一類非線性系統平穩周期穩定解分析

余平洋

(開封大學信息工程學院，河南 開封 475004)

一類非線性系統可以很好的描述應用數學、物理學和力學中的許多控制問題，隨著控制理論技術的發展，需要通過穩定性的非線性系統控制，結合模糊自適應控制算法[1]，通過高次方程的優化求解，與其它專家系統項結合，推動人工智能和信息化技術的發展。一類由對合Cauchy-Hadamard型微分方程構成的非線性系統在實現計算智能和人工智能中具有較高的應用價值[2-3]，通過研究非線性系統的平穩周期穩定解，構建穩定性的非線性控制模型，分析具有平穩周期穩定解的收斂性和穩定性條件，為智能控制提供數學理論基礎。

1 一類非線性系統微分方程分析

采用對合Cauchy-Hadamard型微分方程進行一類非線性系統擬合和泛函性分析[4]，非線性對合Cauchy-Hadamard型微分控制方程定義為：

(1)

其中u:I×IRd→IR是是灰色離散性微分邊界函數，d≥4，0∈I?IR是邊界方程的離散域區間。討論對合Cauchy-Hadamard型微分方程的平衡點的穩定性，設：

(2)

則映射u|→uλ將Cauchy-Hadamard型微分方程的平衡點的一個解映射為(1)的另一個解，在方程的邊界性約束條件下，滿足：

(3)

(4)

微分方程的解具有對合性特征，當sc>1(即d≥4)時，sc滿足雙邊界函數條件。

u(t)=w(t)(u0,u1)+

(5)

其中，F(u)=|u|4u。

定義微分方程正多解f:→R的α>0階的Laplace時空分叉微分為：

(6)

若α>0，u∈C(0,1)∩L(0,1) 采用Bochner-Riesz矩陣進行緊時間區間的變分結構分解，滿足約束變量：

(7)

構建Lyapunov泛函：

(8)

約束條件為ck=-c-k，若取q=4，b2=b-2=1,b1=b-1=2,b0=0，對任意的Bernoulli空間中的對合Cauchy-Hadamard型微分方程非線性系統，存在唯一的格林正多解：

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N

(9)

其中：N為隨機穩定凸時間序列的長度，取值要求為大于或等于α的整數。

如果穩定點u∈C(0,1)∩L(0,1)，α>0，并且強尼凸函數的微分邊界條件滿足：

(10)

那么：

(11)

其中：ci∈R,i=1,2…N。

2 平穩周期穩定解微分逼近分析

在采用對合Cauchy-Hadamard型微分方程進行一類非線性系統的擬合和建模的基礎上，在齊次Sobolev空間中采用能量超臨界波動的廣義偽隨機特征分析方法進行非線性系統平穩周期穩定解的微分逼近[6]。

設I是緊時間區間，u:I×IRd→IR是下面波動方程

(12)

對合Cauchy-Hadamard型微分方程的二階矩波動算子為w(t)(u0,u1)=cos(t||)它表示的是平衡性邊界條件下線性波動條件為(u0,u1)時的平穩周期穩定解。在能量臨界情況下，采用灰色離散性邊界約束，判斷平衡點的Riesz基函數utt-Δu+|u|pu=0,(p>4)在IR3的規范正交基[7]，采用逐次逼近法求解Bergmann核，得到該類非線性系統在0<η≤η0緊時間區間內的連續函數為：

(13)

(14)

記IRd上的二次有理逼近函數為：

(15)

對s≥0,平穩周期穩定解的微分的Sobolev空間定義為：

(16)

時空范數定義為:

(17)

設R(t)為實概率空間(Ω,F,f(x),P)中的有理積分，在正交空間I×IRd上的時空范數滿足如下邊值條件

(18)

其中：

h:Rn×Rn×S

δ(t):[0,T]→R

v(dt,du)=v(dt,du)-π(du)dt

(19)

對合Cauchy-Hadamard型微分方程有周期性穩定解凸優化條件組合描述為：

(ⅰ)C([a,b],R)為[a,b]在R中的連續函數，且滿足：

-τ<δ(t)

(20)

(ⅱ)初始值空間內C([a,b],R)有上下邊界，且：

E|ζ(t)-ζ(s)|2

(21)

(ⅲ)在線性凸函數條件下，存在離散偏移狀態微分方程，滿足：

(22)

其中，?x1,x2,y1,y2∈R，通過微分逼近，對合Cauchy-Hadamard型微分方程非線性系統的穩定周期解的樣本軌跡{r,k=0,1,2,…}滿足增長條件：

(23)

同理，?x1,x2,y1,y2∈R，為了實現對Cauchy-Hadamard型微分方程平穩周期穩定解的微分逼近，引入下面著名的Sobolev不等式。

3 實驗結果分析

為了進一步驗證改進的穩定性分析法在一類非線性系統中的有效性及可行性，進行仿真驗證分析。

在馬爾尼數鏈中采用五次波動方程進行平穩周期穩定解的Lyapunove泛函，可以得到：

(26)

(27)

在穩定凸函數控制下的非線性系統平穩周期穩定解的離散近似解為：

(28)

其中ΔB=B(tn-1)+B(t1);I[u]為馬爾尼數鏈實整數，通過二階矩控制進行對合Cauchy-Hadamard型非線性微分方程的二階矩求導，得到

Z(t)=∑Ixy(t)X(kΔ)=

∑Ixy(t)X((kΔ)[δ(k)])

(29)

R(t)=∑∑Ixy(t)X(kΔ)rt

(30)

在非確定條件對合Cauchy-Hadamard型非線性系統的非線性平穩周期穩定解的最終近似解為：

(31)

求得具有平穩周期穩定解的收斂性條件，在馬爾尼數鏈中采用五次波動方程進行平穩周期穩定解的Lyapunove泛函，得到：

(32)

由于f(x)是對合Cauchy-Hadamard型非線性系統的穩定凸函數，所以：

(33)

進而得：

(34)

求得具有平穩周期穩定解的收斂性條件，最后進行了平穩周期解的穩定性和漸進收斂性證明。

通過以上以計算得到穩定凸函數確定下，對應的E[·]，從而利用仿真驗證法繪制出1/E[·]，如圖1所示：

4 結束語

本文分析一類由對合Cauchy-Hadamard型微分方程構成的非線性系統的平穩周期穩定解，采用對合Cauchy-Hadamard型非線性方程進行非線性系統的模型構建，在馬爾尼數鏈中采用五次波動方程進行平穩周期穩定解的Lyapunove泛函，求得具有平穩周期穩定解的收斂性條件，并進行穩定性實驗分析，分析結果對提高非線性控制系統的參數自整定性和控制穩定性具有數學理論基礎意義，在穩定性控制中能有效滿足需求，具有較高的應用價值。