微分法在概率密度函數(shù)中的應(yīng)用與實(shí)例介紹

羅琳 肖成英 吳艷南

摘要：該文類比離散型隨機(jī)變量求分布函數(shù)的方法，應(yīng)用微分法簡(jiǎn)化求解一維、二維連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，并應(yīng)用于相應(yīng)的實(shí)例。

關(guān)鍵詞：微分法;連續(xù)性隨機(jī)變量;概率密度函數(shù)

中圖分類號(hào)：TP3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）04-0221-03

收稿日期：2019-10-28

基金項(xiàng)目：民辦高校應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)類課程建設(shè)的研究（項(xiàng)目編號(hào)：MBXH19YB152）

作者簡(jiǎn)介：羅琳（1985—），通訊作者，女，四川南充人，四川工商學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院講師，碩士，主要研究方向?yàn)榘氕h(huán)。

1 概述

微分法在概率統(tǒng)計(jì)中隨機(jī)變量函數(shù)的分布中有廣泛的應(yīng)用。若隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，已知X的分布，如何求Y的分布。對(duì)于離散型隨機(jī)變量方法簡(jiǎn)單。但若X，Y是連續(xù)性隨機(jī)變量，常規(guī)方法是“分布函數(shù)法”，即先由X，Y的函數(shù)關(guān)系用隨機(jī)變量Y的函數(shù)來(lái)表示X，再由X的分布函數(shù)推導(dǎo)出Y的分布，進(jìn)而得到Y(jié)的概率密度函數(shù)。由此可見(jiàn)“分布函數(shù)法”要經(jīng)歷先積分再求導(dǎo)的系列復(fù)雜過(guò)程，但如果借鑒離散型隨機(jī)變量解決方案，借助微分法這種繁雜瑣碎的計(jì)算麻煩便可迎刃而解。朱慧敏[1]探討了利用Newton微元法求連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的一些方法;文獻(xiàn)[2]給出了求連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)的一般方法。為更好彌補(bǔ)以上方法的不足，本文從微分法的基本思想人手，給出連續(xù)性隨機(jī)變量或向量函數(shù)的概率密度的簡(jiǎn)易方法，從而使得計(jì)算更簡(jiǎn)便實(shí)用，并給出相應(yīng)的實(shí)例。

2 微分法在一維隨機(jī)變量函數(shù)中的應(yīng)用及實(shí)例

2.1 引例：離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：

求Y=x2的分布。

解：Y的取值分別為0，1，4，9。

P（Y=0）=P（X2=0）=P（X=0）=0.3

P（Y=1）=P（X2=1）=P（X=-1）+P（X=1）=0.3.。P（Y=4）=P（X2=4）P（X=-2）+P（X=2）=0.3.P（Y=9）=P（X2=9）=P（X=3）=0.1

故隨機(jī)變量Y分布為：

求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)，常規(guī)方法是先求分布函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)求導(dǎo)數(shù)得解。我們欲用完全類似離散型隨機(jī)變量函數(shù)求分布的簡(jiǎn)單方法來(lái)解決連續(xù)型隨機(jī)變量的分布問(wèn)題，也就是微分法。

2.2 微分法

定理1.1若D為開(kāi)集，使得P（x∈D）=1且對(duì)Vx∈D，P（X=x）=g（x）dx，則g（x），x∈D為X的密度，記為X～g（x）。

分析：設(shè)X的分布函數(shù)為F（x），F(xiàn)（x）在x處連續(xù)可微，則

證明因?yàn)镻（x∈D）=1，所以對(duì)于x∈D°，則P（X=x）=0。故F（x）在D內(nèi)連續(xù)。

又因?yàn)閂x∈D，P（X=x）=g（x）dx，且F（x）=D內(nèi)連續(xù)。所以F（x）在R上連續(xù)且除去最多可列個(gè)點(diǎn)外連續(xù)可微。

于是f（x）=（F"'（x），x∈D;為x的概率密度。

又P（X=x）=F'（x）dx=g（x）dx，所以g（x），x∈D為X的密度。

如果X的分布函數(shù)為F（x），F(xiàn)'（x）存在且連續(xù)，x=h（y）連續(xù)可導(dǎo)，P（X=h（y））=f（h（y））.|h'（y）|dy.由此可得以下推論：

推論1.1 若X的概率密度為f（x），Y=g（X），開(kāi)集D使得P（Y∈D）=1且對(duì)y∈D，P（Y=y）=P（X=h（y））=f（h（y）.|dh（y）|）=f（h（y））-|h'（y）|dy，其中h（y）為y=g（x）的反函數(shù)，且在D中分段嚴(yán)格單調(diào)可微，則Y～f（h（y））.|h（y）|y∈D.

