基于生長(zhǎng)數(shù)學(xué)下的學(xué)生思維培養(yǎng)研究

楊利金

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要培養(yǎng)學(xué)生的思維，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本文通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)，以浙教版九上“3.5圓周角（1）”為例，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，從而能找到內(nèi)在邏輯，充實(shí)自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善知識(shí)體系。

關(guān)鍵詞：生長(zhǎng)數(shù)學(xué) 理解 知識(shí)鏈

中圖分類號(hào)：G633文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-9082（2020）03-0-02

在四基落地，素養(yǎng)生根的時(shí)代下，作為初中的數(shù)學(xué)教育者需要面臨很多挑戰(zhàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，我們不但需要讓學(xué)生能獲得基本的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，更重要的是需要給學(xué)生在獲得技能的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的基本素養(yǎng)，這個(gè)獲得需要在教學(xué)中，教師能挖掘知識(shí)潛在的價(jià)值和內(nèi)涵，也就是我們讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)，用以得到思維的發(fā)展和完善，然后給學(xué)生終身受益的過(guò)程。下面以浙教版九上“圓周角”為例，進(jìn)行闡釋。

一、生長(zhǎng)數(shù)學(xué)下的數(shù)學(xué)研究

1.提出新知概念，獲得研究對(duì)象

“圓周角”這個(gè)知識(shí)內(nèi)涵中蘊(yùn)含了數(shù)量與位置關(guān)系，這個(gè)辯證關(guān)系在先前的學(xué)習(xí)中可以說(shuō)出現(xiàn)過(guò)很多的，比如在同一平面內(nèi)的兩條直線的關(guān)系——相交中的特殊關(guān)系垂直和平行，都是揭示了數(shù)量和位置之間的辯證統(tǒng)一。在教學(xué)中如何提出圓周角的概念？筆者在教學(xué)過(guò)程中也思考過(guò)以下四個(gè)思路：思路1：利用實(shí)際問(wèn)題（燈光問(wèn)題）構(gòu)造圓心角和圓周角的圖形，借機(jī)通過(guò)類比得到概念;思路2：把圓周角看成是兩條弦的特殊位置關(guān)系：含公共端點(diǎn)的情況時(shí)的圖形;思路3：給出圓心角，利用改變圓心角角的頂點(diǎn)的位置得到圓周角，類比得出概念;思路4：作三角形的外接圓。但最終基于生長(zhǎng)數(shù)學(xué)下，還是采用類比圓心角得出圓周角，在學(xué)生的思維鏈上容易理解。

2.探究發(fā)現(xiàn)定理，確定研究?jī)?nèi)容

在學(xué)習(xí)“圓周角”之前，學(xué)生已經(jīng)具有有序的形和本源的形的理解，在符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律上來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)這個(gè)定理是螺旋上升的。但是學(xué)生積累的圓的知識(shí)還是不夠多，需要教師一定的教學(xué)引導(dǎo)。定理中有個(gè)前提是一條弧，也就是要同弧。 所以我們認(rèn)為弧可能是提出圓周角定理的關(guān)鍵橋梁。

變化中（位置）的不變性（角度）是由于它們所對(duì)的弧是同一條引起的。 從而去猜想圓周角與其所對(duì)弧的度數(shù)之間可能存在某種數(shù)量關(guān)系;弧的度數(shù)是通過(guò)其所對(duì)圓心角的度數(shù)來(lái)刻畫(huà)的，由此聯(lián)系在一起。

3.精準(zhǔn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，制定研究方法

我們選擇的是幾何定理研究的一般方法：“實(shí)驗(yàn)（測(cè)量）——猜想——驗(yàn)證——證明”的方式進(jìn)行定理的探究過(guò)程。蘊(yùn)含著從特殊到一般的思想。在特殊中進(jìn)行猜想，在一般中進(jìn)行證明。這個(gè)過(guò)程中需要將無(wú)限轉(zhuǎn)化為有限的過(guò)程，形成新的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

二、教學(xué)研究下的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.內(nèi)容解析

圓周角（第1課時(shí)），是在圓的有關(guān)知識(shí)、圓心角的概念和性質(zhì)上對(duì)圓周角的概念學(xué)習(xí)、圓周角與圓心角關(guān)系的探索。在研究圓與其它平面圖形中起著橋梁和紐帶作用。

