配誤差將會導致其尺寸發生變化，這種變化一般服從正態分布規律，如表1所示。對于變量e，根據不同的安裝位置確定，其分布一般是要滿足一定的區間誤差，如表2所示，這里給定e的平均值為e［6］。

圖1 曲柄滑塊機構

表1 隨機分布設計變量表

表2 區間分布設計變量表

1.2 建立目標函數與優化約束

由圖1可知：

其中ε（θ）為極限位置下曲柄實際所達位置與期望所達位置的偏差，基于設計要求，可以將設計問題轉換為：兩個極限位置的實際位置與要求位置偏差最小。即轉換為兩個目標的多目標優化問題。由設計要求可得：

式（1.7）為優化設計的目標函數。

由于曲柄滑塊屬于四連桿機構，所以必須滿足四連桿機構的桿長條件。即：

又由于桿長范圍的限制，還需滿足以下要求：由式（1.8）～（1.12）可得出設計的約束條件為：

1.3 基于MATLAB的傳統優化求解

在設計中初始值取x＝［a b e］＝［481］，帶入Matlab的優化設計工具箱中，用fmincon函數進行優化［7］，輸出結果如表3所示：

表3 曲柄滑塊傳統優化結果

2 基于穩健設計法的曲柄滑塊設計

2.1 建立基于穩健設計法的目標函數與優化約束

根據質量損失函數的定義，可知這里的優化問題屬于望小特性問題，對應質量損失模型的優化目標函數可以寫成：

式中，k1和k2為兩個質量特性的影響系數。

為了得到目標函數的均值和方差，對目標函數進行一次二階矩展開。

在一次二階矩的計算中，對于

其中，xi服從任意分布，在中心點處展開為泰勒級數為：

取其近似值，則

根據概率論中隨機變量參數估計，Z*的統計參數為：

針對本問題分別對f1和f2進行展開。記x＝［ab］＝［x1x2］。

由于本問題中除隨機變量外還有區間分布變量，所以均值的計算公式為：

將式（2.5）～（2.7）帶入兩個目標函數表達式中得：

同樣，對于目標函數方差，由于含有區間分布誤差，所以計算方法與均值類似，對目標函數求方差有：

對應本問題式（2.1）中的k1和k2，可以設兩目標函數的功能界限和質量偏差帶來的損失是一樣的，則k1＝k2＝0.5。再將以上展開部分帶入式（2.1）即可得穩健設計優化目標函數的表達式。在原理約束條件的基礎上考慮誤差的影響，可行域會被減小，所以需要對原可行域進行補償。即

式中，k是根據設計需要確定的約束放寬系數。所以穩健設計的約束函數可以寫改寫為：

同樣，根據一次二階矩對約束函數g1和g2進行展開，則：

將（2.22）～（2.25）帶入約束式（2.21）即可得到穩健設計約束函數。

2.2 二次規劃方法求解穩健設計模型

如果非線性規劃的目標函數為自變量的二次函數，約束條件全是線性函數，則這種規劃稱為二次規劃。其數學模型為：

式中，H為二次項的系數矩陣。

二次規劃求解方法又稱為SQP方法，在Matlab優化工具箱中有現成的二次規劃求解優化問題的算法，這里就不再對具體算法進行研究，直接進行調用求解。將以質量損失函數為目標的穩健優化設計模型編寫為相應程序，求解結果見表4：

表4 穩健優化設計結果

3 基于MCS法的優化結果對比分析

3.1 運用MCS法對傳統優化結構分析

利用Matlab設計驗算程序，在外層樣本點取20個內層的樣本點設計5000個。帶入傳統設計方法，得到的結果為［a b e］＝［11.3349 25.2966 6.4985］，由于這里關注的是曲柄滑塊的兩個極限位置，所以可以需要將其作為兩個質量屬性分別評價［8］。即對以下兩個表達式進行評價：

當［a b e］＝［11.3349 25.2966 6.4985］時，f1對應于每個外層樣本點e的目標分布如圖3所示，MCS對目標函數一傳統設計評價結果見表5。f2對應于每個外層樣本點e的目標分布如圖4所示，MCS對目標函數二的傳統設計評價結果見表6。

圖3 目標函數一的傳統設計分析圖

圖4 目標函數二傳統設計分析圖

表5 MCS對目標函數一的傳統設計評價結果

表6 MCS對目標函數二的傳統設計評價結果

3.2 運用MCS法對穩健優化結構分析

利用Matlab設計驗算程序，在外層樣本點取20個內層的樣本點設計5000個。帶入穩健設計方法，得到的結果為［a b e］＝［13.2377 22.2078 1］，同樣，由于這里關注曲柄滑塊的兩個極限位置，所以可以需要將其作為兩個質量屬性分別評價［9］。即對式（3.1）～（3.2）進行評價。

當設計結果為穩健設計結果為［a b e］＝［13.2377 22.2078 1］時，f1對應于每個外層樣本點e的目標分布如圖5所示，MCS對目標一的穩健設計評價結果見表7。

圖5 目標函數一的穩健設計分析圖

圖6 目標函數二的穩健設計分析圖

表7 MCS對目標函數一的穩健設計評價結果

表8 MCS對目標函數二的穩健設計評價結果

f2對應于每個外層樣本點e的目標分布如圖6所示，MCS對目標函數二的穩健設計評價結果見表8。

從以上的兩組對比結構可以看出，對評價目標μf兩種設計都能滿足要求，差別不大，說明兩種設計方法都能滿足基本的設計要求。對評價目標σf與δσf穩健設計得到的結果在兩個評價目標里均比傳統設計的結果要小，說明穩健設計得到的設計結果要優于傳統設計結果，更能適應未知外界變化。即穩健設計更能提過設計質量［10］。

4 結論

通過利用蒙特卡洛方法，結合Matlab編寫基于概率統計的程序，對兩組設計結果進行了分析，從分析結果中發現，傳統設計方法和穩健設計方法在沒有外界誤差的情況下都能滿足設計要求，而在考慮外界誤差時，傳統設計方法對目標的集中程度即方差沒有穩健設計得到的結果好，說明采用穩健設計方法對于產品減少制造加工誤差帶來的不利影響有較強的穩健性。