基于“數(shù)學(xué)理解”的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

福建省莆田擢英中學(xué) 康杉杉

很多高中生都將數(shù)學(xué)學(xué)科視為高中階段最難學(xué)的一門(mén)學(xué)科。高中數(shù)學(xué)知識(shí)本身就具備極強(qiáng)的抽象性和邏輯性，理解起來(lái)難度很大，同時(shí)高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的低效也是造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難的原因之一。因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)關(guān)注課堂教學(xué)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，根據(jù)高中生認(rèn)知基礎(chǔ)和思維能力，靈活調(diào)控課堂教學(xué)節(jié)奏，充分激活學(xué)生的數(shù)學(xué)探究思維，提高學(xué)生的課堂參與效度，引導(dǎo)學(xué)生以“數(shù)學(xué)理解”的學(xué)習(xí)手段建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。

一、以梳理知識(shí)脈絡(luò)為起點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容的連貫性極強(qiáng)，各章節(jié)間或多或少都存在一定聯(lián)系，如果學(xué)生出現(xiàn)某一章節(jié)的學(xué)習(xí)短板，很容易影響到整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，限制學(xué)生數(shù)學(xué)新知學(xué)習(xí)的實(shí)效性。教師以遷移學(xué)習(xí)理念為指導(dǎo)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的編排設(shè)計(jì)、難度高低，鏈接與之相關(guān)的數(shù)學(xué)舊知，幫助學(xué)生快速定位學(xué)習(xí)內(nèi)容在認(rèn)知體系中的位置，理清其中的數(shù)學(xué)知識(shí)脈絡(luò)。高中生已經(jīng)具備了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)信息分析能力，能夠通過(guò)自主學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)到一些顯性的知識(shí)聯(lián)系，但對(duì)蘊(yùn)含于知識(shí)背后的潛在的聯(lián)系及數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的挖掘能力稍顯欠缺。教師應(yīng)著重關(guān)注這些隱性的知識(shí)脈絡(luò)，將舊知回顧、習(xí)題鞏固等活動(dòng)設(shè)計(jì)滲透到各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)當(dāng)中，為學(xué)生的遷移學(xué)習(xí)建立立足點(diǎn)。

人教版高中數(shù)學(xué)教材同一章節(jié)編排的內(nèi)容都是由基礎(chǔ)知識(shí)開(kāi)始，層層遞進(jìn)展開(kāi)的，具有很強(qiáng)的科學(xué)性。教師要深入理解編者的編排意圖，設(shè)置必要的前置性學(xué)習(xí)活動(dòng)，喚醒學(xué)生已有的舊知。例如：“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”單元共分成了平面、空間中直線與直線的位置關(guān)系、空間中直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系四個(gè)小節(jié)。教師展開(kāi)“平面與平面的位置關(guān)系”教學(xué)內(nèi)容時(shí)，在導(dǎo)學(xué)案中設(shè)置了有關(guān)前三小節(jié)內(nèi)容的總體回顧，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“平面”概念的基本認(rèn)知，引領(lǐng)學(xué)生回憶直線與直線、直線與平面學(xué)習(xí)中主要討論的位置關(guān)系，以這些舊知內(nèi)容作為遷移學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，組織學(xué)生展開(kāi)類(lèi)比分析。這些數(shù)學(xué)舊知?jiǎng)倓倢W(xué)習(xí)不久，學(xué)生印象比較深刻，很快就完成了導(dǎo)學(xué)案的問(wèn)題解答，這樣，將主要課堂時(shí)間集中到類(lèi)比學(xué)習(xí)活動(dòng)中，課堂學(xué)習(xí)效率顯著提高。

該單元的教材編排不僅在數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容上有著緊密聯(lián)系，而且各小節(jié)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法也具備很強(qiáng)的相似性。教師對(duì)接前三小節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)前置學(xué)習(xí)活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合已有認(rèn)知，運(yùn)用之前的類(lèi)比學(xué)習(xí)方法展開(kāi)新知探究，保持了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維連貫性，降低了數(shù)學(xué)新知的理解難度，能夠簡(jiǎn)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維認(rèn)知過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)空間中的點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的完整知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

二、以呈現(xiàn)思維過(guò)程為支點(diǎn)