例2.1 設(shè)隨機(jī)變量X～N（μ，82），試證Y=一、M～N（0，1）。δ

證明對(duì)y∈D=（-∞，+∞），且滿足推論1的條件，

故Y～N（0，1）。

在研究物理、化學(xué)的變化造成的斷裂或失效時(shí)的固件壽命，如絕緣體構(gòu)成的固體的壽命，常用對(duì)數(shù)正態(tài)分布。下面介：紹一個(gè)它的實(shí)例。

例2.2 如果X～N（μ，82），則稱Y=eX的分布是參數(shù)為（μ，82）的對(duì)數(shù)分布，試求Y的概率密度。

Weibull分布是一種最常用的分布，一般金屬構(gòu)造的儀器.或設(shè)備都是使用壽命都服從Weibull分布。實(shí)際經(jīng)驗(yàn)表明，許多電子元件及機(jī)器設(shè)備的使用壽命都服從Weibull分布，凡是局部固件的失效或故障引起全局工作停止運(yùn)行的設(shè)備的壽命近似服從Weibull分布。其分布源于指數(shù)分布，服從指數(shù)分布具有無(wú)記憶性。由它變形而來(lái)。在產(chǎn)品的可靠性研究中，它基本是服從Weibull分布，兩個(gè)參數(shù)。對(duì)于數(shù)學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家而言參數(shù)越少越好，但是工程師則喜歡參數(shù)越多越好，這樣便于調(diào)試。下面也舉一個(gè)實(shí)例。

例2.3 如果X～E（1），則Y=服從參數(shù)為（a，b）的Weibull分布，其中a，b為正常數(shù)。

解P（Y》0）=1又X的密度函數(shù)為fx（x）=e”*，x》0，于是對(duì)任何y》0，由

由推論1.1知，Y的概率密度f(wàn)y（y）=e～ay' abay'，b-1，y》 0.

把定理1再推廣一下，得到以下推論：

推論1.2 設(shè)X的密度函數(shù)為f（x），Y=g（X）的反函數(shù)為X=h（Y），開(kāi)集D使得P（Y∈D）=1，如果h;（y）在D上分段嚴(yán)格單調(diào)

注1 我們稱上述方法為概率密度的微分法。

注2 當(dāng)組僅當(dāng)集合A=B時(shí)，P（A）=P（B）.

注3 當(dāng)且僅當(dāng)A;（i=1，2，.，n）互不相容時(shí)，P（U A;）=

例2.5 設(shè)X～U（-a，a）a》0，求Y=元的分布。

例2.6 設(shè)X～E（入），求Y=X，X》 1，-x2，X《 1 的分布。

3 微分法在二維隨機(jī)向量函數(shù)中的應(yīng)用

一維連續(xù)性隨機(jī)變量X有密度函數(shù)f（x），當(dāng)f（x）在x處連續(xù)時(shí)，則P（X=x）=g（x）dx，推測(cè)二維隨機(jī)變量（X，Y）有聯(lián)合密度f(wàn)（x，y），當(dāng)f（x，y）在（x，y）連續(xù)，則P（X=x，Y=y）=f（x，y）dxdy.

定理3.1如果開(kāi)集D使得P（x，y）∈D）=1，g（x，y）在D內(nèi)連續(xù)，且P（X=x，Y=y）=f（x，y）dxdy，（x，y）∈D，則（X，Y）有密度函數(shù)f（x，y），（x，y）∈D，記為（X，Y）～g（x，y）。

由微積分知識(shí)知道，若x=x（u，0）y=y（u，v）在開(kāi)集D內(nèi)連

例3.2 設(shè)（X，Y）～f（x，y），若U=2X-Y，V=2X +3Y，求（U，V）的聯(lián)合密度。

解：對(duì)于任何（u，0），有

定理3.2 若

例3.3 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，

例3.5 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，運(yùn)用微分法求解一維或二維隨機(jī)變量的函數(shù)概率密度函數(shù)是一種更為簡(jiǎn)單有效的計(jì)算方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱慧敏.運(yùn)用Newton微元法求解概率密度函數(shù)[J].復(fù)旦學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，50（1）：65-70.，

[2]盛驟，謝式千.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2010.

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