加權梯度反應非局部擴散方程解的爆破

王素珍 孟海霞

摘要：研究了加權梯度反應非局部擴散方程解的爆破現象，并且給出了解存在和爆破的充分條件.首先利用Banach不動點定理證明解的局部存在性;其次利用特征函數構造了一個新的輔助函數：最后結合微分不等式技巧得到了爆破時間的上界.

關鍵詞：加權函數;梯度項;非局部擴散;爆破

中圖分類號：0175.26

文獻標志碼：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201911006

0 引言和主要結論

近年來，反應擴散方程已被廣泛研究.以Laplace算子（△u）作為擴散項的經典反應擴散方程只能體現空間上的局部行為，即相鄰空間上位置的移動.如物質從濃度高的部分向濃度低的部分進行擴散.實際上，在自然界中受各種因素的影響，空間中的非局部行為普遍存在.如生物種群的位置移動是在較大范圍內進行的，故無法用Laplace算子來描述.但可由非局部擴散（卷積算子J*u-u）來描述.以種群生態學為例，u（x，t）表示在t時刻某單一種群在位置x處的密度，J（x -y）表示種群從位置x移動到位置可的概率分布，（J*u）（x，t）=JRN J（x - y）u（y，t）dy表示種群從其他位置移動到x位置的概率，-u（x，t）=- fRN J（y - x）u（x，t）dy表示種群從x位置移動到其他位置的概率.因此對非局部擴散方程的研究具有實際的價值與意義.

學者們對具有卷積算子“J*u一u”的非局部擴散方程解的爆破問題和具有梯度反應項的反應擴散方程解的爆破問題的討論已取得了很多重要成果，具體可參考文獻[1-8].Ma和Fang在文獻[1]中，

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