具有拓撲穩定測度的非自治動力系統的復雜性

井 凱，尹建東

(南昌大學數學系,江西 南昌 330031)

1 引言與基本概念

拓撲動力系統的穩定性是動力系統研究的核心問題之一,最早是由Walters[1]引入,它揭示了定義在緊致度量空間上的同胚映射的結構穩定性質。關于拓撲穩定性的研究,目前已得到許多有趣的結論(見[2-4])。研究非自治動力系統的動力性狀是目前關于動力系統研究的熱點之一,雖然學者們在該方面的研究已經取得了一定的結論,但還不夠完善,依然有很多動力性狀值得去研究和探索。關于非自治動力系統測度穩定性理論的研究剛剛起步(見[4]),還有很多問題值得去研究。關于非自治動力系統的更多研究可參見文[5-8]。

本文主要針對非自治動力系統的測度穩定性進行研究,得到一個具有拓撲穩定測度的非自治動力系統與充分逼近于它的非自治動力系統具有相同的傳遞性和初值敏感依賴性。

對任意的n∈,記Fn=fn。fn-1。…。f1。f0,點x∈X在F作用下的軌道是指orb(x,F)={x,f1(x),f2。f1(x),f3。f2。f1(x)…}。顯然{Fn(x)}n∈0=orb(x,F)。記C(X)為X上所有連續自映射構成的集合,定義C(X)上的一個距離為：

η(f,g)=sup{d(f(x),g(x)):x∈X}。

進而對于X上的自映射序列F={fn}n∈0,G={gn}n∈0之間的距離可定義為：

p(F,G)=sup{η(fn,gn):n∈0}

令P為0的所有子集構成的集合,稱P的一個子集E是一個族,如果E具有向上遺傳性,即如果F1?F2,且F1∈E蘊含F2∈E成立(關于族的詳細介紹可見[9])。H:X→P稱為X的一個集值映射,記Dom(H)={x∈X|H(x)≠?}。如果對任意點x∈Dom(H),都有H(x)是X的一個緊子集,則稱H是一個緊值映射。本文中d(H,Id)<ε意即H(x)?B[x,ε]。一個緊值映射H稱為上半連續的,是指對任意x∈Dom(H)和H(x)的任意鄰域O,都存在δ>0,使得對于滿足d(x,y)<δ的點y,都有H(y)?O成立。

用β(X)表示由X的所有開子集生成的Borel-σ代數,β(X)中的每一個元素稱為一個Borel-集。定義在β(X)上的每一個σ-可加測度稱為X上的一個Borel-測度(關于Borel-測度的更多詳細介紹可見[10])。不妨設每一個Borel-測度μ為概率測度,即μ(X)=1。

定義1.1([4])稱X上的一個Borel-概率測度μ在F作用下是拓撲穩定的,是指對任意的ε>0,則存在δ>0,使得所有滿足p(F,G)<δ的X上連續自映射列G={gn}n∈0,都存在一個上半連續的緊值映射H:X→P,滿足下面條件：

(ⅰ)μ(XDom(H))=0;

(ⅱ)μ。H=0;

(ⅲ)d(H,Id)<ε;

(ⅳ)Fn(H(x))?B[Gn(x),ε],?n∈0。

在(X,F)中,一個序列{xn}n∈0被稱為是在F作用下的一條δ-偽軌,如果對任意的n∈0,d(fn+1(xn),xn+1)<δ。給定ε>0,一個序列{xn}n∈0稱為在F作用下被ε-跟蹤,如果存在y∈X,使得對任意n∈0,d(Fn(y),xn)<ε。此時稱點y是序列{xn}n∈0在F作用下的一個ε-跟蹤點。

稱F具有初值敏感依賴性,是指存在δ>0,使得對X中的任意點x∈X以及點x的任意鄰域Ux,存在n0∈和y∈Ux,使得d(Fn0(x),Fn0(y))>δ成立。其中δ被稱為F的一個敏感常數。

設E是0的一個族。稱F具有E-初值敏感依賴性,是指存在δ>0,使得對X中的任意點x∈X和點x的任意鄰域Ux,都存在E0∈E,使得對任意的n∈E0,存在y∈Ux,使得d(Fn(x),Fn(y))>δ成立。

一個Borel-概率測度μ被稱為是滿支撐的,是指對任意x∈X和x的任意鄰域Ux,都有μ(Ux)>0。稱μ是非原子的,是指對任意點x∈X,都有μ({x})=0成立。

稱(X,F)具有傳遞性,是指對任意的非空開集U,V?X,有

N(U,V)={n∈0|Fn(U)∩V≠?}≠?

設(X,F)和(Y,G)是兩個非自治動力系統。稱(X×Y,F×G)是傳遞的,是指對任意非空開集U1,U2?X,V1,V2?Y有NF(U1,U2)∩NG(V1,V2)≠?。設r,s∈,稱(X,F)是(r,s)-傳遞的,如果(X×X,Fr×Fs)是傳遞的,即對任意的非空開集U1,U2,V1,V2?X,存在n∈0使得Fnr(U1)∩V1≠?且Fns(U2)∩V2≠?。稱(X,F)是弱混合的,如果(X×X,F×F)是傳遞的。

2 主要結論及其證明

本小節皆是在非自治動力系統(X,F)中進行探究,設(X,F)是一個非自治動力系統且X中沒有孤立點。

命題2.1設δ>0。如果存在X上的連續自映射列G={gn}n∈0滿足p(F,G)<δ,則對任意點x∈X,orb(x,G)是在F作用下的一條δ-偽軌。

證明任取X中的一點x,由條件p(F,G)<δ可知,對任意n∈0有

d(fn(x),gn(x))<δ

進而可得

d(fn+1(Gn(x)),Gn+1(x))=d(fn+1(Gn(x)),gn+1(Gn(x)))<δ

故orb(x,G)是F的一條δ-偽軌。

引理2.2設μ是一個在F作用下具有拓撲穩定性的Borel-概率測度,則對任意ε>0,都存在δ>0,使得對任意滿足p(F,G)<δ的X上的連續自映射列G={gn}n∈0以及幾乎所有的x∈X,均存在orb(x,G)關于F的ε-跟蹤點。

