北斗MEO/IGSO衛星信號成像的多星點擴散函數分析及應用

余瑞浩, 嚴頌華,2*

(1.武漢大學電子信息學院，武漢 430072；2.武漢大學宇航科學與技術研究院，武漢 430072)

利用導航衛星作為信號源進行雙基地合成孔徑成像是近年來遙感領域研究的熱點[1-5]。這種技術具有以下優點：①衛星信號作為發射源，只需要在地面放置接收機即可，節約設備成本；②衛星提供全天候的服務，可以對成像區域進行長時間的檢測；③衛星分布廣泛，可以對不同衛星的成像圖進行圖像融合來獲得更高的分辨率。

利用導航衛星成像面臨的重要問題之一是成像分辨率，這是因為導航衛星畢竟不是專門為雷達成像而設計的，其距離向和方位向分辨率受限于衛星信號的帶寬、積分時間以及成像拓撲結構等因素。對于成像分辨率，中外研究者做了積極地探索。Zeng等[6]推導了雙基地點擴散函數的公式，并給出了合成孔徑雷達成像的空間分辨率計算公式； Vu等[7]推導了側視雙基地合成孔徑雷達的地面分辨率和交叉距離分辨率的方程。

點擴散函數(point spread function，PSF)是衡量成像分辨率的重要指標，目前針對北斗MEO/IGSO導航衛星信號成像的點擴散函數分析的研究鮮見報道，更缺乏對多星點擴散函數(multi-satellite point spread function，MPSF)的分析。而實際上，對雙基地點擴散函數和多星點擴散函數的詳細分析，可以得到使用導航衛星成像的距離向分辨率、方位向分辨率和分辨率單元面積等重要的分辨率參數，對于成像的軌道規劃、多星的成像融合和成像中偽像的識別都有意義。同時，多星點擴散可以應用于成像結果中偽像的分離，對于改善成像質量，促進基于北斗信號的遙感應用具有重要意義，而目前中國在這一方向上的研究還不成熟。

首先介紹了全球導航衛星系統(global navigation satellite system,GNSS)成像的雙基地點擴散函數給出其具體的計算流程，通過對多個單星雙基地點擴散函數進行非相干累加推導出多星點擴散函數，并通過現場實驗來驗證單星點擴散函數和多星點擴散函數實現的正確性，然后將多星點擴散函數應用于目標分離算法，最后給出結論和展望。

1 點擴散函數

GNSS雙基地合成孔徑雷達成像最重要的指標就是空間分辨率，包括距離向分辨率和方位向分辨率。點擴散函數可以用來表述衛星成像結果的空間分辨率。

1.1 GNSS雙基地點擴散函數的概念

圖1所示為北斗MEO/IGSO導航衛星信號成像的拓撲圖。

圖示xoy平面上被劃分為網格的矩形為目標成像區域，信號由北斗衛星發射，經由目標反射后使用地面靜止接收機接收其反射信號，合成孔徑由一段時間內的衛星運動所形成。實驗中使用雙通道接收機，如圖1所示，直達天線指向天空，用以采集直達信號數據；反射天線采用定制的左旋天線，指向實驗成像區域，用于接收較弱的反射GNSS信號。

在GNSS成像中，點擴散函數主要表現在兩個方向，即距離維函數和方向維函數，分別用p(·)和m(·)表示，前者是測距信號距離向壓縮后的結果，近似為三角函數，而后者是接收信號幅度響應歸一化后的傅里葉逆變換，即方位向壓縮的結果，當成像積分時間足夠長時可以近似等于sinc (·)函數。點擴散函數可以用式(1)來表示[6]：

(1)

式(1)中：TB為成像區域內目標點TA附近的任意一點；β為雙基地角；ωE為等效移動角速度；c為光速；λ為導航信號波長。

1.2 雙基地點擴散函數的仿真

為了和后文成像驗證的一致性，仿真采用的衛星位置、速度、接收機位置和成像區域與成像實驗一致。使用北斗7號星(記為C07)作為信號源，北斗7號星屬于MEO/IGSO衛星，時間選取的是2018年4月17日9：05開始的數據。則雙基地點擴散函數的仿真步驟如下：

