基于拓撲優(yōu)化技術(shù)的導(dǎo)光板散射網(wǎng)點設(shè)計方法及其實現(xiàn)

邱福生, 杜家毅, 史貴超, 戴良景, 葉 靚, 岳海龍

(1.沈陽航空航天大學航空宇航學院，沈陽 110000； 2.沈陽飛機設(shè)計研究所，沈陽 110035)

飛行員夜間巡航過程中的光環(huán)境是評價飛行質(zhì)量以及安全性和高效性的重要標準，安全舒適的光環(huán)境對于飛行員而言尤為重要。近年來，機艙照明系統(tǒng)也在向著均勻化、柔和化出光效果發(fā)展，其中導(dǎo)光板作為一種可以提高出光均勻性和亮度的光學儀器被應(yīng)用到航空照明領(lǐng)域中[1]，而對于導(dǎo)光板散射網(wǎng)點的優(yōu)化設(shè)計也成為熱門研究。曾慶兵等[2]針對機艙照明現(xiàn)有手動亮度調(diào)節(jié)方式費時、執(zhí)行效率低的現(xiàn)狀，提出一種飛機導(dǎo)光板照明亮度自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)，保證了駕駛艙照明環(huán)境的均勻、舒適。陳俄震等[3]根據(jù)照度及散射網(wǎng)點排布公式，找出導(dǎo)光板網(wǎng)點最佳形狀，并經(jīng)過Trace-Pro模擬仿真，得到了一種基于傳統(tǒng)方法下的仿真效果圖；通過感光薄膜測試，提出一種可以應(yīng)用到中小尺寸背光源設(shè)計中的導(dǎo)光板散射網(wǎng)點的設(shè)計方法。Joo等[4]提出并驗證了導(dǎo)光板網(wǎng)點平均密度的最佳范圍，對網(wǎng)點密度為0.01～0.75的背光源模組進行光學仿真及實驗驗證，結(jié)果表明最佳平均網(wǎng)點密度為0.25。目前，對航空導(dǎo)光板的研究主要集中在利用傳統(tǒng)方法及仿真軟件對散射網(wǎng)點設(shè)計的驗證上，所得散射網(wǎng)點的直徑大小以及分布位置并不是十分精確，且散射網(wǎng)點之間往往相互干涉。因此，如何結(jié)合不同領(lǐng)域的求解方法尋求一種更精確合理的散射網(wǎng)點模型需要得到突破和創(chuàng)新。

現(xiàn)基于導(dǎo)光板散射網(wǎng)點的光學原理及內(nèi)部設(shè)計，引入拓撲優(yōu)化技術(shù)，得到以出光照度-網(wǎng)點直徑數(shù)學模型為目標函數(shù)的拓撲優(yōu)化模型。利用MATLAB軟件仿真得到最均勻光照情況下的散射網(wǎng)點分布情況。并通過進一步優(yōu)化得到基于拓撲優(yōu)化技術(shù)下的散射網(wǎng)點設(shè)計。與傳統(tǒng)方法下的設(shè)計結(jié)果相比，結(jié)果更加精確合理，且參數(shù)設(shè)置更靈活。創(chuàng)新性地將拓撲優(yōu)化理論與光學相結(jié)合，理論上可以對拓撲優(yōu)化的研究領(lǐng)域進行擴展，也為解決導(dǎo)光板散射網(wǎng)點設(shè)計問題提供了一條新途徑，對于相關(guān)領(lǐng)域的研究具有指導(dǎo)意義。

1 三維空間中的導(dǎo)光板照度分布

在工程實例中，發(fā)光二極管(LED)點光源與接收平面的距離遠遠大于其自身的尺寸，因此具有實際尺寸的光源往往被看作點光源，其自身尺寸忽略不計[5]。在其光照所發(fā)散的整個球面區(qū)域內(nèi)，其光學參數(shù)都是完全相同的。僅取其中一個方向(z方向)進行研究。

