基于Matlab軟件求解多元函數積分

摘要：針對高等數學的一個重大難點——求解多元函數積分，充分利用Matlab在圖形繪制、符號積分計算方面的強大功能，通過5個案例具體探討了其在重積分、曲線積分和曲面積分計算中的技術應用，展現了Matlab軟件輔助數學學習的特色優勢。

關鍵詞：Matlab;多元函數;重積分;曲線積分;曲面積分

中圖分類號：TP319

文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2020）04-0237-03

收稿日期：2019-10-23

作者簡介：談文越（2000—），男，本科在讀，研究方向為計算機科學與技術。

Solving Multivariate Function Integral Based on Matlab Software

TAN Wen-yue

（School of Educational Experiment，Northwestern Polytechnical University，Xi' an 710129，China）

Abstract：Solving multivariate function integral is an important difficulty in higher mathematics.Fully utilizing the powerful function of Matlab in drawing graphics and computing symbolic integral，the paper concretely discusses its technology application in multiple integral，curvilinear integral and surface integral by five cases.It shows the characteristics and advantages of Matlab software in assisting mathematics learning.

Key words：Matlab;multivariate function;multiple integral;curvilinear integral;surface integral

當積分范圍從一維數值區間過渡到二維或多維空間幾何形體的某閉區域時，一元函數的定積分則轉化為多元函數積分。由于幾何體的多樣化，多元函數積分可具體區分為重積.分、線積分和面積分，其中，重積分重點研究二重積分和三重積分，線積分和面積分又分別包括第一型曲線積分、第二型曲線;積分和第一型曲面積分、第二型曲面積分，也對應地稱為對弧長的曲線積分、對坐標的曲線積分，以及對面積的曲面積分和對坐標的曲面積分"，積分類型繁多、極其容易混淆，而且運算復雜，計算量大，是本科生初學高等數學時的一個特大難點。

作為和Mathematica、Maple并行的三大數學軟件之一，Mat-lab具備超強的圖形處理功能，尤其是建立在底層繪圖操作基礎上的高層繪圖操作，無須考慮繪圖細節，只要設定基本參數即可繪制出相應的空間圖形，是多元函數積分區域可視化的得力工具[2]。同時，Matlab軟件還擁有高效的符號計算和數值計算功能，可便捷求出各類積分的解析解、近似數值解，特別有利于實現繁雜數學運算的程序化操作。因此，已有相當數量的文獻探究了Matlab軟件在二次曲面等高等數學學習中的應用價值[3-5]，更有學者特別挖掘了Matlab在曲線積分、曲面積分等多元函數積分教學中的輔助功效[6-8]。筆者立足于自身的計算機專業優勢，基于學生的學習視角，致力于剖析利用Matlab求解多元函數各種積分的思路和技術。

1 利用Matlab求解重積分

例1 計算二重積分

分析與運行：根據積分區域和被積函數的特征，此題適宜于使用極坐標求解，且積分區域σ的極坐標方程為p2=16cos2φ。首先繪制積分區域的圖形，編寫程序代碼如下：

在Matlab系統中運行上述程序，可得積分區域圖形如圖1所示，即數學上著名的雙紐線，直觀觀察雙紐線的對稱性、變量范圍等特征，易知

利用Matlab的符號積分功能，編寫程序代碼：

例2 計算三重積分

分析：繪制積分區域的圖形，如圖2所示，具體程序代碼為：

解法一 在球面坐標系下：

具體程序代碼為：

解法二 在柱面坐標系下：

具體程序代碼為：

解法三 在直角坐標系下，用平行于xoy的平面橫截積分區域（V），所得圓域（σ，）為：

具體程序代碼為：

評析與思考：該三重積分的積分區域由兩個球體相交形成，故球面坐標、柱面坐標是較為實用、易于選取的計算方法，利用Matlab精確繪制出空間閉區域，不僅有助于清晰認識其邊界曲面方程，而且可具體確定不同坐標系下各參數的取值范圍。需要強調的是，當對該積分選擇由于轉換復雜、計算量大.而在實際運算中通常會避開的直角坐標時，Matlab系統仍然可以簡潔、高效、快速地給出積分結果，其強大的積分運算功能由此可見一斑[9]。當然，對本題而言，在直角坐標系下，也可以借助“先重后單”的方法，直接使用圓域的面積公式求積分。

2 利用Matlab求解曲線積分

例3 計算線積分

分析：繪制積分曲線的圖形，如圖3所示，具體程序代碼為：

結合球面和柱面的方程特征，可設曲線C的參數方程為：

3 利用Matlab求解曲面積分

例4 計算第一型曲面積分

分析：繪制積分曲面的圖形，如圖4所示，具體程序代碼為：

顯然，積分曲面（S）由兩部分組成：

（S1）：平面z=1上的圓x2+y2≤1;

編寫Matlab程序：

例5 計算第二型曲面積分

其中，2是圓柱面x2 +y2=4被平面x +z=2和z=0所截部分的外側。

分析：繪制積分曲面的圖形，如圖5所示，具體程序代碼為：

4 結束語

多元函數積分需要扎實的空間想象能力等解析幾何知識作為基礎，并且通常運算量特別大，Matlab所擁有的友好界面環境，可清晰認識積分區域及其邊界變化態勢，達成了數形結合的直觀效果，高效地實現了數學實驗與計算機技術的有機融合。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（下）（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]聶影.MATLAB軟件應用研究[J].軟件導刊，2014，13（07）：102-104.

[3]趙志芳，馬艷園.Matlab在二次曲面教學中的應用[J].數學學習與研究，2013（03）：101-102.

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[5]高瑩瑩.高職院校MATLAB軟件在高等數學教學中的應用[J].電腦知識與技術，2017，13（15）：124-125.

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[7]黃仔慧，陳甜甜，許雅期.結合Matlab探討對坐標的曲面積分計算方法[J].數學學習與研究，2019（6）;：5+7.

[8]林鑫，高發玲.基于Matlab的兩類曲面積分計算[J].唐山師范學院學報，2016，38（2）：24-26.

[9]楊真真.Matlab在多元函數積分計算中的應用研究[J].軟件導刊，2017，16（8）：149-152.

[通聯編輯：王力]