基于動態響應的結構安全性診斷

況中華 何光輝 李鑫奎

上海建工集團股份有限公司 上海 200080

近年來，基于實測振動數據的結構損傷識別方法被廣泛用于建筑工程結構安全狀態的評估。評估建筑結構的安全狀態不僅有助于舊結構的維修加固，同時也可應用于新建結構施工期間的安全狀態診斷，不但有利于提高建筑結構的使用壽命，還可為結構施工提供安全保障。

從結構振動方程中可得，振動是關于結構三大系統參數（質量、剛度、阻尼）的動力系統，結構的系統參數決定了結構的振動狀態，同時也可從結構的振動狀態推算出結構的系統參數。結構在使用期間的質量可認定為基本不發生變化，而結構的阻尼可通過質量及剛度計算得出，而當結構內部產生損傷時（裂縫、彈模變化），最為直接的表現即為結構剛度降低。因此，大多數結構損傷識別都是將結構剛度作為識別參數進行計算，通過結構剛度的變化程度或損傷后剛度與損傷前剛度的比值來評估結構的安全性。

本文將剛度差值比α作為結構的剛度損傷系數，以表達結構的剛度變化程度，并建立結構的損傷剛度矩陣，將損傷剛度矩陣納入結構的振動方程中，同時聯合未損傷和損傷結構的振動方程進行求解，最終獲取結構各單元的剛度差值比α，以此確定結構各位置的損傷情況，評估結構的安全狀態。

1 多自由度體系振動方程

考慮結構阻尼影響的多自由度體系的運動方程[1]如式（1）所示：

式中：M——質量矩陣；

C——阻尼矩陣；

K——剛度矩陣；

P（t）——t時刻的外部荷載矩陣；

Ut——t時刻的位移矩陣；

求解振動方程的關鍵是建立結構整體的質量、阻尼、剛度矩陣，可利用有限元方法將結構劃分為多個單元進行計算，將結構整體參數矩陣計算轉化成計算1個單元的質量、阻尼、剛度。

當僅考慮平面橫向位移問題時，單元節點僅有豎向位移和轉動2個自由度，單元的位移函數可用三次Hermite多項式表示，如式（2）所示：

在式（2）中，部分參數如式（3）～式（6）所示：

其中，V(x)為單元的位移函數，V1、V3為單元節點1、2的豎向位移，V2、V4為單元節點1、2的轉角。

單元在節點1處發生單位轉角θ1時，節點1處產生的豎向力即為單元的剛度系數k13，依據虛功原理可得式（7）：

同理可得，單元的任意剛度系數表示為式（8）：

同理可得，單元的任意質量系數表示為式（9）：

上式中，E為彈性模量，I(x)為單元截面慣性矩沿單元長度的分布，m(x)為單元質量沿單元長度的分布，、分別為φi(x)的一、二階導數。

最終可得結構的整體質量、剛度矩陣如式（10）、式（11）所示。

結構阻尼采用Rayleigh阻尼[2]，利用質量矩陣和剛度矩陣表示，如式（12）所示：

在式（12）中，a0、a1分別由式（13）、式（14）定義：

其中，wi、wj為結構的2個自振頻率，ξi、ξj為對應的振弦阻尼比。

2 建立損傷結構的振動方程

結構出現損傷的主要表現是結構單元剛度的減小，因此，引入剛度增量ΔK來描述結構的損傷。損傷結構的損傷剛度矩陣Ks可描述為原始結構（未損傷結構）的剛度矩陣K加上剛度增量矩陣ΔK，即Ks=K+ΔK，ΔK一般為負值。

將結構損傷剛度矩陣Ks代入式（1），可得損傷結構的振動方程：

將原始結構和損傷結構的振動方程進行聯合求解，即合并式（1）和式（15）：

結構的單元剛度損傷系數可用剛度差值比α來表示，即單元n的剛度增量，以平面橫向位移問題為例，參照式（11），ΔKUst可表示為式（18）：

對上述剛度增量矩陣ΔK〔式（18）〕進行列變換，將同一個單元的列元素相加于同一列，可得式（19）：

kn——單元n的剛度矩陣；

αn——單元n的剛度損傷系數（剛度差值比）；

α——結構損傷系數矩陣。

將式（19）代入式（17）求解，可得結構損傷系數矩陣α：

3 案例驗證

以一個雙跨混凝土連續梁為計算案例，驗證上述求解結構單元損傷系數的方法。雙跨混凝土連續梁跨徑5 m，采用鉸接邊界，梁截面為400 mm×200 mm矩形截面，彈性模量E=3.45×104MPa，密度ρ=260 kg/m3，在距離端部2 m位置作用一個豎向正弦動荷載P(t)=1×104×sin (6πt)，結構形式如圖1所示。

圖1 雙跨混凝土連續梁結構簡圖

計算時將雙跨混凝土連續梁等分成10個單元，11個節點，單元長度1 m。假定3號單元的剛度損傷系數α3=－0.8，8號單元的剛度損傷系數α8=－0.6，結構其余位置均未出現損傷，即其余單元的損傷系數為0（圖2）。利用上述計算方法，驗證通過結構的動態響應診斷出的結構損傷情況是否與假定工況一致。

圖2 雙跨混凝土連續梁的單元損傷示意

計算雙跨混凝土連續梁的阻尼時，選取第1、2階自振頻率w1、w2作為參數，阻尼比取值ξ1=ξ2=0.05。

計算時長取100 s，時間步長取0.01 s，共計104步。理論結構（未損傷結構）和損傷結構承受同樣的正弦動荷載作用，正弦動荷載的時程曲線如圖3所示。

圖3 正弦動荷載時程曲線（僅示意0～10 s）

通過計算得出，雙跨混凝土連續梁的3號單元的剛度損傷系數α3=－0.6，8號單元的剛度損傷系數α8=－0.8；其余單元的剛度損傷系數α均為0。各單元的剛度損傷系數如圖4所示。

圖4 單元剛度損傷系數時程曲線

計算結果與假定工況完全吻合，表明利用未損傷結構和損傷結構在相同動荷載作用下的響應時程，建立聯合振動方程求解結構單元剛度損傷系數的方法準確可靠，且可通過該方法對結構的損傷情況進行判別，從而可進一步實現結構安全狀態的診斷。

4 結語

利用結構在動荷載作用下的實際動態響應與理論動態響應時程，建立理論-實際聯合振動方程，可求解出結構每個單元的剛度損傷系數，從而可對結構的損傷情況進行識別，實現結構安全狀態的診斷。

本文通過實例驗證，發現所述方法對結構安全狀態的診斷準確可靠，該方法可在建筑工程施工過程中進行推廣應用[3-8]。