二階多智能體系統參數自適應的有限時間一致性算法

崔 艷,李慶華

(山西師范大學 物理與信息工程學院,山西 臨汾 041000)

0 概述

近年來,多智能體系統的分布式協同控制逐漸成為控制領域的研究熱點,其在實際生活中有很多應用,如多機器人編隊控制[1]、無人機編隊飛行控制[2]和水下自動駕駛車[3]等。一致性是多智能體系統分布式協同控制的基本問題[4-6]。在衛星群的同步運行、多飛行器飛行、多自主機器人探測器等實際問題中,系統需要在有限時間內實現一致收斂,因此,研究在有限時間內系統的快速收斂具有重要意義[7-8]。

在一致性問題研究中,收斂速度是一個重要的性能指標。文獻[9]指出代數連通性決定了多智能體系統的一致收斂速度,文獻[10]通過增大代數連通性提高系統的收斂速度,上述研究說明,代數連通性提高可以加快收斂速度。文獻[11]考慮最優頂點配置,使生成圖的代數連通性達到最大,并將任意2個智能體間的權重作為距離構造函數。文獻[12]將半正凸函數的解作為鄰接矩陣元素,提高系統的收斂速度。然而,上述工作都是基于合適的拓撲結構進行分析,并沒有討論如何利用智能體間的控制協議來提高收斂速度,因此不具備自適應的特點。此外,與漸近一致相比,有限時間一致具有響應快、準確性高和魯棒性好等優點,鑒于此,文獻[13]對一階多智能體系統中的有限時間一致性問題進行研究。文獻[14]將非線性系統參數化,僅利用每個智能體與其相鄰智能體之間的局部相對位置狀態信息,提出分散有限時間自適應一致性算法,使系統達到一致。文獻[15]通過選擇適當的最小矩陣多項式,在離散時間系統中給出一致性算法。文獻[16]將智能體之間位置與速度的差值作為反饋系數函數,提出控制協議,但系統的收斂速度較慢且反饋系數為固定值。文獻[17]分析了自適應反饋系數在一致性算法中的作用,但并沒有明確提出確定系數的方法。

本文針對二階多智能體系統提出一種反饋系數自適應的有限時間一致算法。該算法利用相鄰智能體之間的位置差值和速度差值作為反饋系數來預測飛行器多智能體下一時刻的狀態。

1 預備知識

有向圖G=(v,ε,A)表示多智能體系統的通信結構。其中,v={v1,v2,…,vn}稱為G的節點集,ε∈v×v稱為邊緣集,A=[aij]是G的鄰接矩陣。在圖G中,從節點vi到節點vj的有向邊表示為eij=(vi,vj)∈ε。邊的鄰接元素為正,即eij∈ε?aij>0且有aij=0,無向圖的鄰接矩陣具有對稱性。

2 實際系統模型與協議設計

具有n個飛行器的二階動態系統如下:

(1)

定義1對于式(1)所示的多智能體系統,如果存在一個停息時間T0∈[0,+∞),則滿足式(2)時,二階系統達到有限時間一致[16]。

?i,j=1,2,…,n

(2)

本文研究有限時間內的二階多智能體系統一致性,并提出以下控制協議:

(3)

為預測下一時刻飛行器的狀態并加快收斂速度,利用飛行器間的位置差值與速度差值,設計協議ui(t)中的參數bij和cij的計算公式,具體如下:

(4)

其中,|xj-xi|和|vj-vi|分別表示2個飛行器之間的位置差值與速度差值,0

3 相關定義和引理

定義2非線性系統的定義如下:

(5)

連續向量流f(x)=[f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)]T,與帶有擴張的(r1,r2,…,rn)ri>0的度是齊次的,對于任意的ε>0,有如下公式:

fi(εr1x1,εr2x2,…,εrnxn)=εκ+rifi(x),i=1,2,…,n

(6)

定義3式(5)所示的系統是齊次的,如果其向量流也是齊次的,并且滿足如下公式:

(7)

(8)

3.1 固定拓撲情形

定理1對于n個飛行器構成的多智能體系統(即式(1)),G是無向連通的,存在協議參數bij和cij為正時,式(3)協議可以使系統達到有限時間一致。

證明誤差定義如下:

(9)

(10)

記mij=2-βij,nij=2-λij,則有如下公式:

(11)

由式(1)、式(4)和式(9)可知:

(12)

取Lyapunov函數V=V1+V2+V3,其中:

(13)

對Lyapunov函數求導,得到以下公式:

(14)

(15)

(16)

(17)

下面證明系統可在有限時間內達到一致。令:

ψn(t),ψn+1(t),ψn+2(t),…,ψ2n(t)]T

則式(12)可以改寫為如下形式:

fi(εr1ψ1,εr2ψ2,…,εrnψn,εrn+1ψn+1,…,εr2nψ2n)=

εrn+iψn+i=εR2fi(ψ)=εR1+κfi(ψ)=εri+κfi(ψ),

i=1,2,…,n

且有:

fn+i(εr1ψ1,εr2ψ2,…,εrnψn,εrn+1ψn+1,…,εr2nψ2n)=

εR2+κfn+i(ψ)=εrn+i+κfn+i(ψ),

i=1,2,…,n,j=1,2,…,n

由上述分析可知,ψi→0,ψn+i→0,故γ>0,存在t0>0,說明ψi(t)與ψn+i(t)是有界的,具體過程如下:

