圈子里的螞蟻

很多年前，我像你們這么大的時候，曾經和小螞蟻開過這樣的玩笑：

用樟腦球在地上畫個圈，圈住兩只螞蟻。可憐的小螞蟻，爬來爬去，再也不敢爬出這個圈子了。

這個圈，是三角形的也好，正方形的也好，不規則的鴨蛋形也好，對小螞蟻來說都是一樣的——反正爬不出去。

在我們看來很不相同的三角形與圓，此時此刻，對于螞蟻卻沒有什么區別了。螞蟻感興趣的是：這個圈有沒有一個缺口？

有一門數學，叫拓撲學。數學家在研究拓撲學的問題時，倒和小螞蟻有點同感。這時，他們也覺得，三角形的圈、圓形的圈、矩形的圈，沒有什么分別，反正是個圈。

是不是拓撲學家的眼光就和螞蟻的眼光完全一樣呢？也不盡然。如果圈子很大，能圈進半個地球，或圈子極小，小得放不進一粒細沙，螞蟻就無所畏懼了。這就是說，圈子的大小，在螞蟻看來是不同的;但對于拓撲學家，圈子的大小是真正無所謂的，小得像原子，大得像太陽系，都一樣，反正是個圈子。

拓撲學家把我們眼里很多不同的圖形看成是相同的，然后把他們眼里相同的圖形歸為一類。分類的結果，平面上的封閉曲線，如果不帶端點，不帶分岔點，就只有一種：圈。

似乎在拓撲學家眼里，世界要簡單一些。但拓撲學的問題卻并不簡單，有不少難題尚待解決。現代數學的許多分支，都要用到拓撲學的基本概念與成果。

最后，再回到螞蟻爬不出的圈子里來。這樣的一個圈，是一條連續的、封閉的、自己和自己不相交的曲線，叫作簡單閉曲線，也叫“若當閉曲線”。若當，是19世紀法國數學家的名字。

一個這樣的圈子把平面分成兩部分——有限的內部和無限的外部。螞蟻在內部可以從一點爬到另外任一點而不碰到圈子，在外部也可以。但要從外部到內部，或從內部到外部，就一定得經過圈子。這個事實，叫“若當定理”。

這么簡單的事誰不知道，還配稱為定理嗎？我們這么想，若當以前的數學家也這么想。若當卻不這么想。他敏銳地看出，這個問題可并不簡單。因為，什么叫連續，什么叫封閉，什么叫內，什么叫外，都應當用數學語言精確地加以定義，再根據定義來證明：螞蟻要爬出去必須經過圈子。這可就難了。

若當這么一指出，別的數學家也恍然大悟。若當嚴格地定義了這些概念，寫了很長的一篇文章，證明了這條定理。

你看，我們眼里千變萬化的圖形，數學家可以認為是同樣的圈——在數學家眼里，復雜的東西變得簡單了。

反過來，數學家若當又從簡簡單單的一個圈里提出了難題。從簡單的現象背后，揭示出深刻的道理。

（選自《數學家的眼光》，中國少年兒童出版社）