基于分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的無損彩色圖像加密

◆王 勇 王 翔 王 瑛

（廣東工業(yè)大學(xué) 廣東 510006）

1 相關(guān)知識與創(chuàng)新

1.1 Qi 超混沌系統(tǒng)

針對傳統(tǒng)Qi 混沌系統(tǒng)難以產(chǎn)生四翼，以及系統(tǒng)易被破解的不足，將傳統(tǒng)的Qi 系統(tǒng)的非線性項改為更高次的三次項，通過實(shí)驗結(jié)果證明生成的相空間更大，可以產(chǎn)生四翼超混沌吸引子，同時Lyapunov 指數(shù)具有兩個正數(shù)，符合超混沌的特性，通過三次非線性的運(yùn)算，可以有效地抵御選擇明文攻擊，將明文中每一個位置像素值之間的互相聯(lián)系打破，使得明文圖像像素值之間的影響擴(kuò)散到了整個密文圖像中，更加難以從密文中破解得到原圖像。

傳統(tǒng)Qi 混沌系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

圖1 Qi 混沌系統(tǒng)三維相圖

由文獻(xiàn)[3]知，當(dāng)a=35，b=8/3，c=80，d=8 時，系統(tǒng)相圖如圖1 所示。

相比于傳統(tǒng)的混沌系統(tǒng)，四翼超混沌系統(tǒng)具有更大相空間，可以提供更大的加密空間，本文在傳統(tǒng)Qi 混沌系統(tǒng)上改進(jìn)后的表達(dá)式為：

當(dāng)參數(shù)a=50，b=10，c=13，d=5，f=30 時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)分別為：L1=3.82，L2=1.62，L3=-15.21，L4=-48.23，系統(tǒng)滿足L1＞L2＞0 ＞L3＞L4，具有超混沌特征（見圖2）。同時，該系統(tǒng)能夠產(chǎn)生如圖3 所示的一個真正的四翼混沌吸引子。

圖2 超混沌系統(tǒng)隨時間t 的Lyapunov 指數(shù)圖

圖3 四翼混沌吸引子

該系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階形式為：

將系統(tǒng)（3）表示為矩陣形式，表述如下：

其中

1.2 二維離散小波變換

二維離散小波變換作為一種將信號進(jìn)行分解和壓縮的頻域處理技術(shù)，因其具有多分辨率、局部時頻、頻率壓縮的特性，使得其在圖片編碼、圖像處理、圖像壓縮等領(lǐng)域得到廣泛青睞。其核心工作原理是：首先對輸入的信號源按行做小波分解，然后按列對獲取到的中間數(shù)據(jù)再做小波分解。對輸入的信號源一級離散小波變換后，信號源劃分為四個子帶：低頻子帶和高頻子帶如：對低頻子帶 LL1繼續(xù)執(zhí)行離散小波變換，可得到四個子帶對低頻子帶連續(xù)執(zhí)行n 次類似的操作，就可獲得n 級變換的結(jié)果，將分解的子帶進(jìn)行IDWT 可以實(shí)現(xiàn)對圖像的重構(gòu)，得原始圖像[4]。

離散小波變換含多類小波轉(zhuǎn)換方法，包含Haar、Daubechies、Meyer 小波轉(zhuǎn)換等。其中，本文采用的Haar 小波轉(zhuǎn)換是最簡單的一種轉(zhuǎn)換，對圖像不會造成信息損失，是一種無損的變換。

1.3 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Convolutional Neural Network，CNN）作為一種前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其神經(jīng)元可以響應(yīng)部分覆蓋范圍內(nèi)的周圍單元，對于各類的圖像處理有出色的表現(xiàn)。其主要的架構(gòu)包括了卷積層（Convolutional Layer）和池化層（Pooling Layer）兩部分。

圖4 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

其中輸入層是一個序列X=（x1,x2,x3...xn），輸出層同樣是一個序列Y=（y1,y2,y3...ym），各層之間的每一個連接上都有權(quán)值W=（w1,w2,w3...wn），本文中激勵函數(shù)采用sigmoid 函數(shù)，其定義為：