綜上所述,由引理2可知,式(3)控制協議可在有限時間內實現一致性收斂。

注釋1文獻[16]中提出的一致性協議如下:

(18)

當系統未達到收斂狀態時,存在以下情形:

(19)

由注釋1可知,這是一種實際可操作的參數確定方法,而本文的參數設計方式可實現對不同二階飛行器智能體輸入狀態的自適應調節。

注釋2由于本文Lyapunov函數求導后小于文獻[16]中Lyapunov函數求導的結果,因此本文一致性控制算法的收斂速度更快。

3.2 切換拓撲情形

由于外界擾動等因素的影響,無法保證網絡拓撲結構始終保持不變,因此考慮切換拓撲情形具有重要意義。

(20)

引理3考慮以下非線性系統:

(21)

證明取Lyapunov函數V=V1+V2+V3,其中:

由于切換拓撲中涉及的每個拓撲是連接且未改變的(證明過程與定理1類似),由引理3可知,系統是有限時間穩定的。實例說明過程類似于固定拓撲的分析。

4 仿真實例分析

飛行器的發展給人們的日常生活帶來了極大的便利,越來越多的人愿意接受并使用這些新產品。飛行器在植保、快遞、搜救、航拍以及巡檢方面的普及速度非常快,而其一致性追蹤在實際生活中更是應用廣泛。一致性追蹤需要多個飛行器協同合作,可以在有限時間內更快速高效地完成高強度工作,方便人們的日常生活。未來,飛行器將越來越多地取代傳統的作業方式,其發展前景也非常令人期待。

針對多智能體系統的研究主要包括多智能體的一致性、編隊控制、聚集等方面的問題。多智能體系統通過控制相鄰飛行器之間的位置與速度,在有限時間內實現一致性追蹤,并預測下一時刻飛行器的狀態。

本節通過實例給出具體分析。以包含4個飛行器的多智能體系統為例,各飛行器之間的通信拓撲結構如圖1所示。其中,拓撲結構的所有非零連接權值均為1,假設4個飛行器位置的初始狀態為x(0)=[-1.5,0.8,-0.2,0.2]T,速度的初始狀態為v(0)=[0.9,-1.2,0.4,-1]T。

圖1 多智能體系統的拓撲結構Fig.1 Topological structure of a multi-agent system

選取圖1(d)作為固定拓撲結構,利用相鄰飛行器之間位置與速度的差值作為一致性反饋系數bij和cij,并提出式(3)所示的一致性協議,同時定義位置與速度之間的誤差進行仿真。圖2和圖3分別給出所有智能體的位置和速度狀態信息,可以看出,最終4個飛行器的位置與速度都趨于一致,共同完成工作。圖4和圖5分別給出每個飛行器的位置和速度與平均值之間的誤差,可以看出,最終位置誤差趨于一致。綜上所述,4個飛行器能夠在有限時間內達到一致跟蹤,且達到一致所用的時間較短,因此,其協同工作完成任務的效率較高。

圖2 固定拓撲結構位置仿真曲線Fig.2 Simulation curve of position in a fixed topologicalstructure

圖3 固定拓撲結構速度仿真曲線Fig.3 Simulation curve of speed in a fixed topologicalstructure

圖4 固定拓撲結構位置誤差仿真曲線Fig.4 Simulation curve of position difference in a fixedtopological structure

圖5 固定拓撲結構速度誤差仿真曲線Fig.5 Simulation curve of speed difference in a fixedtopological structure

考慮切換拓撲的情形,4個飛行器之間的通信信息關系如圖1所示,其切換順序為(a)→(b)→(c)→(d)→(a)。在各飛行器之間進行信息交換,應用本文在切換拓撲下的一致性協議,即式(20)進行仿真,可得到切換拓撲情形下4個飛行器位置與速度的狀態,如圖6和圖7所示。可以看出,最終飛行器的位置與速度能在有限時間內實現一致跟蹤。圖8和圖9分別為每個飛行器的位置和速度與平均值之間的誤差,可以看出,最終誤差趨于一致。綜合以上分析可得,在切換拓撲情形下,即4個飛行器之間的信息交流的軌跡發生變化時,多智能體系統能夠在有限時間內達到一致跟蹤,且達到一致的速度較快。切換拓撲情形考慮了復雜網絡之間的信息交換,且其方式更加靈活,因此,切換拓撲的情形在實際應用中更為普遍和重要。

圖6 切換拓撲結構位置仿真曲線Fig.6 Simulation curve of position in a switching topologicalstructure

圖7 切換拓撲結構速度仿真曲線Fig.7 Simulation curve of speed in a switching topologicalstructure

圖8 切換拓撲結構位置誤差仿真曲線Fig.8 Simulation curve of position difference in a switchingtopological structure

圖9 切換拓撲結構速度誤差仿真曲線Fig.9 Simulation curve of speed difference in a switchingtopological structure

5 結束語

本文提出一種二階多智能體系統參數自適應的有限時間一致性算法。利用位置和速度的差值作為反饋系數,實現二階系統參數的自適應一致,通過構造Lyapunov函數并利用齊次理論,分析系統在有限時間內達到穩定的條件。仿真結果表明,該算法能夠使多智能體系統在有限時間內實現一致跟蹤,且收斂速度較快。下一步將針對具有干擾和不確定性的高階多智能體系統進行一致性問題研究。