地圖上的數學猜想

華興恒

在印制地圖時，為了便于區分，常把相鄰的國家或地區印成不同的顏色。當然，如果每個國家或地區各用一種顏色，確實能達到區分的目的，可顏色太多，不僅給地圖的印制帶來麻煩，而且看上去也不美觀。由此產生了這樣一個問題：至少需要幾種顏色才能將相鄰的國家或地區區別開來？

翻開中國地圖可以看到，湖北省被陜西、河南、安徽、江西、湖南、重慶六省、市包圍，按說需要七種顏色來區別它們，可實際上這七個省、市中由于有好幾個沒有共同的邊界，因此只要四種顏色就可以區分省界。

人們在實踐中發現，一張地圖上的行政區劃不管多么復雜，只需使用四種顏色著色，一般都能保證各省、市公共邊界地區為不同的顏色，這就是著名的“地圖四色問題”，又叫“四色猜想”。

最早提出“地圖四色問題”的是英國人費南西斯·格斯里。1852年，剛從倫敦大學畢業的格斯里在英格蘭的地圖上進行了著色實驗，結果發現這樣一個規律：要使有公共邊界的兩個區域顏色不同，3種顏色太少，5種顏色太多，4種顏色剛好！

格斯里想用數學的方法予以證明，未能如愿。為了尋求答案，他請教了著名數學家德·摩爾根。摩爾根也沒有找到解決這個問題的方法，于是他寫信向自己的好友——著名數學家哈密爾頓請教。哈密爾頓收到摩爾根的信后，對“四色問題”進行了論證。但直到他逝世，這個問題也沒有得到解決。

1878年，英國數學家凱萊在該國數學學會會刊上發表了一篇文章，將上述問題歸納為“四色猜想”，并通報給倫敦數學學會的會員們，以尋求證明方法。

一年后，一位名為肯普的律師兼數學家試圖用反證法證明“四色猜想”。他先假設一張地圖至少要用 5種顏色，然后證明結果與假設矛盾，從而說明需要 4種顏色。但 11年后的 1890年，數學家赫伍德指出肯普的證明是錯誤的，因為他遺漏了一個重要的步驟，而這個步驟的計算量又十分龐大。于是，“四色猜想”變成一個懸而未決的問題。

100多年來，“四色猜想”成了困擾數學家們的世界難題之一。直到 20世紀中葉，電子計算機的誕生為該問題的求解提供了技術條件和理論可能性。1976年，美國伊利諾斯大學教授肯尼斯·阿佩爾和沃爾夫岡·哈肯利用高速計算機證明了這個猜想，在數學界產生了深遠的影響。

據報道，阿佩爾和哈肯沿著肯普的思路編制了一個嚴密的計算機程序，對 2 000多張不同構型的地圖進行模擬計算，用了3臺高速計算機，花費 1 200多個小時才獲得成功。

如今，仍有許多數學家繼續探究“四色猜想”，畢竟對他們來說，探索的過程比問題本身更加有趣。

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哥尼斯堡七橋問題

數學中還有哪些像“四色猜想”這樣有趣的問題？這就不得不提哥尼斯堡七橋問題。

在 18世紀初普魯士的哥尼斯堡，一條河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸連接起來。有人提出一個問題：一位步行者怎樣才能不重復、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發點？

后來，大數學家歐拉把它轉化成一個幾何問題——一筆畫問題。他不僅解決了該問題，而且給出了連通圖可以一筆畫的充要條件：奇點的數目不是 0 個就是 2 個（連接到一點的線條數如果是奇數條，就稱其為奇點，如果是偶數條就稱其為偶點，要想一筆畫成，中間點必須均是偶點，也就是有一條來路必有一條去路，奇點只可能在兩端，因此任何圖若能一筆畫成，奇點要么沒有，要么在兩端）。

歐拉的方法表明了數學家處理實際問題的獨特之處——把一個問題抽象成合適的數學模型，這種研究方法就是“數學模型法”。