基于加權BF-TOPSIS的多屬性決策方法研究

宋建新 熊俊芬 劉海橋

摘? ?要：BF-TOPSIS算法結合置信方程和TOPSIS算法，能夠有效處理多屬性決策問題。加權BF-TOPSIS（WBF-TOPSIS）算法是對BF-TOPSIS算法的有效推廣，保留了BF-TOPSIS算法的優越性。文章首先對BF-TOPSIS算法的歸一化問題進行詳細推理分析，并給出BBAs構造的一種新的證明。通過分析BF-TOPSIS算法BBAs構造的實際意義，提出WBF-TOPSIS算法，并給出加權系數的最優化表達式。BF-TOPSIS算法是WBF-TOPSIS算法的一種特殊情況。相比于BF-TOPSIS算法，WBF-TOPSIS算法能夠做出更優的決策結果;最后算例分析驗證了所提算法處理多屬性決策問題的優越性性。

關鍵詞：多屬性決策;置信方程;TOPSIS;信息融合

1? ? 算法介紹

多屬性決策（Multiple Criteria Decision Making，MCDM）[1-2]是在一定數量的備選方案上進行偏好決策，已廣泛應用于安全性分析、風險評估、故障診斷等不同領域[3-6]。傳統的多屬性決策方法有層次分析法[7-9]（Analytical Hierarchy Process，AHP）、[10-12]（Technique Order Preference by Similarity to Ideal Solution，TOPSIS）方法、評價排序向量法[13]（Estimator Ranking Vector，ERV）、有序加權平均算子[14]（Ordered Weighted Averaging，OWA）等方法。

MCDM雖然易于表達，但是處理實際問題時，并不利于問題的解決，因為在實際工程應用中，屬性值量綱不同、標準不同，甚至不同的信源之間的屬性值存在沖突。因此，有必要對常規的MCDM方法進行改進，其中，模糊Dempster MCDM方法[15]是Deng教授基于不確定環境下MCDM問題提出的，結合了模糊集理論（FST）和證據理論（DST），有效地處理了供應商選擇問題。Shaverdi[16]利用Fuzzy AHP和Fuzzy TOPSIS提出一種新的業績評估方法，通過分析發現，在不確定的環境下，模糊MCDM決策方法比傳統的MCDM決策方法更合適、有效。Zhang[17]針對經典TOPSIS的可比性問題，提出一種新的基于加權灰色關聯系數的改進TOPSIS方法，將經典TOPSIS和灰色關聯分析的優勢集成在數據序列處理中的曲線位置和曲線趨勢上，從而得到更能滿足評估精度和穩定性的要求。Dezert[18]基于置信方程[19-21]提出新的BF-TOPSIS方法，BF-TOPSIS算法能夠有效避免數據歸一化處理，并且不存在排序反轉現象。

本文將研究不確定信息的多屬性決策，考慮到置信方程（即證據理論）在不確定信息表征、不確定推理方面的研究較為成熟，并且BF-TOPSIS方法很好地解決了TOPSIS反轉現象。所以，本文將基于BF-TOPSIS對不確定信息的多屬性決策問題進行研究，但是BF-TOPSIS在構造置信概率賦值（BPA）時，不確定區間較大，不利于后續的融合決策，鑒于此，本文基于BF-TOPSIS提出加權BF-TOPSIS（WBF-TOPSIS）。

本文所給出的算法WBP-TOPSIS是對BF-TOPSIS算法的有效拓展。通過分析算法BBAs的構造可以看出，WBF-TOPSIS算法中的BBAs構造是BF-TOPSIS算法和數據歸一化處理的有效綜合。通過改變WBF-TOPSIS算法中參數α的值，可以有效控制構造出的BBAs中模糊區間大小。本文通過分析，給出加權系數的最優化表達式。

本文首先介紹了BF-TOPSIS的4種算法;其次，分析了BF-TOPSIS的歸一化問題，并給出BF-TOPSIS算法BBAs構造的一種新的證明;再次，給出WBF-TOPSIS算法的定義并進行相關分析，推導出加權系數的最優化表達式;從次，結合BF-TOPSIS和WBF-TOPSIS算法進行單屬性決策和多屬性決策算例分析;最后做出總結。

2? ? 理論基礎

BF-TOPSIS是結合置信方程和TOPSIS的多屬性決策算法，記多屬性決策中的決策矩陣為S=[Sij]M×N，其中，M>1表示目標Ai個數，N≥1表示屬性Cj個數，第j列，表示Cj對目標作出的決策。記多屬性決策結果為置信函數理論中的識別框架，對于命題，記：

3? ? ?BF-TOPSIS相關問題分析

3.1? BF-TOPSIS的歸一化問題

所以BF-TOPSIS算法在構造BBAs時必須要滿足不等式（2），Dezert等給出不等式（2）的詳細證明過程，本文將給出BF-TOPSIS算法BBAs構造的一種新的解釋。

