泥沙突變理論在海底管線沖刷中應用

楊少鵬，拾 兵，楊立鵬

(1. 山東科技大學 海洋科學與工程學院，山東 青島 266590; 2. 中國海洋大學 工程學院，山東 青島 266100; 3. 青島市董家口經濟區管委，山東 青島 266400)

量變和質變是自然界物體變化和發展的普遍規律，而連續性與不連續性變化又是物體變化的兩種狀態，對于連續變化現象，牛頓的微積分能給出有效的解釋；而對于物體的不連續變化狀態還沒有十分完善的理論。基于此，突變理論才逐漸開始被研究。物體從一種狀態形式突然地跳躍到另一種完全不同形式的變化，稱為突變。最早的突變理論誕生于文獻[1]中，該書用拓撲學、奇點和穩定性的數學理論研究了自然界中的非連續性突變，系統地闡述了突變的理論，為日后突變理論的豐富與發展打下了基礎。近年來，隨著非線性科學研究地深入，非線性科學被應用到各個領域，并加深了對已有規律認知和了解，同時又獲得新的成果。目前，較成熟的初等突變理論主要有7種類型，在各學科中都有涉及[2]。Henley[3]將突變理論應用到地殼斷層運動中，提出了一個定性的模型。Potiter-Ferry[4]用突變理論對彈性斷裂力學和塑性力學中的失穩現象進行了研究，得出保守系統只有幾種失穩的結論。Cubitt和Shaw[5]運用突變理論解釋了沉積過程。殷有泉和鄭顧團[6]采用尖點突變模型對斷層帶地震的運動進行了研究。許強和黃潤秋[7]采用突變理論對動力分析模型進行了改進，改進后的模型能有效地解釋地震作用下土的震動特性。郭火元[8]利用突變理論對大壩的穩定性進行了分析，建立了大壩的穩定態模型。張業民和宋長清[9]運用尖頂突變理論建立了軟黏土流動模型。崔鵬和關君蔚[10]將尖點突變模型應用于泥石流的起動研究中，已在泥石流的預防中取得了實效。Graf[11]采用尖點突變模型描述了順直、彎曲和分汊三種河型相互轉化的過程。肖毅等[12]以尖點突變理論為基礎提出了定量判定河型穩定性的方法。何文社等[13]根據突變理論，經坐標和拓撲變化，建立了尖點突變模型，得到了泥沙起動的臨界條件方程。楊具瑞等[14]利用突變理論得出了非均勻沙起動時的尖點突變模式，并與試驗結果進行對比，結果表明尖點突變模式能夠反映非均勻沙的起動規律。楊具瑞等[15]在尖點突變理論的基礎上采用坐標變換和拓撲變換推導了推移質輸沙強度和水流參數的關系式，并用資料進行了對比驗證，結果發現在中等強度和高強度輸沙時，關系式能較好反應輸沙規律，而在低強度輸沙時，關系式誤差較大，但總體上來說采用尖點突變理論建立的推移質輸沙率公式是合理的，基本能反映泥沙的起動和輸移規律。王協康等[16]根據泥沙起動的力學規律，導出了泥沙起動條件方程，在此基礎上用尖點突變性質對各種泥沙起動現象與機理做了研究。拾兵等[17]利用尖點突變理論建立了波浪作用下泥沙的起動模式，并將計算結果與試驗資料對比發現兩者基本吻合，說明了該模式可用于波浪作用下泥沙運動的研究。劉勇[18]將突變理論運用到泥沙起動臨界條件中去，對波浪作用下的泥沙起動進行了初步探討。綜上可知，尖點突變理論在各領域已取得廣泛應用。然而在與泥沙研究關系較密切的海底管線沖刷領域還未見相關的研究報道。通過前人的研究可知道海底管線沖刷涉及管線、海床、水流共同作用，當管線鋪設在海床后，引起管線附近流場發生改變，流場的變化反過來會引起泥沙輸移的變化(通常是增強)，引起管線局部發生沖刷，最終產生沖刷坑，日積月累造成懸空管線疲勞破壞；而泥沙輸移強度增強主要是因為管線鋪設于沙床后引起管線前后產生壓力差，并且因為管線的阻水作用，使管線附近的水流流速急劇增大，導致泥沙希爾茲數大于泥沙起動的臨界希爾茲數，從而引起了泥沙的起動。另外泥沙粒徑也是影響泥沙起動與否的一個關鍵因素，泥沙顆粒越大，泥沙越難起動。上述兩者共同作用，最終導致了沖刷坑的產生。因此選取海底管線沖刷達到穩定狀態后的沖刷坑深度與管線管徑的比值(h=y/D)作為狀態變量，希爾茲數(φ)和泥沙粒徑的無量綱參數(d*=mdm/d0，d0為泥沙起動粒徑，dm為泥沙平均粒徑，m為泥沙顆粒之間的密實系數，m=0.75-0.65(2+α)，α=d60/d10為泥沙不均勻程度)作為控制變量，以泥沙突變理論為理論基礎，擬探討海底管線附近泥沙運動的突變關系。

1 海底管線附近泥沙突變模式的建立

根據泥沙突變的非線性理論[19]，泥沙起動的尖點突變模型如圖1所示。

圖1 泥沙起動尖點突變模型Fig. 1 The cusp catastrophe model of the sediment incipient motion

圖1中突變曲面的標準方程：

x3+xy-z=0

(1)

平面內分支曲線的標準方程：

4y3+27z2=0

(2)

將標準式(1)從坐標系Q(x,y,z)旋轉與平移至坐標系O(h,d*,φ)中可得：

(3)

式中：a,b,c為點Q在O(h,d*,φ)坐標系中的位置坐標值；li,mi,ni(i=1, 2, 3)為原坐標對新坐標的方向余弦。

因圖1中h坐標軸與x坐標軸平行，故方向夾角為0，方向余弦：

l1=cos0°=1

(4)

