基于數學建模理論的問題研究與分析

葉雯

摘 ?要： 數學模型是架于數學與實際問題之間的橋梁，在數學發展的進程中無時無刻不留下數學模型的印記。數學模型是一種數學的思維方法，用數學語言和方法來抽象簡化實際問題，以便于實際問題的解決。數學建模不僅是應用數學解決實際問題的重要工具，而且是揭示基本自然規律，產生新的數學思想和方法的重要途經。文章用實例介紹了數學建模理論及其應用。

關鍵詞： 數學; 模型; 數學建模

中圖分類號：TP3-05 ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1006-8288（2020）03-16-04

Researching and analyzing with mathematical modeling theory

Ye Wen

（Network and Information Center， Nanjing Institute of Technology， Nanjing， Jiangsu 211167， China）

Abstract： Mathematical modeling is a bridge between mathematics and practical problems， which leaves marks all the time in the process of mathematical development. Mathematical modeling is a kind of mathematical thinking method， which uses mathematical language and methods to abstract and simplify practical problems， so as to solve the practical problems. Mathematical modeling is not only a significant tool to solve practical problems， but also an important way to reveal basic laws of nature and generate new mathematical ideas and methods. In this paper， mathematical modeling theory and the application in solving practical problems are introduced with examples.

Key words： mathematics; model; mathematical modeling

0 引言

數學是各門自然科學、工程科學乃至社會科學的基礎，是技術進步、經濟建設和社會發展的重要工具[1-2]。數學一直與其他學科的發展密切相關，且對其他學科的發展也起到了促進作用[3]。一直以來數學作為一種實用的技術，是人類處理生活中及社會活動中遇到的各種實際問題的一把金鑰匙。計算機技術的發展離不開數學，如今數學的應用以空前的影響力向工程技術、管理、金融、自然科學、醫學等眾多領域滲透。

1 數學建模

1.1 數學建模理論與應用

模型是人們基于一定的目的對原型的抽象。數學建模就是根據實際問題來建立數學模型，對數學模型來進行求解，然后根據結果去解決實際問題[4]，它把錯綜復雜的問題簡化、抽象為合理的數學結構。數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領域廣泛應用的工具。應用數學方法去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是很困難的一步[3]。

當需要從定量的角度分析和研究信息科學、生活生產、消費休閑等實際問題時，人們就要在深入觀察和研究問題對象的固有特征、了解和收集問題對象的信息資料、作出反映實際問題數量關系的抽象和簡化假設、分析對象的內在規律等工作的基礎之上，引入一些相關的數學符號、變量和參數，從而用數學語言和方法建立其變量參數間的內在關系，得出一個可以近似刻畫實際問題的模型，進而對其進行分析、求解、檢驗和推廣[5]，最終實現實際問題的解決。

數學建模和人們的日常生活、工作和社會活動是緊密相連的。文獻[6]列舉了氣象工作站利用通過氣象衛星大量收集到一定時間內的氣壓、降水、風速和云層等各種狀態的數據建立相應的數學模型，可準確有效地模擬實時的天氣變化。生理學專家利用人體體內的藥物濃度和時間來建立數學模型從而有效的指導藥物在臨床中的應用。

數學建模的過程一般分為模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應用與推廣等多個階段[4]。建模要點是：要明確研究目標，力圖從實際問題中歸納出所采用的假設和解題線索;用假設簡化問題，在實際與數學簡化之間選擇恰當的平衡點，這是建模成功與否的關鍵，體現了建模工作的想象力和創造力;做正確的推理，在無法進行嚴格的數學推導時， 可以使用“不嚴格”的數學，代之以對問題的分析、歸納、類比、猜測、嘗試，事后檢驗;最后盡可能使用實際資料檢驗數學結果，并用恰當的學科語言表達數學結果，圖1是建模過程的流程圖。

1.2 建模實例

本篇通過引入一個實際的生活問題和一個實際的數學問題，建立了相對應的數學模型。

1.2.1 實例一

針對雨中如何行走可以少淋到雨這個問題，我們從模型準備、模型假設和模型計算等方面來解決問題。

1.2.1.1 模型準備

首先模型準備階段，在接下來的模型建立過程中需要用到的變量：

h 人的身高，

w 人的寬度，

d 人的厚度，

C 淋雨總量，

I 降雨大小，即降雨強度，

vf 風速，

vr 人的速度，

D 人跑完的全程的長度，

ρ 雨滴的密度，

r 雨速。

1.2.1.2 模型假設

⑴ 把人體視為長方體，身高h（m），寬度w（m），厚度d（m）。淋雨總量用C升來記;

⑵ 降雨大小用降雨強度I（cm/h）來描述，降雨強度指單位時間平面上降下水的厚度。這里可視為一個常量;

⑶ 風速vf（m/s）保持不變;