圖1 朗伯模型

圖1為單個點光源照射到接收平面所形成的幾何關(guān)系圖，其中h為點光源到接收平面的垂直距離；r為點光源到平面上的某點的距離；θ為二者夾角，其光照傳播范圍可由式(1)得出：

I(θ)=I0cosmθ

(1)

式(1)中:Iθ表示與點光源成θ角度處光照強度距離范圍值，I0表示點光源處的光強；m為朗伯系數(shù)，即光源輻射模式，m可由(2)式得出：

(2)

式(2)中：θ1/2為功率半角，是光源照度中心與半功率處連線夾角，其值由實際測量得出。

角坐標下光照度分布會產(chǎn)生三維空間分布效果，如式(3)所示：

E(r,θ)=E0(r)cosmθ

(3)

式(3)為具體角度和距離情況下的公式，其中E0為光源點照度;r為光照傳播過程中與距離相關(guān)的因子，可表示光照度與發(fā)光強度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。將其進行坐標變換，引入點坐標量，得到無擋板情況下單顆點光源照射下，空間光照度分布情況[6]：

(4)

式(4)中：(xi,yi)為光斑坐標；(x,y)為光源點坐標；h為點光源到(x,y,z)點的距離。

在三維空間中，光源點與導(dǎo)光板距離方向定義為參數(shù)Z方向(即h方向)，則可設(shè)任意光源的點坐標為(x,y,z)接收平面上任意接收點坐標為(xi,yi,zi)，那么利用幾何關(guān)系，空間入射角θ可由式(5)表示：

(5)

因此，在三維坐標空間中任一點光照度為

E(x,y,z)=

(6)

2 有限單元劃分并制定編碼規(guī)則

傳統(tǒng)的光學方法求解導(dǎo)光板散射網(wǎng)點分布問題中，多利用光學幾何理論建立光照度與空間坐標的數(shù)學模型，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再進行求解。然而傳統(tǒng)的光學求解的計算結(jié)果往往含有網(wǎng)點橫坐標x、縱坐標y和網(wǎng)點直徑d三個參數(shù)[7]，導(dǎo)致散射網(wǎng)點的分布混亂且無規(guī)律，每個網(wǎng)點的位置也不固定，因此存在出現(xiàn)偏差值的情況。

結(jié)合拓撲優(yōu)化方法，首先對導(dǎo)光板平面進行有限單元網(wǎng)格的劃分。傳統(tǒng)的單元劃分會考慮到效果與效率兩個方面，即劃分得越密效果越好，得到結(jié)果越精確，但是會降低計算效率，產(chǎn)生錯誤，而劃分的不夠細密則會影響計算和仿真效果，得到一個與理想結(jié)果偏離很大的結(jié)果[8]。根據(jù)需求將導(dǎo)光板分割成m×n個有限單元，每個有限單元的邊長為1 mm，因此導(dǎo)光板的面積為(m×n) mm2。散射網(wǎng)點為與正方形有限單元同心的圓，直徑區(qū)間為[0,1]，單位為mm。取有限單元左下方點為每個有限單元和散射網(wǎng)點的編碼坐標點，取導(dǎo)光板左下方角點為P0(0,0)，以P0為原點建立坐標系，使導(dǎo)光板內(nèi)所有標記點都分布在x軸、y軸和第一象限。圓心和標記點的關(guān)系以坐標形式表現(xiàn)為Oi(xi+0.5，yi+0.5)。實際效果圖如圖2所示。

圖2 10×10散射網(wǎng)點實際效果

在光源點發(fā)射光線、散射網(wǎng)點接收并反射光線、劃分網(wǎng)格等一系列過程中，外部約束如光源點位置、光源點光照度和亮度值、單元格點坐標等都是宏觀狀態(tài)下的三維空間參數(shù)，這種狀態(tài)下的特征約束應(yīng)盡量轉(zhuǎn)化為能夠被拓撲優(yōu)化算法識別的矩陣表達[9]。將參數(shù)設(shè)定為矩陣形式，并對空間坐標進行編碼，更易于拓撲優(yōu)化技術(shù)對于不同工況條件下的模型的仿真，而計算結(jié)果以矩陣的形式輸出，也便于分析和驗證。

