有限差分法在電阻率測井中的應用

王鵬飛，田 豆，王 軻

（1.西安石油大學，陜西 西安 710065；2.陜西省油氣井測控技術重點實驗室，陜西 西安 710065）

在電阻率測井中，傳統(tǒng)的一維建模缺乏對三維地層建模的能力，而三維建模數(shù)值計算方法形式復雜，計算時間較長，對計算機性能要求較高。為了快速、準確地計算復雜地層的電導率，建立一種模擬三維電阻率測井的二維地層電阻率測井模型。

1 構建有限差分模型

假設電磁波沿y軸方向均勻傳播，則一般的導波結構可以表示為

為了抵消時間變化因子 ejωt，式 （1） 與 （2）中沿y方向的導數(shù)使用來代替，本文以下關于y方向的導數(shù)都用-jk來表示。

已知麥克斯韋方程

對電磁場分量進行歸一化則可以得到

通過沿傳播方向方向進行傅里葉變換，將場矢量和源矢量從時域轉換為頻域，將三維問題轉化為二維問題，有限差分法使用Ex，Ev，Ez和Ex，Ev，Ez分量對2D空間中的磁（或電） 偶極子的場進行建模。

對函數(shù)進行傅里葉變換，得

其中f（y） 表示電場強度E、磁場強度H、電流密度J、磁化強度M。

在交錯的Yee網格結構中，各電場分量位于網格單元棱邊，各磁場分量位于網格單元面中心。

在應用有限差分法進行建模計算時，其仿真時間不但取決于2D建模計算方法的復雜度，而且與逆傅里葉變換的正交點數(shù)相關，點數(shù)越多，計算時間越長。我們通過截斷積分來提高積分效率，設置積分區(qū)間為 [-kym，kym]，kym為最大場振幅的0.1%。

求解（10）式可得時域電磁場分量。

2 數(shù)值模擬計算

為了對交錯網格有限差分法及計算效果進行驗證，我們在MATLAB平臺上構建數(shù)值計算地層模型，分別構建了地層斷層模型以及地層裂縫模型。首先對本文提出的算法進行驗證。

圖1 2.5D與1D數(shù)值解對比圖

圖1為均質三層地層模型與1D模型視電導率計算結果對比圖。圖1中兩曲線基本重合，有限差分法數(shù)值計算結果正確。

圖2為不同的傅里葉逆變換正交點數(shù)數(shù)值解與解析解視電導率對比圖，通過綜合對比計算精度與計算時間，本文中所有模型的Ky數(shù)值定為81。

設計一種地層斷層模型進行計算，設計的模型二維剖面如圖3所示。其中目的層電阻率R2=R5=10Ω·m，圍巖電阻率 R1=R3=R4=R6=1Ω·m，儀器工作頻率為f=20kHz，收發(fā)間距為L=1m，采樣間隔為0.4m，計算域為40m。目的層厚H=4m，斷距h=1m，a為斷層傾角。儀器位于上目的層中沿x方向水平移動，穿過斷層界面到達下目的層，模型中儀器初始位置位于上目的層z方向中間位置；儀器到達下目的層后，距上邊界1m，距下邊界3m。

圖2 數(shù)值解與解析解對比圖

圖3 斷層剖面示意圖

圖4為不同斷層傾角a的斷層視電導率曲線。圖4中曲線表明，當斷層傾角a越小，儀器穿過斷層面時的視電導率越小；隨著a的不斷增大，斷層面處的視電導率隨之增大，“犄角”不斷變小，直至消失。曲線中“犄角”現(xiàn)象的出現(xiàn)是因為斷層傾角小，斷層面處下目的層對上目的層產生影響，導致視電導率下降；當傾角變大時，這種影響逐漸減弱，當傾角為80°時，下目的層的影響完全消失。當儀器進入下目的層時，視電導率增大，出現(xiàn)這種結果的原因是因為儀器在進入下目的層后，儀器與目的層和圍巖邊界的距離變小，受到圍巖影響的效應增強，導致下目的層的視電導率增大。

圖4 斷層視電導率

利用三層地層水平井數(shù)值計算結果。其中模型計算域為40m，目的層厚為4m，目的層電導率為σt=0.1s/m，圍巖電導率為σs=1s/m，儀器工作頻率為f=20kHz，收發(fā)間距為L=1m，采樣間隔為0.4m。圖4中曲線在目的層與圍巖交界面處因角度以及采樣間隔過大的原因出現(xiàn)“犄角”效應。此結果表明應用有限差分法進行水平井探測，層邊界明顯，計算效果好。

3 結語

在對復雜地層進行電磁測井時，一維模型難以構建復雜三維地層，三維模型又存在結構復雜，計算矩陣規(guī)模巨大，計算消耗時間長，對計算機性能要求高。本文在MATLAB軟件平臺上應用提出交錯網格有限差分法能夠很好的以二維的形式模擬三維地層建模，對地層中的斷層有著很好的探測效果，能夠真實、準確的反映地層電導率。計算時間與三維計算軟件COMSOL相比大幅減少，表明交錯網格有限差分法形式簡單、計算效率高。