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)準(zhǔn)訓(xùn)練模式為：

式中，W0=W0，h＞0為學(xué)習(xí)步長，?E（Wk）為E（Wk）在點(diǎn)Wk的梯度，本文根據(jù)生成的混沌序列的相關(guān)性，設(shè)計一個新的損失函數(shù)用來訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由于當(dāng)一組序列的相關(guān)性在0.2-0.4 之間的時候可以認(rèn)定這段序列是弱相關(guān)的。新設(shè)計的損失函數(shù)：

式中，xYρ表示實(shí)際輸出序列的相關(guān)性，Yρ表示期望輸出序列的相關(guān)性，經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練使得到的混沌序列是弱相關(guān)的。

1.4 AES 加密算法

針對傳統(tǒng)的AES 加密算法密鑰和S 盒固定不變性的缺點(diǎn)，本文對傳統(tǒng)AES 算法進(jìn)行相應(yīng)的改進(jìn)，利用結(jié)合明文特性的混沌序列來設(shè)計出一個 1616× 的S 盒，并且通過隨機(jī)置亂來產(chǎn)生密鑰，首先對明文圖像和目標(biāo)密鑰進(jìn)行異或運(yùn)算得到狀態(tài)矩陣，然后進(jìn)行2 輪循環(huán)加密。每一輪AES 算法分四步：

（1）字節(jié)代換：將狀態(tài)矩陣?yán)锩娴脑刂涤成涑梢粋€新字節(jié)，具體的映射規(guī)則是：每個元素字節(jié)的高4 位作為行坐標(biāo)，低4 位作為列坐標(biāo)，以此查詢S 盒對應(yīng)的值進(jìn)行替換。

（2）行移位：對狀態(tài)矩陣進(jìn)行左循環(huán)移位操作。

（3）列混合：用一組固定矩陣與狀態(tài)矩陣進(jìn)行矩陣相乘，其中的矩陣乘法是定義在基于GF（2^8）的二元運(yùn)算。

（4）輪密相加：將狀態(tài)矩陣與目標(biāo)密鑰進(jìn)行矩陣的逐位異或運(yùn)算。

AES 加密過程如圖5 所示：

圖5 AES 算法加密過程

1.4.1 明文相關(guān)參數(shù)

對于一個像素大小為NM× 的圖像，設(shè)S是其像素值總和，avg 是其像素平均值，則t是與明文像素密切相關(guān)的控制參數(shù)，其中：

1.4.2 S 盒設(shè)計

為了去掉產(chǎn)生S 盒的序列出現(xiàn)重復(fù)的元素，同時保留其隨機(jī)性，本文對S 盒進(jìn)行如下改進(jìn)：創(chuàng)建一個長度是256 的空數(shù)組Seq，循環(huán)讀取結(jié)合明文特性的序列的數(shù)值同時插入對應(yīng)索引值的Seq 中，若插入位置為空則插入，若所指位置已有元素，則一直查詢數(shù)組的空位置然后插入，插入后將該位置的索引值，并得到一個全新的序列，然后將新的序列轉(zhuǎn)換成16*16 的S 盒。

2 圖像加密步驟

step1. 設(shè)彩色明文圖像0I大小為NM× ，將彩色圖像0I進(jìn)行分離得到三個大小為NM× 的分量矩陣PR，PG，PB。

step2. 設(shè)超混沌系統(tǒng)的初始值x=1，y=1，z=1，w=1，循環(huán)次數(shù)為len=8 ×256×256，利用四階龍格庫塔公式對超混沌系統(tǒng)進(jìn)行求解，得到一組新的數(shù)據(jù){x，y，z，w}，將得到的數(shù)據(jù){x，y，z，w}帶入公式（9）求得變量r，當(dāng)r=0 時，將{x，y，z，w}插入空序列D中；當(dāng)r=1 時，將{x，y，z，w}插入空序列D中；當(dāng)r=2 時，將{x，y，z，w}插入空序列D中；當(dāng)r=3 時，將{x，y，z，w}插入空序列D中。如此循環(huán)len次，最后得到的序列 0D即為原始混沌序列。