規(guī)定散射網(wǎng)點陣列的左下點為矩陣中第一個元素，從左到右依次為矩陣的第一行，同理網(wǎng)點陣列的第二排為矩陣第二行元素，以此類推，最終形成能夠表達散射網(wǎng)點坐標的矩陣：

(7)

同理，可得散射網(wǎng)點的直徑矩陣：

(8)

圖3 3×3散射網(wǎng)點實例

在數(shù)學模型計算及后續(xù)仿真時，散射網(wǎng)點坐標及半徑將以矩陣形式輸出，矩陣的維數(shù)取決于散射網(wǎng)點的實際行列數(shù)。圖3所示為3×3散射網(wǎng)點實例。式(9)、式(10)分別為3×3散射網(wǎng)點坐標編碼矩陣和輸出的散射網(wǎng)點直徑矩陣。

3×3散射網(wǎng)點坐標編碼矩陣：

(9)

輸出的散射網(wǎng)點直徑矩陣：

(10)

3 散射網(wǎng)點亮度分析

球面點光源入射到導(dǎo)光板的光經(jīng)過散射網(wǎng)點時發(fā)生散射，改變了原來的正常的光學傳播路徑，將線光源霧化為面光源并由上表面折射為出射光。因此導(dǎo)光板上表面的出射光與導(dǎo)光板的散射網(wǎng)點的特征密切相關(guān)[4]。圖2為散射網(wǎng)點分布示意圖。定義導(dǎo)光板散射網(wǎng)點填充函數(shù)為f(x,y,z)，由于默認散射網(wǎng)點為圓形，而劃分的有限單元為正方形，因此圓形散射網(wǎng)孔占有正方形有限單元的程度被定義為填充函數(shù)，其數(shù)值由式(11)可得：

(11)

式(11)中：S(x,y,z)為點(x,y,z)處的一個散射網(wǎng)點的面積；l2為限單元網(wǎng)格的面積，l取1 mm。對應(yīng)的導(dǎo)光板上表面出光的亮度為

B(x,y,z)=kE(x,y,z)f(x,y,z)

(12)

式(12)中：k為比例系數(shù)，由于光照度為散射網(wǎng)點處的值，經(jīng)散射后在上表面作為出射光射出，二者之間存在亮度損失，由于導(dǎo)光板厚度較小，損失不明顯，因此加入損失比例系數(shù)作為修正，其取值由實際情況設(shè)定。

因此，建立亮度與散射網(wǎng)點直徑的函數(shù)關(guān)系為

(13)

式(13)中：B為光照某處亮度值；E為該處光照度值；d為劃分單元邊長。即：

d(xi,yi,zi)

(14)

式(14)中：將有散射網(wǎng)點散射的光看作以散射網(wǎng)點為底面的光柱，不考慮散射角度，默認所有光線出射角度為0°，即與散射網(wǎng)點所在平面垂直。

4 散射網(wǎng)點拓撲優(yōu)化模型的建立

在光線通過導(dǎo)光板的散射網(wǎng)點進行散射過程中，散射網(wǎng)點的面積是影響出射光特性的重要因素之一，由于劃分的網(wǎng)格單元被指定為邊長為1 mm的正方形，因此散射網(wǎng)點直徑d的設(shè)計區(qū)間為[0,1]。由式(14)可知，不同位置的有限單元中的散射網(wǎng)點獲得的光照度和亮度不同，當點光源固定時，導(dǎo)光板上散射網(wǎng)點位置離光源點越遠，亮度越低，因此，采用優(yōu)化散射網(wǎng)點面積的方法，最終達到出射光的亮度最均勻。

由于散射網(wǎng)點為離散排列，因此經(jīng)過上表面出射的光柱也為離散的。為實現(xiàn)照射效果均勻化，對式(10)取標準差，定義標準差函數(shù)為T(xi,yi,zi)，即：

(15)

