雙曲空間中具有平行平均曲率子流形的剛性

周俊東

摘要：設M是雙曲空間中具有平行平均曲率的完備子流形，φ是M的無跡第二基本形式.本文證明了在子流形任意測地球上|φ|的L2模小于二次增長條件下，supx∈M |φ|2 （x）小于某常數或者|φ|的Ln模小于某常數時，M是全臍的，這一結果推廣了完備極小子流形的相關結果.

關鍵詞：雙曲空間;無跡第二基本形式;第一特征值

中圖分類號：0186.1

文獻標志碼：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201911009

0 引 言

著名的Bernstein定理指出R3中的完備極小圖一定是平面.Simons[l]，Fleming[2]，De Giorgi[3]和Almgren[4]的工作告訴我們在R”（n≤7）中的完備極小圖一定是超平面.進一步，Bombieri，De Giorgi和Giusti[5]在n>7時給出Bernstein定理的反例.do Carmo和Peng[6]，Fisher-Colbrie和Schoen[7]分別給出了Bernstein定理的推廣：R3中完備穩定的極小曲面一定是平面.在高維的情況下，以上問題一直是懸而未決的.然而，do Carmo和Peng[8]證明了Rn+1中完備穩定的極小超曲面在滿足條件模長.以上定理也有許多有趣的推廣，例如Zhu和Shen[9]證明了Rn+1（n≥3）中具有有限總曲率的完備穩定極小超曲面一定是超平面.Wang[10]進一步把Zhu-Shen定理推廣到歐氏空間中極小子流形的情形.最近，Xia和Wang[11]研究了截面曲率為常數1的雙曲空間Hn+m（n≥5）中的完備極小子流形M，證明了在M的測地球上|h|的L2模小于二次增長條件下，supx∈M |h|2（X）小于某常數或者|h|的Ln模小于某常數時，M是全測地的.De Oliveira和Xiac[12]繼續研究了雙曲空間中的完備極小子流形，得出對于某個區域內的常數d，在M的測地球上lhl的Ld模小于二次增長條件下，supx∈M |h|2（X）小于某常數或者|h|的Ln模小于某常數時，M是全測地的.

本文研究雙曲空間Hn+p中具有平行平均曲率的完備非緊子流形，得到此類子流形的一些剛性結果（定理2.1-2.3），這些結果……