綜上可得，曲面在坐標系O(h,d*,φ)內的方程：

f(h,d*,φ)=(h+l2d*+l3φ-a)3+(m1h+m2d*+m3φ-b)(h+l2d*+l3φ-a)-

(n1h+n2d*+n3φ-c)=0

(5)

坐標變換附加條件：

(6)

及

(7)

同為右手坐標系時需滿足：

(8)

因曲面經過原點，故

f(0,0,0)=0

(9)

將上述邊界條件及坐標變化的附加條件代入式(5)，可得：

(10)

其中，

β=arctana

(11)

聯立式(9)～(11)可得：

a3-a·b-c=0

(12)

將式(10)代入式(5)，可得：

(h-a)3+(cosβ·d*+sinβ·φ-b)(h-a)-(-sinβ·d*+cosβ·φ-c)=0

(13)

將式(11)、(12)代入式(13)，可得：

(h-a)3+a3+h(d*-β′)cosβ-φ(secβ-φ·sinβ)=0

(14)

式中：a為研究區域h的最小值，當泥沙靜止時，其起動狀態為0，沖刷坑深度為0，故取極限值a=0，β′為泥沙mdm/d0的最小代表值，本文取0.6[20]。將a、β、β′=b/cosβ、β=arctana代入式(14)，可得：

h3+h(d*-0.6)-φ=0

(15)

式(15)即為用尖點突變理論得到的恒定流作用下海底管線沖刷坑深度的預測公式。

當泥沙粒徑和水流流速確定時，d*與φ為已知量，式(15)即為一元三次方程。關于其解可根據判別式判斷。

令

(16)

當Δ>0時，式(15)只有一個實根，且計算結果一般為正值，此實根即為沖刷坑深度值；當Δ=0時，式(15)有三個實根，當d*-0.6=φ=0時，式(15)有一個三零重根，當d*-0.6≠φ時，式(15)至少有兩個根相等；當Δ<0時，式(15)有三個不等的實根。當式(15)有兩個或三個實根時，需根據實根的正負及實際工況中的條件選擇合適的根作為沖刷坑深度值。

2 模型驗證

為了檢驗預測式(15)的準確性，采用Yang等[21]、韓艷[22]、趙恩金[23]、Mao[24]等的試驗數據進行了驗證。以上四位學者都通過物理試驗對單根管線附近的沖刷坑深度進行了研究。其中文獻[21-23]都選取了在長25 m，寬5 m，深0.6 m的環形水槽中進行了試驗研究，試驗選用了中值粒徑d50=0.3 mm，孔隙率n=0.4的非黏性沙，沙床高度為0.15 m， 長度為5 m， 試驗所用管徑為0.1 m左右，管線固定在沙床中央，選取管徑前方2 m，高0.5D處的流速作為試驗所用的行近流速，水流流速在0.2～0.4 m/s范圍內， 水溫維持在16°C， 水深為0.4 m。試驗過程中每隔一定時間對沖刷坑深度進行監測，待沖刷達到平衡后用精度為0.1 mm的測針對沖刷坑深度進行測量。而Mao[24]的試驗參數為：水深H=0.35 m，管徑D=0.1 m，泥沙中值粒徑d50=0.36 mm，水流流速分別為v=0.3 m/s、0.35 m/s、0.4 m/s。根據以上試驗參數，用式(15)進行計算驗證。計算過程中，希爾茲數φ可采用Chien等[25]的計算公式：

(17)

式中：τc為切應力；ρs，ρ分別為泥沙和水的密度；ds為泥沙平均粒徑，可用d50代替。

切應力τc計算公式：

(18)

式中：v*為摩阻流速，可用Einstein[26]對數流速分布公式計算得到：

(19)

式中：v為水流流速；Ks為床面粗糙度，對于非均勻沙，Ks常選用一種泥沙粒徑d65、d75或d90代替[25]。分別選取d65、d75、d90對計算結果與試驗結果進行對比，發現當用d65代替Ks時，結果誤差最小，因此選用泥沙粒徑d65代替床面粗糙度Ks。x為修正系數，x=f(Ks/δ)，δ為邊界層厚度，δ=11.6υ/ν*，υ為流速黏性系數，y為流速測量點的高度，在此可用0.5D代替。

根據上述計算方法，將四位學者測得的沖刷坑深度試驗值與相同條件下式(15)的計算值分別列于表1中。對表1中的數據進行對比，可發現試驗值與計算值較為接近。

為了更易于直觀觀察對比結果，將表1中數據全部繪于圖2中。圖2中y1，y2分別為由式(15)計算得到的沖刷坑深度值和四位學者的試驗值。由圖2可知，圖中各點雖未能與對角線完全重合，但基本分布于對角線附近，這說明理論推導公式式(15)基本能滿足于恒定流作用下海底管線局部沖刷坑深度的預測和判斷，進而說明將泥沙尖點突變理論應用到海底管線沖刷中是可行的。

表1 沖刷坑深度試驗值與計算值對比Tab. 1 Comparison between the experimental data and the calculated value of scour hole depth

圖2 沖刷坑深度計算值與試驗值對比圖Fig. 2 Comparison between experimental data and calculated value of scour hole depth

3 結 語

通過對尖點突變理論的研究，可將突變理論運用到海底管線局部沖刷坑深度的預測中，經分析得到了恒定流作用下海底管線沖刷坑深度的預測公式。將相同試驗條件下用預測公式計算的結果與前人的試驗值進行對比可發現，該預測公式基本能滿足恒定流作用下海底管線的沖刷坑深度預測與判斷，這為管線沖刷坑深度的預測探索了一種新的推算方法。