式(15)中:Bk為第k項亮度值，是作為優(yōu)化的目標，散射網(wǎng)點的直徑為0～1的變量，因此直徑d作為設(shè)計變量被引入到拓撲優(yōu)化方法中。優(yōu)化目標為尋求亮度均勻化，因此式(14)作為目標函數(shù)參與優(yōu)化過程。拓撲優(yōu)化模型如式(16)、式(17)所示：

Find:

d={d1,d2,…,dn},d∈[0,1]

(16)

min:

(17)

5 設(shè)計變量的標準化以及目標函數(shù)的仿真

以一個矩形散射網(wǎng)點區(qū)域為例進行分析。導(dǎo)光板有效工作面積為50 mm×50 mm，材料為PMMA(亞克力，可實現(xiàn)導(dǎo)光板的3D打印)。光源選用標準的試驗用 LED，為理想的朗勃發(fā)光體，光照強度I0取值為156～244 lx(常用LED功率范圍)[10]。光源放置在導(dǎo)光板左側(cè)，取發(fā)光體與導(dǎo)光板垂直距離方向為z軸方向，導(dǎo)光板位于xoy平面上，記z軸正方向左下點為原點。

根據(jù)導(dǎo)光板尺寸，設(shè)置網(wǎng)格長度為1 mm，即散射網(wǎng)點最大直徑為1 mm。將反射片設(shè)置為反射率為0.9的面反射，其余位置設(shè)置反射率為0。利用MATLAB對拓撲優(yōu)化模型進行仿真，設(shè)置LED點光源的光照強度I0、坐標點(x、y、z)、導(dǎo)光板z坐標為zi為可變參數(shù)。因此，在實際仿真過程中，程序考慮到光源點實際狀態(tài)下的不同位置坐標和光照參數(shù)變化，最終實現(xiàn)不同光照參數(shù)和點光源為之下的不同散射網(wǎng)點設(shè)計結(jié)果。

圖4、圖5所示為標準化的目標函數(shù)d的MATLAB程序仿真結(jié)果，具體數(shù)據(jù)如表1所示。

圓點面積為散射網(wǎng)點面積

圓點面積為散射網(wǎng)點面積

表1 光源點參數(shù)

利用MATLAB編程仿真，得到如圖4、圖5所示的圖形。由圖5可知，在實際的參數(shù)選取過程中，不同的參數(shù)大小可能會導(dǎo)致結(jié)果偏離理想狀態(tài)下的[0,1]區(qū)間的結(jié)果，對于參數(shù)的任意設(shè)定可能會影響仿真效果，造成相鄰或鄰近的散射網(wǎng)點發(fā)生相交重合的現(xiàn)象，導(dǎo)致合理的參數(shù)產(chǎn)生相對不合理的數(shù)值結(jié)果，該結(jié)果不符合實際的散射網(wǎng)點設(shè)計需求。因此，首先對數(shù)據(jù)進行標準化，才能保證數(shù)值結(jié)果的合理性。

數(shù)據(jù)標準化是一種有效的數(shù)據(jù)處理方法，最典型的就是數(shù)據(jù)的歸一化處理，即將數(shù)據(jù)統(tǒng)一映射到[0,1]區(qū)間上，使得散射網(wǎng)點直徑數(shù)據(jù)可以顯示出在圖上的相對位置等[11]。

在原MATLAB程序中插入如下代碼:

FlattenedData=OriginalData(:)′;

MappedFlattened=mapminmax(FlattenedData,0,1);

MappedData=reshape(MappedFlattened, size(OriginalData));

以上代碼運用mapminmax函數(shù)對原來矩陣中的數(shù)據(jù)進行[0,1]歸一化，繼續(xù)輸入表1中的數(shù)據(jù)，仿真結(jié)果如圖6、圖7所示。經(jīng)過歸一化前后仿真圖形的效果對比，不難發(fā)現(xiàn)[0,1]歸一化后的結(jié)果更加合理，也更符合實際的制造要求。