如圖1所示，將傳感器Cj的決策向量從小到大排序，并表示成柱狀圖的形式，橫坐標表示決策目標Ai，縱坐標表示傳感器Cj對目標Ai的決策量Sij，曲線表示排序后決策量Sij的包絡。一般地，考慮傳感器Cj對目標Ak的BBAs構造過程，虛線l表示決策量Skj，結合公式（1）可以得到，積極證據支持度就等于虛線l下方淺綠色區域決策量之和，即：

4? ? 加權BF-TOPSIS

4.1? 新的加權BF-TOPSIS方法

Dezert基于置信方程提出的新的BF-TOPSIS方法很好地解決了TOPSIS反轉現象。BF-TOPSIS在構造置信概率賦值（BPA）時，不確定區間較大（在后續的算例中有所體現），不利于后續的融合決策，鑒于此，本文基于BF-TOPSIS提出加權BF-TOPSIS（WBF-TOPSIS）。

置信區間的區間長度表示不確定度，通過分析式（5—7）及圖1可以發現，構造出的BBAs不確定度主要是由圖1中②④兩塊區域的置信度決定，即S∑2，S∑4決定了不確定度，其中：

當α=1時，WBF-TOPSIS的BBAs構造公式退化為歸一化公式，此時的BBAsm（·）只與相關，丟失了部分信息量，但是，不確定度為0，問題退化為概率問題。

當α∈（0，1）時，如圖2所示，紅線表示WBF-TOPSIS中BBAs構造的，藍線表示WBF-TOPSIS中BBAs構造的，陰影部分表示不確定區間，隨著α從0→1變化時，不確定區間長度線性減少。

對WBF-TOPSIS中構造出來的BBAs相應的有4種處理方式，處理方式與BF-TOPSIS算法一樣。

4.2? 加權系數α的最優化

加權系數α可以取[0，1]中的任何一個值，不同的α取值，影響著BPA的生成，從而影響最終的決策效果。在此將對加權系數α進行分析，研究得到最優的加權系數。

通過上述分析可以得到，當α=0時，WBF-TOPSIS退化為BF-TOPSIS，而當α=1時，WBF-TOPSIS的BBAs構造公式退化為歸一化公式。所以，α的取值取決于多屬性的決策數據的性質。如果原始數據利用BF-TOPSIS更有利于決策，則α就變小，相反，如果原始數據利用歸一化更有利于決策，則α就變大。

分析原始數據可以發現，當決策數據中，較優的決策值很少，而差的決策值相對較多時，決策的不確定性較小，如圖3（a）所示，此時適合直接歸一化得到BPA賦值，從而降低BPA的不確定區間的長度，此時的加權系數α應該偏大。而當決策值相對均勻分布時，如圖3（b）所示，此時適合利用BF-TOPSIS方法得到BPA賦值，利用證據理論的優點，對不確定證據進行決策，此時的加權系數α應該偏小。

從決策可以看出，信源傾向于對命題A4作出決策，其余命題的信度都較差。而從表1中的數據可以看出，通過BF-TOPSIS構造出的BPA將較多的信度賦予了全集Ai∪ _Ai），而通過WBF-TOPSIS構造出來的BPA將較多的信度賦予了命題的非 _Ai，從而可以看出，在加權系數aj的優化下，WBF-TOPSIS得到了更優的BPA賦值。

5? ? 基于WBF-TOPSIS的多屬性決策算例分析

5.1? 單屬性算例分析

考慮單個屬性C1。假設目標可能決策結果為Ai（i=1，…，7），相應地給出C1的決策向量（收益向量，值越大越優）S1=[90，50，80，30，70，100，50]，如果對決策向量直接排序，可以得到決策結果：

結果表明，WBF-TOPSIS可以有效地處理單屬性目標決策問題。文章在此通過算例介紹了WBF-TOPSIS算法的一般步驟，并論證了算法的有效性，下面將具體結合案例，分析WBF-TOPSIS在多屬性決策中的應用。

5.2? 多屬性算例分析

分別用BF-TOPSIS1-3和WBP-TOPSIS1-3對上述問題進行處理，其中WBP-TOPSIS1-3中參數a分別取0.1～0.9，步長為0.1，計算得到關聯度C，結果如圖4—6所示。

當a取0時，WBF-TOPSIS與BF-TOPSIS計算出來的關聯度C相同，隨著a的不斷增大，WBF-TOPSIS的運行結果明顯優于BF-TOPSIS的結果，很好地驗證了算法的優越性。

6? ? 結語

本文對BF-TOPSIS算法進行推廣，提出WBF-TOPSIS算法。WBF-TOPSIS繼承了BF-TOPSIS算法優點—避免了對數據歸一化處理以及有效解決了排序反轉現象。通過對BF-TOPSIS算法的歸一化問題進行詳細的推理論證，可以得到BF-TOPSIS算法在構造BBAs過程中蘊含了歸一化過程;給出BF-TOPSIS算法的BBAs構造的新的證明，并在此基礎上，引出WBF-TOPSIS算法，通過對所提算法的分析，可以發現：WBF-TOPSIS算法是BF-TOPSIS算法與直接歸一化處理手段的有效綜合。最后，文章給出了WBF-TOPSIS1-3算法的一般步驟，算例結果驗證了所提算法的有效性。

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