基于“數(shù)學(xué)理解”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，不能簡(jiǎn)單地停留在學(xué)習(xí)結(jié)果的死記硬背、生搬硬套上，而是要激活學(xué)生主動(dòng)思維意識(shí)，讓學(xué)生可以親歷數(shù)學(xué)知識(shí)探究、建構(gòu)的思維過(guò)程。這要求教師擺脫“知識(shí)本位”的教學(xué)觀念，將教學(xué)目光由學(xué)習(xí)結(jié)果轉(zhuǎn)向?qū)W習(xí)過(guò)程，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)體驗(yàn)，提高學(xué)生課堂參與效度。對(duì)于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)探究課題，教師可為學(xué)生提供必要的認(rèn)知素材后，直接投放給學(xué)生，組織學(xué)生展開(kāi)自主探究，發(fā)揮學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性。而對(duì)于認(rèn)知難度相對(duì)較大，探究方向多元呈現(xiàn)的課題內(nèi)容，教師應(yīng)細(xì)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生展示探究成果、提出課堂問(wèn)題提供機(jī)會(huì)，暴露學(xué)生的認(rèn)知短板，并及時(shí)修正學(xué)生數(shù)學(xué)思維過(guò)程，幫助學(xué)生從正面突破數(shù)學(xué)理解的思維難點(diǎn)，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)態(tài)建構(gòu)。

要保證數(shù)學(xué)思維指導(dǎo)的針對(duì)性，教師必須轉(zhuǎn)變教學(xué)立場(chǎng)，多從學(xué)生的思維角度出發(fā)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)課堂的動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)表現(xiàn)做好預(yù)設(shè)，提高學(xué)生探究學(xué)習(xí)過(guò)程的指向性。例如：考查學(xué)生有關(guān)拋物線習(xí)題的解題能力時(shí)，教師投放這樣一道題目：已知拋物線y2=2px（p ＞0），一直線經(jīng)過(guò)該拋物線焦點(diǎn)，且與拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為y1，y2，試證明：y1y2=-p2。該問(wèn)題解題難度不高，學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)圖像后，可以很快理清其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，條理清晰地完成證明。教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)行習(xí)題變式，將題干中的“過(guò)焦點(diǎn)”變式為“過(guò)定點(diǎn)（a，0）”，要求學(xué)生探究該問(wèn)題能得出什么數(shù)學(xué)結(jié)論。從學(xué)生解題步驟來(lái)看，大部分學(xué)生都是設(shè)直線方程后與拋物線方程聯(lián)立，消掉x，得出y1y2為常數(shù)的結(jié)論。

教師以拋物線的典型習(xí)題為載體展開(kāi)數(shù)學(xué)訓(xùn)練活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在典型問(wèn)題的分析、解決中，鞏固拋物線習(xí)題的一般解題思路，強(qiáng)化學(xué)生基本的解題能力。再通過(guò)習(xí)題變式提高解題難度，拓寬習(xí)題考查視角，使學(xué)生充分感受問(wèn)題鏈分析解決時(shí)的思維過(guò)程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)習(xí)題的多重變化，幫助學(xué)生把握該類(lèi)問(wèn)題的考查本質(zhì)，真正理解其中的數(shù)學(xué)方法。

三、以構(gòu)建個(gè)性認(rèn)知為要點(diǎn)

學(xué)生在嘗試?yán)斫鈹?shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，必然會(huì)主動(dòng)對(duì)接自己現(xiàn)有的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，按照自己的學(xué)習(xí)習(xí)慣建構(gòu)新知。這種主動(dòng)學(xué)習(xí)行為有利于塑造學(xué)生的個(gè)性化認(rèn)知，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維廣度，提高學(xué)生的分析能力和創(chuàng)造能力。教師有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)一些開(kāi)放性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)課題，以小組合作學(xué)習(xí)的形式展開(kāi)探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽表達(dá)自己的個(gè)性見(jiàn)解，與其他小組成員一起分析這些數(shù)學(xué)構(gòu)想的可行性，避免學(xué)生因思維定式陷入認(rèn)識(shí)誤區(qū)中。提高數(shù)學(xué)課堂的開(kāi)放性，意味著學(xué)生錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)理解也會(huì)變得更多，教師要將數(shù)學(xué)課堂視為容許學(xué)生犯錯(cuò)的學(xué)習(xí)平臺(tái)，并把這些錯(cuò)誤資源作為課堂教學(xué)的契機(jī)，組織二次探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生再創(chuàng)造的高階數(shù)學(xué)思維能力。