⑷ 人以一定速度vr（m/s）跑完全程D（m）。

1.2.1.3 模型計算

人行走對的方向順風且雨與地面的夾角至少為α>0，數學模型如圖2所示。

設雨速為r（m/s），雨滴的密度為ρ（kg/m3），I表示在一定時刻在單位體積的空間內，雨滴所占的空間的比例數，即降雨強度系數。所以，I=r。

由于順風而行，考慮降雨方向，淋濕的部位只有頂部和背部，則分兩部分計算降雨量：

因此，一般情況下，當v=rcosα時總淋雨量最少，人應以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相對于人是垂直下落的。

當α=90?時，cosα=0，sinα=1，即C=w（d-hv）即人應以最快的速度行走，使總淋雨量最少，并且傘柄應垂直于地面來使落在人身體上的雨盡可能少。

當90?<α<180?時，cosα<0，總淋雨量C=w（dsinα+h（rcosα-v）），故人應以最快的速度行走且傘柄應與地面成（180-α）?來使落在人身體上的雨盡可能少，這樣總淋雨量最少。

針對這個問題，通過模型假設和模型計算與分析，最終的結論是：如果行人行走的方向是順風，且雨與地面的夾角至少為α>0 ，則應以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相對于行人是垂直下落的;其他情況下，都應以最快的速度行走。若有把傘，若有把傘，當0?<α<90?時，人應以雨速水平分量的速度行走，使雨相對于人使垂直下落的，故傘柄應垂直于地面來使落在人身體上的雨盡可能少。當α=90?，人應以最快的速度行走，使總淋雨量最少，傘柄應垂直于地面來使落在人身體上的雨盡可能少。當90?<α<180?，人應以最快的速度行走且傘柄應與地面成（180-α）?來使落在人身體上的雨盡可能少。

1.2.2 實例二

接下來是一個幾何數學問題，一條直線最多將平面劃分成兩部分，二條直線最多將平面劃分成四部分，這里需要計算出n條直線最多將平面劃分成多少部分。

1.2.2.1 模型準備

變量說明：

n ? 直線的條數;

pn-1 ?之前的所有直線將平面劃分得到部分的總數目;

pn ?新增加的第n條直線劃分平面后得到的劃分總數目。

1.2.2.2 模型假設

在此，①我們將平面假定為一個矩形;②假設當將平面劃分得到的部分最多時，所有直線相交的交點都在該給定的矩形區域內。

1.2.2.3 模型分析

一條直線最多將平面劃分成兩部分，兩條直線最多將平面劃分成4部分，表1演示了新增加的第n條直線劃分平面后得到的劃分總數目。

一條直線將平面劃分成兩部分，兩條直線最多能將平面劃分成4部分。即

我們知道，在同一具有延展性的平面內，兩條直線不是平行就是相交。每增加一條直線，如果想要劃分得到的部分最多，那么新增的直線就必須與之前所有的直線相交。因為如若每次新增的直線與之前的直線平行，則新增加的第n條直線劃分平面后得到的劃分總數目為

這樣必然比不平行直線分割得到的部分少，因為新增的直線每與一條直線相交，就會與該直線相交并在平面上得到新的劃分部分。

如圖3所示，每增加一條直線，就與之前所有的直線都相交，則增加（n-1）個交點。當n=4時，增加三個交點（4，5，6），并且新增的直線會與已知平面的兩條邊界相交，則新增的直線在已知平面上共有n+1個交點，即圖3中的（7，4，5，6，8）五個交點，其中每兩個相鄰的交點會與在增加第n條直線之前所產生的交點中的一個或多個交點再次組成一個新的劃分部分。如圖3所示，五個交點中的第二個交點（交點4）和第三個交點（交點5）會與增加第2條直線所產生的交點（交點1）產生一個三角形劃分部分;這樣就會在原有基礎上，增加了個新的劃分部分，在如圖3中，就增加了四個新的劃分部分（A，B，C，D）。則新增加的第n條直線劃分平面后得到的劃分總數目為

2 結束語

本文對兩個實際問題通過數學建模手段來解決，演示了數學建模的模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析等過程。在建模中，數學不僅僅是一種工具，我們還要從所作的數學推導和所得到的數學結論中尋找出所包含的更一般的、更深刻的內在規律。數學建模絕不僅僅是以應用數學解決實際問題為目標，我們更希望揭示基本自然規律，產生新的數學思想和方法。

參考文獻（References）：

[1] 黃輝，胡桂武.高等財經院校數學建?；顒拥膶嵺`與探索——以廣東財經大學為例[J].高教學刊，2019.9：77-80

[2] 姜啟源，謝金星.一項成功的高等教育改革實踐——數學建模教學與競賽活動的探索與實踐[J].中國高教研究，2011.12：79-83

[3] 楊東輝.數學建模在多相反應動力學上的應用[D].河北師范大學碩士學位論文，2005.

[4] 數學建模百度百科.數學建模百科詞條[EB/OL]. https：//baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BB%BA%E6%A8%A1/527？fr=aladdin

[5] 王奕翔，曹琳，何敏，王子微，范小嫻.基于C語言的MATLAB軟件編程在數學建模中的應用研究[J].教育現代化，2019.6（48）：127-129

[6] 徐健清.基于數學建模理論下茶葉經濟效益最優化的研究[J].福建茶葉，2017.39（7）：16-17