step3. 設(shè)定損失函數(shù)中的期望序列相關(guān)性ρY=0.3，權(quán)重均為隨機(jī)初始化。將Step2 得到的原始混沌序列 0D作為輸入，放到三層BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中訓(xùn)練10000 輪后輸出新的序列，訓(xùn)練后得到的新序列為 1D。

step4. 根據(jù)公式（8）分別計算明文圖像分離的分量矩陣PR、目的是為了消除暫態(tài)效應(yīng)帶來的不良影響，然后選取256 位得到S 盒，用于分別給各基色圖進(jìn)行第一輪AES 加密，得到第一輪加

step5. 按照公式（10）對Step4 得到的密文圖像1R，1G，1B進(jìn)行二維離散小波變換，分別得到相應(yīng)的四個小波子帶。

step6. 將Step4 得到的混沌序列rD，gD，bD根據(jù)公式（11）轉(zhuǎn)化為（0，NM× ）的序列rT，gT，bT，公式如下：

step7. 將排序后的子帶按照如式（12）所示進(jìn)行逆變換重新轉(zhuǎn)到空域，得到三個分量的密文圖像，結(jié)合三個分量的密文圖像得到最終的密文圖像。

3 算法仿真與特性分析

3.1 算法仿真

本算法在Matlab2018a 環(huán)境下搭建并進(jìn)行仿真實(shí)驗，采用標(biāo)準(zhǔn)256× 256的Lena 彩色圖像作為明文圖像，超混沌系統(tǒng)初始值均設(shè)為1，加密后的圖像如圖6。

圖6 圖像加密和解密

3.2 算法統(tǒng)計特性分析

3.2.1 敏感性分析

評價一個加密算法效果的指標(biāo)有很多，其中NPCR 和UACI是眾多指標(biāo)中尤為重要的兩個，它們反映了一個加密算法對密鑰產(chǎn)生改動后的敏感性，一個好的加密算法會對極小的密鑰改動都極為敏感，它們分別的計算公式如下：

式中，c1、c2是加密過程中的密鑰，NPCR 最佳100%，UACI最佳33.3%。

為了測試密鑰的敏感性，本文選取其中的兩個密鑰進(jìn)行測試，分別對兩個密鑰做輕微的改動，每次只改變一個密鑰的值，第一次改變密鑰Ur=0.25364156，觀察最后的解密結(jié)果如圖7a 所示；第二次改變密鑰Ug=0.15263698，觀察最后的解密結(jié)果如圖7b 所示。通過圖7 的顯示表明本文提出的算法對密鑰的敏感度較高，密鑰的輕微改動就會使得解密后的結(jié)果仍然雜亂無章。同時，表1 列出了加密圖像的NPCR和UACI 值，并和其他文獻(xiàn)做了對比。

圖7 密鑰敏感性分析

表1 NPCR 和UACI 分析比較表

3.2.2 直方圖分析

圖像的直方圖體現(xiàn)了圖像像素的分布情況，有明顯分布的直方圖攻擊者更加容易從像素的分布情況中獲取信息，因此評價一個加密算法的好壞可以從圖像的直方圖分布情況來評定。圖8 和圖9 分別展示了明文圖像和密文圖像的分布直方圖，可以看到明文圖像分布上高低不一，具有明顯的特征，而加密后的密文圖像分布平均，更加難以找到密文圖像的破解點(diǎn)。同時，從統(tǒng)計學(xué)角度分析，圖像的方差可以證明直方圖的均勻性的好壞，本文采用公式（15）的方法計算圖像的方差，方差越低說明圖像分布越均勻，分別計算圖8 和圖9 各個分量的方差，其結(jié)果見表2 所示。

