坩堝中二氧化硅的熔化行為

孫雨含，甘顯豐，李 安

（1.華北理工大學冶金與能源學院，河北 唐山 063210；2.華北理工大學生命科學院，河北 唐山 063210；3.華北理工大學材料科學與工程學院，河北 唐山 063210；4.華北理工大學數學建模創新實驗室，河北 唐山 063210）

二氧化硅具有穩定的物理、化學特性。熔、沸點較高，一般不和酸反應。和熱的濃強堿溶液或熔化的堿反應生成硅酸鹽和水，跟多種金屬氧化物在高溫下反應生成硅酸鹽。不管是從物理性質還是化學性質來說，二氧化硅都是一種很好的非金屬材料，研究其熔化規律[1]很有必要。但由于高溫熔化池的溫度超過1500℃，若以直接接觸的方式對高溫熔化池內二氧化硅進行溫度測定，會導致儀器壽命變短。因此，相關研究小組使用一種具有放大效果的裂片CCD視頻拍攝系統，對二氧化硅在時間序列中的定值率進行了分析，實現了對二氧化硅受熱熔化過程的追蹤。為了充分了解二氧化硅的熔化行為，實驗給出純二氧化硅顆粒和直徑為8mm的剛玉坩堝，并研究在8mm的剛玉材料的坩堝中，二氧化硅受熱熔融。由于二氧化硅顆粒形狀不規則，受熱面積不均勻而導致其在熔煉過程中的位置不斷變化。因此，我們可以根據二氧化硅在熔化過程中的質心變化位置建立模型來分析二氧化硅熔融行為。

1 質心的確定

質量中心簡稱質心，指物質系統上被認為質量集中于此的一個假想點。在一個N維空間中的質量中心，我們查閱資料可知。再將質點系動量定理，以導數運算的方法，得到質心運動定理，即將代入質點系動量定理中[2]，得到。

繼而我們對時間求導，可以得到系統每一項為各部分所受到的力。由于內力都是成對出現且大小相等方向相反，所以，當內部某一點的內力為零時，即可推出質心的位置。

2 質心的運動軌跡

在這里，我們不考慮二氧化硅顆粒運動時，與坩堝產生的靜摩擦力、粘性力，以及剛玉坩堝加熱二氧化硅時，對二氧化硅的加熱溫度不變。所以在高溫熔融狀態下[3]，不規則的二氧化硅顆粒由于形狀不同，導致各個地方受熱不均，使得二氧化硅受到不同方向的力導致二氧化硅發生位移。我們采用具有放大效果的裂片CCD視頻拍攝系統來拍攝二氧化硅熔化過程的位置分布，每隔一秒拍攝一張，完全熔化共需114s。我們利用MATLAB的圖像重疊函數，將114張照片疊加在一起，觀察二氧化硅的質心運動。我們把114張照片中的所有質心用點標出，并且畫出質心的運動軌跡。以剛玉坩堝的邊緣作為橫縱坐標，建立平面直角坐標系和網格線，并把質心的運動軌跡用坐標表示，如圖1所示。

圖1 質點位置示意圖

3 質點運動模型的建立與求解

觀察質點運動軌跡，我們可以得出質心位置隨時間的變化不是一個線性的關系。為了形象的表示出質心大多數的運動軌跡，我們了利用SPSS軟件進行回歸分析[4，5]，綜合多種函數進行擬合分析，可以得到擬合曲線圖，如圖2所示。

首先，根據時間的順序我們可以觀察到，在0到60秒的時間內，利用一次函數擬合比較符合質心的運動軌跡，方程為y=0.316x+3.695。

圖2 質心擬合示意圖

其次，在61秒到100秒時間內，利用二次函數擬合比較符合質心運動規律。得到質心運動方程y’=-0.069x2+1.122x+2.196。

最后，在101到114秒的時間內，由于二氧化硅熔融態過多，固態比較少，質量較輕，導致移動速度過快，運動軌跡的范圍變大，運動更加劇烈。因此，后段時間，我們重新進行回歸分析，擬合計算，多種擬合函數相比較，可以得出一次函數的擬合度相對較高。最后得到質心運動方程為y”=-2.097x+24.645。

4 結論

我們建立的質點迭變模型是基于大學物理中質點運動與軌跡方程的基礎上，創新的利用SPSS回歸分析函數進行迭變擬合。綜合冪函數、復變函數、增長函數和指數函數等進行擬合，得到不同相關性的擬合曲線。并且，建立平面直角坐標系，以公式的形式表示質點的運動軌跡。三個熔化階段的方程分別為y=0.316x+3.695、y’=-0.069x2+1.122x+2.196、y”=-2.097x+24.645。