有關(guān)取值范圍的數(shù)學(xué)習(xí)題是高中階段各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域都經(jīng)常涉及的重要題型。這些問(wèn)題涉及很多數(shù)學(xué)知識(shí)的細(xì)節(jié)把握，能夠充分考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。教師在學(xué)生問(wèn)題出現(xiàn)后，關(guān)注學(xué)生錯(cuò)誤成因，找到學(xué)生解題思維存在的缺陷，組織反思學(xué)習(xí)活動(dòng)，深化學(xué)生知識(shí)理解，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題、勤于反思的解題習(xí)慣。

四、以自主創(chuàng)新應(yīng)用為重點(diǎn)

“學(xué)以致用”是高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的最終目標(biāo)，學(xué)生學(xué)習(xí)效果的好壞，也可以從學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力高低上直觀體現(xiàn)出來(lái)。考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用準(zhǔn)確性最直接的方法無(wú)疑是設(shè)置教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)習(xí)題，但單一、死板地采用習(xí)題訓(xùn)練方式，容易增添學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，打擊學(xué)生訓(xùn)練活動(dòng)的積極性，也會(huì)將學(xué)生思維框死在固定的題目模式中，不利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維靈活性。教師基于學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況，清楚地認(rèn)識(shí)到學(xué)生深層次理解數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)落在哪里，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)一些創(chuàng)新應(yīng)用活動(dòng)，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用思維起點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)心理，挖掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛力。創(chuàng)新應(yīng)用活動(dòng)需建立在一定的知識(shí)基礎(chǔ)上，教師可以選擇在各單元、各小節(jié)的階段性學(xué)習(xí)結(jié)束后投放。

設(shè)計(jì)自編問(wèn)題是創(chuàng)新應(yīng)用活動(dòng)的主要形式，教師可以組織學(xué)生自主設(shè)計(jì)和解決自編問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)訓(xùn)練意識(shí)，轉(zhuǎn)變學(xué)生被動(dòng)接受的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)地位。例如：學(xué)習(xí)了“空間幾何體的表面積和體積”的相關(guān)知識(shí)后，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握柱體、錐體、臺(tái)體、球體，以及之前學(xué)習(xí)的正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐等多種空間幾何體的表面積和體積的計(jì)算方法。教師在專(zhuān)題復(fù)習(xí)課中放手給學(xué)生，組織學(xué)生自主設(shè)計(jì)一些幾何體拼接后的組合圖形，標(biāo)注出必要的圖形信息，計(jì)算它們的表面積和體積后，與小組成員交換自編題目，完成其他成員設(shè)計(jì)的題目。學(xué)生全程都保持著較高的專(zhuān)注力，積極參與到題目編寫(xiě)和解答活動(dòng)中，課堂訓(xùn)練效果顯著提高。

自編問(wèn)題活動(dòng)中，學(xué)生編寫(xiě)的題目質(zhì)量并不一定要非常高，只要學(xué)生參與到問(wèn)題的編寫(xiě)和解答過(guò)程中，必然能夠加深學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)印象，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析能力和解決能力。教師在“空間幾何體的表面積和體積”單元學(xué)習(xí)后展開(kāi)自編習(xí)題的創(chuàng)新應(yīng)用活動(dòng)，為學(xué)生靈活應(yīng)用不同圖形的表面積、體積計(jì)算公式搭建交流平臺(tái)，錘煉了學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，升華了學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)來(lái)說(shuō)，改善學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力與數(shù)學(xué)知識(shí)講授同樣重要。教師加快教學(xué)觀念轉(zhuǎn)變，真正從學(xué)生的視角審視教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)演繹手段，使其更加契合學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知習(xí)慣，從而彰顯學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主體地位，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)新知學(xué)習(xí)中碰撞出更多思維的花火，不斷發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，提高學(xué)生數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)效率，事半功倍地完成數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)任務(wù)。