很多年前,我像你們這么大的時候,曾經和小螞蟻開過這樣的玩笑:
用樟腦球在地上畫個圈,圈住兩只螞蟻。可憐的小螞蟻,爬來爬去,再也不敢爬出這個圈子了。
這個圈,是三角形的也好,正方形的也好,不規則的鴨蛋形也好,對小螞蟻來說都是一樣的——反正爬不出去。
在我們看來很不相同的三角形與圓,此時此刻,對于螞蟻卻沒有什么區別了。螞蟻感興趣的是:這個圈有沒有一個缺口?
有一門數學,叫拓撲學。數學家在研究拓撲學的問題時,倒和小螞蟻有點同感。這時,他們也覺得,三角形的圈、圓形的圈、矩形的圈,沒有什么分別,反正是個圈。
是不是拓撲學家的眼光就和螞蟻的眼光完全一樣呢?也不盡然。如果圈子很大,能圈進半個地球,或圈子極小,小得放不進一粒細沙,螞蟻就無所畏懼了。這就是說,圈子的大小,在螞蟻看來是不同的;但對于拓撲學家,圈子的大小是真正無所謂的,小得像原子,大得像太陽系,都一樣,反正是個圈子。
拓撲學家把我們眼里很多不同的圖形看成是相同的,然后把他們眼里相同的圖形歸為一類。分類的結果,平面上的封閉曲線,如果不帶端點,不帶分岔點,就只有一種:圈。
似乎在拓撲學家眼里,世界要簡單一些。但拓撲學的問題卻并不簡單,有不少難題尚待解決。現代數學的許多分支,都要用到拓撲學的基本概念與成果。
最后,再回到螞蟻爬不出的圈子里來。這樣的一個圈,是一條連續的、封閉的、自己和自己不相交的曲線,叫作簡單閉曲線,也叫“若當閉曲線”。若當,是19世紀法國數學家的名字。
一個這樣的圈子把平面分成兩部分——有限的內部和無限的外部。螞蟻在內部可以從一點爬到另外任一點而不碰到圈子,在外部也可以。但要從外部到內部,或從內部到外部,就一定得經過圈子。這個事實,叫“若當定理”。
這么簡單的事誰不知道,還配稱為定理嗎?我們這么想,若當以前的數學家也這么想。若當卻不這么想。他敏銳地看出,這個問題可并不簡單。因為,什么叫連續,什么叫封閉,什么叫內,什么叫外,都應當用數學語言精確地加以定義,再根據定義來證明:螞蟻要爬出去必須經過圈子。這可就難了。
若當這么一指出,別的數學家也恍然大悟。若當嚴格地定義了這些概念,寫了很長的一篇文章,證明了這條定理。
你看,我們眼里千變萬化的圖形,數學家可以認為是同樣的圈——在數學家眼里,復雜的東西變得簡單了。
反過來,數學家若當又從簡簡單單的一個圈里提出了難題。從簡單的現象背后,揭示出深刻的道理。
(選自《數學家的眼光》,中國少年兒童出版社)