2.目標(biāo)解析

2.1理解圓周角的概念。

2.2經(jīng)歷探索圓周角與圓心角之間關(guān)系的過(guò)程。

2.3了解并證明圓周角定理及其推論。

2.4能簡(jiǎn)單應(yīng)用圓周角定理及其推論。

3.重、難點(diǎn)分析

探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系;了解并證明圓周角定理及其推論是重點(diǎn)。

經(jīng)歷探索圓周角與圓心角之間關(guān)系的過(guò)程，同時(shí)證明圓周角定理需要“分類討論”，是本節(jié)課的難點(diǎn)。

4.流程概述

問(wèn)題一：圖1哪一個(gè)是圓心角？

問(wèn)題二：圖1中的第2個(gè)圖與圓心角在位置上有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

圖1

設(shè)計(jì)意圖：從“數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯”引入課題，通過(guò)“圓心角”來(lái)類比“圓周角”，得出圓周角的概念，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，也是在學(xué)生已有基礎(chǔ)上，馬上能習(xí)得的知識(shí)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆。

問(wèn)題三：找出圖2中所有的圓周角。

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)幾何研究路徑：定義——判定——性質(zhì)——應(yīng)用的知識(shí)鏈來(lái)研究。概念辨析，達(dá)成目標(biāo)：能說(shuō)出圓周角的定義，會(huì)畫(huà)出一條弧所對(duì)的圓周角，能在具體的情境或較復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)出同弧或等弧所對(duì)的圓周角。

問(wèn)題四：如何來(lái)研究性質(zhì)：在所給的圓中畫(huà)出圓周角，量一量大小，并猜一猜其中的規(guī)律。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)畫(huà)和量，讓學(xué)生感受一條弧所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)條，但是圓心角卻是唯一的，所以引發(fā)學(xué)生內(nèi)心認(rèn)知沖突，將圓周角的大小刻畫(huà)通過(guò)研究圓心角來(lái)判斷。并通過(guò)猜測(cè)，引起學(xué)生興趣，激發(fā)證明的欲望。

問(wèn)題五：驗(yàn)證這條弧對(duì)的無(wú)數(shù)個(gè)圓周角的度數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)過(guò)程是學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)——猜想——驗(yàn)證——證明中的證明過(guò)程。如何將無(wú)數(shù)個(gè)圓周角化歸為有限個(gè)角，需要學(xué)生學(xué)會(huì)這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)。利用幾何畫(huà)板，引導(dǎo)學(xué)生利用圓心進(jìn)行分類，確定角的位置。第一類：圓心在圓周角一邊上;第二類圓心在圓周角的內(nèi)部;第三類圓心在圓周角的外部。

由圓的軸對(duì)稱性聯(lián)想到把硬紙片對(duì)折、發(fā)現(xiàn)過(guò)圓周角的頂點(diǎn)C作輔助線“直徑”，可以把第二、第三類情況轉(zhuǎn)化為第一類來(lái)驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)證明圓周角的大小，在無(wú)限到有限的過(guò)程中，能培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)，縝密，為后續(xù)思維的生長(zhǎng)奠定了良好的基礎(chǔ)。

問(wèn)題六：半圓所對(duì)的圓周角是多少？直徑所對(duì)的圓周角是多少？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生鞏固應(yīng)用圓周角的性質(zhì)，從而得出圓周角定理的推論。

問(wèn)題七：課堂小結(jié)

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)黑板框架圖的呈現(xiàn)，讓學(xué)生一目了然本節(jié)課內(nèi)容，并賦予學(xué)生思考幾何問(wèn)題的一般路徑。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)下的教學(xué)反思

1.理解數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)的前提條件

章博士指出要理解數(shù)學(xué)，對(duì)于一線教師來(lái)說(shuō)，想要教好學(xué)生，先要把數(shù)學(xué)理解透徹，避免在教學(xué)的時(shí)候本身對(duì)數(shù)學(xué)理解是一知半解的，那么給學(xué)生的也是比較膚淺或者片面的。所以對(duì)教材的知識(shí)應(yīng)該弄清楚來(lái)龍去脈，從哪里來(lái)，到哪里去，一些定理、公式和法則中存在的價(jià)值體現(xiàn)需要教師去深入挖掘，只有真正理解其中內(nèi)涵，才能教好學(xué)生，讓學(xué)生思維得到培養(yǎng).。