證明給定一個具有拓撲穩定性的Broel-概率測度μ,取定ε>0,則存在δ>0滿足μ的拓撲穩定的定義,若G是一個滿足p(F,G)<δ的X上的連續自映射列,設H是μ的拓撲穩定性定義中給出的上半連續緊值映射,定義域為Dom(H),對于x∈Dom(H),任取y∈H(x),顯然有

Fn(y)∈Fn(H(x))?B[Gn(x),ε],?n∈0

這蘊含

d(Fn(y),Gn(x))<ε,?n∈,?y∈H(x),

即y是orb(x,G)關于F的一個ε-跟蹤點。

定理2.3設μ是一個非原子滿支撐的Borel-概率測度且關于F={fn}n∈是拓撲穩定的,常數e>0,E是0的一個族。如果對任意δ>0,都存在具有F-初值敏感依賴性的連續自映射序列G={gn}n∈0滿足p(F,G)<δ且G={gn}n∈0的敏感常數大于e,則F也具有E-初值敏感依賴性。

d(Fn(y1),Gn(x1))<ε

(1)

因d(H,Id)<ε,故d(H(x1),x1)<ε,即H(x1)?B(x1,ε),因而有

y1∈H(x1)?B(x1,ε)

因為G具有E-初值敏感依賴性,所以存在E0∈F,使得對任意的n0∈E0,都存在x2∈B(x1,ε)，使得

d(Gn0(x2),Gn0(x1))>e1

(2)

d(Gn0(x2),Gn0(z2))<ε

(3)

和

d(Fn(y2),Gn(z2))<ε,?n∈0,?y2∈H(z2)

(4)

因此對任意的y2∈H(z2),有d(x1,y2)≤d(x2,z2)+d(z2,y2)+d(x1,x2)≤3ε<ε0,所以y2∈B(x1,3ε)?B(x0,ε0)。根據(1)、(2)、(3)和(4)式可得,對任意的y1∈H(x1)和y2∈H(z2)有

推論2.4設μ是一個非原子滿支撐的Borel-概率測度且關于F={fn}n∈是拓撲穩定的,常數e>0。如果對任意δ>0,都存在一個具有初值敏感依賴性的連續自映射序列G={gn}n∈0滿足p(F,G)<δ且G={gn}n∈0的敏感常數大于e,則F也具有初值敏感依賴性。

證明由定理2.3直接得到。

定理2.5設μ是一個非原子滿支撐的Borel-概率測度且關于F={fn}n∈0是拓撲穩定的,r,s∈。如果對任意δ>0,都存在X上的連續自映射序列G={gn}n∈0滿足p(F,G)<δ且G是(r,s)-傳遞的,則F也是(r,s)-傳遞的。

NGr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))∩NGs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))≠?

其中

NGr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))={n∈0|Gnr(B(x1,ε1))∩B(x2,ε2)≠?}；

NGs(B(x1,ε1),B(x2,ε2))={n∈0|Gns(B(x1,ε1))∩B(x2,ε2)≠?}

顯然,

NGr(B(x1,ε),B(x2,ε))?NGr(B(x1,ε1),B(x2,ε2));

NGs(B(y1,ε),B(y2,ε))?NGs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))

取

m∈NGr(B(x1,ε),B(x2,ε))∩NGs(B(y1,ε),B(y2,ε))

則存在x3∈B(x1,ε),使Gmr(x3)∈B(x2,ε),顯然d(Gmr(x3),x2)<ε；又存在y3∈B(y1,ε),使Gms(y3)∈B(y2,ε)，故d(Gms(y3),y2)<ε。

因為{gn}n∈0都是連續映射,根據一致連續性,對于存在η>0,使得當d(x,y)<η時,則d(Gi(x),Gi(y))<ε,i=0,1,2,…,mr成立。顯然存在0<η0<η,使得η0+2ε<ε1且B(x3,η0)?B(x1,ε)。取x4∈B(x3,η0)∩Dom(H),因為d(x3,x4)<η0<η,所以d(Gmr(x3),Gmr(x4))<ε。

因為x4∈Dom(H),根據引理2.2可得，當x5∈H(x4)?B(x4,ε)時,對任意n∈，有d(Gnr(x4),Fnr(x5))≤ε。又因為

d(x5,x1)≤d(x5,x4)+d(x4,x3)+d(x3,x1)≤ε+η0+ε<ε1,

所以x5∈B(x1,ε1)。綜上可得,當n=m時,有

d(Fmr(x5),x2)≤d(Fmr(x5),Gmr(x4))+d(Gmr(x4),Gmr(x3))+d(Gmr(x3),x2)<3ε<ε2

這蘊含Fmr(x5)∈B(x2,ε2),而x5∈B(x1,ε1)，所以m∈NFr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))。類似地,可得m∈NFs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))。所以有

NFr(B(x1,ε1),B(x2,ε2))∩NFs(B(y1,δ1),B(y2,δ2))≠?

故F是(r,s)-傳遞的。

定理2.6設μ是一個非原子滿支撐的Borel-概率測度且關于F={fn}n∈0是拓撲穩定的,如果對任意δ>0,都存在X上的連續自映射序列G={gn}n∈0滿足p(F,G)<δ且G是弱混合的,則F也是弱混合的。

證明與定理2.5證明過程類似,就不再贅述。