巧用變式突破“t”的幾何意義

秦盛華

【摘要】涉及到直線與圓錐曲線相交的問題，當聯(lián)立方程組不太容易求解時，利用t的幾何意義是一個比較好的選擇，既能節(jié)省時間，提高解題效率，還能增強學生學習的自信心。利用數(shù)形結合、韋達定理解題，往往可以收到意想不到的驚喜，本文僅研究直線參數(shù)方程標準形式下解決的一大類問題：“IMQI+l MPI”類型。

【關鍵字】直線參數(shù)方程 標準形式 幾何意義 距離

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（ 2020） 06-079-01

涉及到直線與圓錐曲線相交的問題，當聯(lián)立方程組不太容易求解時，利用t的幾何意義是一個比較好的選擇，既能節(jié)省時間，提高解題效率，還能增強學生學習的自信心。假設直線與圓錐曲線交于P、Q兩點，M為直線PQ上一點，對于∣PQ∣的幾何意義：∣t1-t2∣=（t1+t2）2-4t1·t2和∣MP∣·∣MQ∣的幾何意義∣t1·t2∣公式是固定的;對于IMPI+IMQI的幾何意義∣t1∣+∣t2∣，如何正確理解t的幾何意義，如何用上韋達定理是一個難點，這里就這個難點提出一些教學心得。

一、參數(shù)方程及參數(shù)t的幾何意義

（1）直線的參數(shù)方程：

經(jīng)過點Mo（xo，Yo），傾斜角為a的直線l的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)）

（2）直線參數(shù)方程中參數(shù)t幾何意義：參數(shù)t絕對值∣t∣表示參數(shù)t所對應的點M到定點Mo的距離。此時，若t>0，則的M0M方向向上;若t<0，則M0M的方向向下;若t=0，則點M與點M0重合。

二、對于IPQI的幾何意義∣t1-t2|=（t1+t2）2-4t1·t2和∣MP∣·∣MQ∣的幾何意義∣t1·t2∣，公式是固定的，學生只需要死記硬背就可以很快掌握

例如：人教版A版選修4-4 P36例1：已知直線1：x+y-1=0與拋物線y=x2交于點A，B兩點，求線段IABI的長和點M（-1.2）到A、B兩點的距離之積。

三、對于∣MP∣+∣MQ∣的幾何意義：∣t1∣+∣t2∣，如何用上韋達定理是一個難點，這個難點提出一些教學心得

學生在理解t的幾何意義過程中比較想不明白的是t的正負情況，還有不清楚怎么把絕對值符號去掉以及如何合理應用韋達定理，通過幾個變式可以很好地幫助學生理解。

例1變式1：例1條件不變，所求改為：求點M（一1，2）到A、B兩點的距離之和。

例1變式2：例1條件不變，所求改為：求點P （1，0）到A、B兩點的距離之和。

例1變式3：例1條件不變，所求改為：求點Q（一2，3）到A、B兩點的距離之和。

通過以上三個變式的訓練，學生不但進一步理解了t的正負情況，還能理解P點的位置對韋達定理的合理應用有著重要影響。他們意識到不能盲目背公式，要畫圖幫助理解題意，這就是數(shù)學當中的重要解題方法之一：數(shù)形結合法。鞏固提升：在直角坐標系xoy中，直線1的參數(shù)方程為

可是大多數(shù)學生在解題出現(xiàn)了以下常見錯誤解法：

提醒學生：當點O不在直線MN上時，∣OM∣和∣ON∣都不具備t的幾何意義，利用t來計算，結果一定是錯誤的。這時候如果求∣OM∣ +∣ON∣的取值范圍可以象本題利用p的幾何意義進行計算，如果是求∣OM∣ +∣ON∣的值則可以直接把M、N、O三點坐標求出，利用兩點間距離公式解答即可。

對于鞏固提升的設計，提醒學生不能題目給什么參數(shù)方程就直接把參數(shù)方程代入圓錐曲線方程，需要仔細看清楚定點，既能提升學生對t的幾何意義的理解，同時可以鍛煉學生的運算能力。直線t的幾何意義不是萬能的，必須結合題目已知條件，選擇正確的解題方法，這樣才能達到好的效果。

[參考文獻]

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[2]陳堆章論高中數(shù)學教育中學生數(shù)學思維意識養(yǎng)成和創(chuàng)新能力培養(yǎng)，[J].亞太教育，2019