在幾何學(xué)習(xí)上，可以說(shuō)是橫向聯(lián)系或類比之前或之后所學(xué)的知識(shí);縱向理清整一章節(jié)的知識(shí)體系，突出知識(shí)脈絡(luò)的呈現(xiàn)方式。一線教師應(yīng)該對(duì)課標(biāo)進(jìn)行解讀，不能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中成為操作者和打工者，而是領(lǐng)跑者和創(chuàng)造者。圓周角這一課時(shí)可以說(shuō)對(duì)學(xué)習(xí)圓和其他平面圖形有著非常重要的橋梁作用，在數(shù)學(xué)理解上教師必須關(guān)注知識(shí)鏈的整體設(shè)計(jì)，讓方法、思維形成一條暗線，初“形”串式，一題一線，基本圖形的演變，知識(shí)形成一條明線，貫穿其中。

2.理解學(xué)生是學(xué)習(xí)的重要機(jī)制

課堂教學(xué)離開(kāi)了學(xué)生可以說(shuō)是空的，所以在教育教學(xué)中必須關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)力。每一課時(shí)都是需要符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展。在教材中安排的知識(shí)是螺旋上升的，但不同的學(xué)生學(xué)習(xí)背景也是不同的，學(xué)習(xí)能力也存在著差異，所以在教學(xué)中可以設(shè)計(jì)一些前測(cè)、后測(cè)進(jìn)行調(diào)查學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和掌握的程度，那么整個(gè)課堂就會(huì)是高效精準(zhǔn)的。學(xué)生在學(xué)習(xí)圓周角之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓心角的內(nèi)容，利用舊知，對(duì)知識(shí)進(jìn)行銜接、類比新知從而可以順勢(shì)而為。當(dāng)對(duì)概念提出后，教師設(shè)置了概念辨析，以達(dá)到知識(shí)的內(nèi)化，當(dāng)探究圓周角定理的時(shí)候，設(shè)計(jì)了自己動(dòng)手操作進(jìn)行感知，讓學(xué)生能對(duì)知識(shí)的理解深刻，隨后又進(jìn)行了精致化的過(guò)程，也就是進(jìn)行了鞏固練習(xí)，這讓圓周角的學(xué)習(xí)過(guò)程完整。實(shí)質(zhì)上理解學(xué)生最終還是為了在課堂上怎么教，讓學(xué)生提高課堂效率。學(xué)生的課堂效率能真正提高思維能力。

3.理解教學(xué)是學(xué)習(xí)的根本保障

課堂教學(xué)在理解教材和理解學(xué)生下，最終體現(xiàn)的是對(duì)教學(xué)的理解。在課堂上怎么講，講什么還是需要一線教師考慮周全的。課堂的精準(zhǔn)引導(dǎo)和智慧生產(chǎn)都是需要教師的教育機(jī)智的，因?yàn)樵谡n堂上會(huì)產(chǎn)生一些沒(méi)有預(yù)設(shè)的突發(fā)事件，這個(gè)時(shí)候需要教師對(duì)教學(xué)過(guò)程中設(shè)計(jì)的彈性和預(yù)留。

圓周角定理的證明需要分三種情況進(jìn)行，對(duì)于分類標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生不易想到。設(shè)想是先不分類，在證明定理時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)圖形不能概括一般情況時(shí)，產(chǎn)生分類的必要性，而對(duì)于位置的分類則一般需要參照物，由此去聯(lián)系與圓心的位置關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)課堂上有學(xué)生以角的大小作為分類標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)候，即銳角的時(shí)候、直角的時(shí)候、鈍角的時(shí)候，這個(gè)時(shí)候教師需要教育機(jī)智，引導(dǎo)學(xué)生這兩種分類是否有聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生的思維層次到高階層去，從而培養(yǎng)了學(xué)生的高階思維。課堂中生成的是學(xué)生和老師碰撞智慧的結(jié)果，是教學(xué)相長(zhǎng)的過(guò)程，所以說(shuō)課堂是寶貴的場(chǎng)所，需要珍惜。

4.理解技術(shù)是學(xué)習(xí)的重要補(bǔ)充

在教學(xué)過(guò)程中，隨著媒體技術(shù)的發(fā)展，我們需要不斷的學(xué)習(xí)，讓技術(shù)支撐我們的教學(xué)，作為教學(xué)的重要補(bǔ)充。尤其是幾何學(xué)習(xí)，我們需要?jiǎng)討B(tài)的演示其中的過(guò)程，就會(huì)借助幾何畫(huà)板，讓學(xué)生能一目了然。圓周角定理的探索過(guò)程中可以借助幾何畫(huà)板讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)角度不變的過(guò)程，從而為驗(yàn)證起了非常重要的作用。所以一線教師在教學(xué)過(guò)程中需要不斷地增加自己的源頭活水，讓學(xué)生在思維層面得到顯性的理解。

參考文獻(xiàn)

[1].義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：師范大學(xué)出版社.2011.