圓點面積為散射網(wǎng)點面積

圓點面積為散射網(wǎng)點面積

為提高結(jié)論的普遍性，對任意合理參數(shù)下的50 mm×60 mm范圍內(nèi)網(wǎng)點直徑做出實際的數(shù)值分析圖(圖8)。結(jié)果表明單個點光源下接收點照度隨照射距離的增加而減小，二者成反比關(guān)系。其變化情況仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同坐標點處散射網(wǎng)點直徑的變化

設(shè)置散射網(wǎng)點為33×21的矩陣，利用拓撲優(yōu)化方法和MATLAB軟件編程仿真得到的散射網(wǎng)點效果如圖9所示。

圓點面積為散射網(wǎng)點面積

一般對于導(dǎo)光板散射網(wǎng)點的仿真，運用傳統(tǒng)的光學模擬軟件，如光學建模軟件ASAP和光學仿真軟件Light Tools、Trace-Pro等，以幾何光學為基礎(chǔ)，可以模擬不同類型的導(dǎo)光板散射網(wǎng)點設(shè)計。以Trace-Pro為例，可以根據(jù)網(wǎng)點的類型設(shè)置不同的參數(shù)，通過對參數(shù)的變換優(yōu)化仿真模型,如圖10所示。相比之下，與拓撲優(yōu)化方法結(jié)合后的導(dǎo)光板散射網(wǎng)點設(shè)計方法也能夠?qū)崿F(xiàn)類似的散射網(wǎng)點設(shè)計，且仿真出的效果圖更為清晰，網(wǎng)點的邊緣更加光滑，網(wǎng)點分布更加規(guī)律。運用歸一化方法，能夠避免因初始參數(shù)設(shè)置不當而產(chǎn)生網(wǎng)點干涉重合問題，更易于后期的工藝制造[12]。而在傳統(tǒng)的光學仿真軟件中，會常常因為參數(shù)設(shè)置不當而提示出錯，或者得到與預(yù)期結(jié)果相差較大、與實際制造工藝嚴重不符的仿真效果圖，這增加了設(shè)計時間，降低了效率，而結(jié)合拓撲優(yōu)化方法后的導(dǎo)光板散射網(wǎng)點設(shè)計能夠有效避免此類問題的發(fā)生。

圖10 Trace Pro光學軟件仿真得到的效果

6 結(jié)論

結(jié)合傳統(tǒng)幾何光學理論與成熟的拓撲優(yōu)化技術(shù)，研究光學點坐標與空間某點照度和亮度的關(guān)系，通過建模-求解-優(yōu)化過程，得到了一種針對導(dǎo)光板散射網(wǎng)點的光照度-網(wǎng)點直徑的數(shù)學模型。利用MATLAB對模型進行編程和仿真，最終實現(xiàn)了導(dǎo)光板散射網(wǎng)點出光的最均勻化。與傳統(tǒng)的設(shè)計思路相比，該方法實現(xiàn)了基于程序語言設(shè)計的仿真，最終結(jié)果在精度和均勻度上均優(yōu)于傳統(tǒng)光學軟件仿真結(jié)果。

研究創(chuàng)新點在于：基于拓撲優(yōu)化理論的建模求解思路拓展了導(dǎo)光板散射網(wǎng)點的設(shè)計方法，將拓撲優(yōu)化技術(shù)開創(chuàng)性地運用到光學研究中，實現(xiàn)了不同學科之間的交流，對于相關(guān)領(lǐng)域的研究具有指導(dǎo)意義。

研究仍有需要改進之處，如進一步增加光源點個數(shù)以及光學衍射、散射等特性，能夠得到更加普遍的結(jié)論。且通過建立基于人眼舒適度的飛機飛行姿態(tài)參數(shù)與光源點亮度的數(shù)學模型，能夠優(yōu)化飛機在平飛、滾轉(zhuǎn)等不同姿態(tài)下的散射網(wǎng)點設(shè)計，實現(xiàn)了拓撲優(yōu)化技術(shù)在飛機飛行狀態(tài)下的航空照明領(lǐng)域的應(yīng)用，提高了機艙照明的均勻性，保障了飛行安全和效率，前景廣闊。