式中，iz和jz分別表示某兩個像素點(diǎn)的出現(xiàn)次數(shù)，Z為各個色階值在圖像上出現(xiàn)次數(shù)的集合。

圖8 明文像素直方圖

圖9 密文像素直方圖

表2 明文和密文直方圖方差比較表

3.2.3 相鄰像素相關(guān)性分析

圖像作為一種不同于文字的信息傳輸載體，每一個像素點(diǎn)與周邊的像素點(diǎn)之間互相之間都存在強(qiáng)相關(guān)性，而且各個像素點(diǎn)之間也是相互依賴的，因此好的加密算法就要打破這種依賴性和強(qiáng)相關(guān)性。關(guān)于相關(guān)性系數(shù)的公式（16）—（19）如下：

式中，x，y 表示相鄰兩個像素的像素值，表示像素均值，D（x）表示方差，Cov（x,y）表示協(xié)方差，γxy表示相鄰兩個像素的相關(guān)系數(shù)。本文分別從不同的方向上選取5000 對相鄰像素點(diǎn)繪制了如圖10 和圖11 所示的水平、垂直和對角方向上的相鄰像素關(guān)系圖。可以觀察到，明文圖像像素點(diǎn)明顯分布上很密集，而密文圖像分布更加隨機(jī)，無規(guī)律可循。從表3 可知，明文圖像相鄰像素的相關(guān)性接近1。但是，密文圖像的相關(guān)性明顯降低，接近于0，證明算法打破了原有的相關(guān)性。同時，從表4 中，將本文的相關(guān)系數(shù)與文獻(xiàn)[6，8]對比發(fā)現(xiàn)，本文的相關(guān)系數(shù)更低，因此具有更好的加密效果。

圖11 密文相關(guān)性

表3 明文和密文像素相關(guān)性比較表

對角 0.9352 0.9384 0.9425 0.0028 0.0022 0.0019

表4 不同算法像素相關(guān)性比較表

3.3 信息熵分析

信息熵作為判斷信息量化度量的一個標(biāo)準(zhǔn)，主要用來描述信源的隨機(jī)性，表示圖像中像素值的分散狀態(tài)，被越來越多的人用來評價圖像信息量大小的一種標(biāo)準(zhǔn)。作為一種評價指標(biāo)，信息熵的理想值是8，所以加密后的圖像信息熵越接近于8，可以說明本算法的加密效果更好。信息熵的計算公式如下：

式中，xi表示像素值，表示像素xi出現(xiàn)的概率。

本文采用標(biāo)準(zhǔn)彩色Lena 圖像分別對本文算法和文獻(xiàn)[9-10]進(jìn)行了測試，并在表5 中列出了分別測試后的結(jié)果。通過表5 可以發(fā)現(xiàn)本文的信息熵在加密后，相比于文獻(xiàn)[9-10]更加接近于8。

表5 不同算法信息熵比較表

4 結(jié)束語

本文針對傳統(tǒng)Qi 混沌系統(tǒng)相空間小，易破解的不足，提出了一種改進(jìn)的超混沌系統(tǒng)。同時結(jié)合BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計適合本文算法的損失函數(shù)對經(jīng)過超混沌系統(tǒng)得到的混沌序列進(jìn)行二次置亂，利用基于此得到的混沌序列結(jié)合重新設(shè)計S 盒的AES 加密算法對明文圖像進(jìn)行第一輪加密。同時針對當(dāng)前密文圖像無法壓縮問題，結(jié)合二維離散小波變換將圖像進(jìn)行第二輪頻域加密得到密文圖像。通過特性分析表明，本文的加密算法在新型混沌系統(tǒng)上產(chǎn)生了更大的相空間，并且最終生成的密文圖像比同類算法相關(guān)性低接近10 倍，可以有效地抵擋當(dāng)前難以解決的選擇明文攻擊方式。在此基礎(chǔ)上，針對未來隨著硬件的不斷發(fā)展，破解手段更加多元化的情況，將繼續(xù)研究更多的針對更多元攻擊的加密算法。