1.2.1 位置擬合獲取

采用NASA發布的sp3精密星歷(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov/pub/gps/products/ mgex/)來計算不同時刻衛星位置和速度。由于精密星歷每5 min更新一次數據，因此采用曲線擬合和內插的方法來獲得每1 ms的數據。圖2(a)所示為C07的x坐標擬合的結果，藍色的點即288個實際坐標，紅色曲線即為擬合曲線。類似的，圖2(b)、圖2(c)分別為衛星y坐標和z坐標的擬合結果。這樣可以得到在這段時間不同時刻的衛星坐標及相應的速度矢量。

圖2 擬合后衛星坐標圖

1.2.2 坐標轉換

由于美國國家航空航天局(NASA)發布的星歷坐標框架是地固坐標系(ECEF)，該坐標系是以地球球心為參考原點，而實驗成像實驗的原點坐標設置于武漢大學信息學部星湖園教職工宿舍樓頂(30°31′59.72″N，114°21′11.35″E，高49 m)，即站心坐標系(ENU)，因此需進行從ECEF坐標系到ENU坐標系的轉換。

1.2.3 點擴散函數計算

設成像區域為成像原點前方500 m×500 m(東西向-249～250 m，南北向1～500 m)，假設目標位于坐標(0,250,0)處，積分時間為300 s。根據式(1)可仿真得到目標點的點擴散函數投影到地平面的圖像，如圖3所示。

圖3 C07仿真的雙基地PSF圖

由圖3可知，點擴散函數投影至xoy平面后類似于一個橢圓，稱為分辨率橢圓。其各個分辨率如下(分辨率推導過程見文獻[8-9])：沿分辨率橢圓長軸方向的-3 dB帶寬對應的長軸分辨率δmax約為41.86 m；沿分辨率橢圓短軸方向的-3 dB帶寬對應的短軸分辨率δmin約為8.74 m，距離向分辨率δr約為19.27 m，方位向分辨率δa為11.47 m，投影到地面的距離分辨率δrg約為25.49 m，投影到地面的方位向分辨率δag約為11.51 m，分辨率橢圓的面積Sground為350.76 m2。

1.3 多星點擴散函數

北斗導航衛星系統含有多顆IGSO/MEO衛星。可以通過對多個雙基地點擴散函數進行非相干疊加，推導出多星點擴散函數的公式。

按照1.2節的步驟，選擇C08和C12作為信號源，根據式(1)計算得到仿真PSF圖(圖4)。

圖4 雙基地PSF仿真圖

由圖4可知，在使用固定的接收機的情況下，衛星位置和速度不同會形成不同的分辨率橢圓。其原因在于：不同的雙基地拓撲結構會有不同的雙基地角，從而有不同的p(·)函數；衛星位置、運行速度和軌跡上不一致，會產生不同的m(·)函數。

同時可知，這兩個衛星的分辨率橢圓在方向上也不同，若記分辨率橢圓長軸方向與x軸正半軸的夾角為ε，對于C08的仿真結果，ε為15.1°，而對于C12，ε為154.4°。若選擇在方向上有一定區別的分辨率橢圓，通過對其相應的雙基地點擴散函數進行非相干累加，可以達到改善距離向分辨率和分辨率單元面積的效果。基于上述理論，MPSF可計算如下：

(2)

式(2)中：N表示拓撲結構的個數，N≥2；xi(·)為第i顆衛星作為信號源的雙基地點擴散函數。

將1.3節得到的C08的雙基地點擴散函數和C12的雙基地點擴散函數進行非相干累加，可以得到多星點擴散函數投影到地平面的圖像(圖5)。

圖5 多星點擴散函數仿真圖

如圖5所示，多星點擴散函數的分辨率橢圓即為兩個雙基地點擴散函數分辨率橢圓交叉重疊的部分(圖5中圈出的紅色亮點處)。其長軸分辨率δmax、短軸分辨率δmin和分辨率單元面積Sground等參數也是針對交叉重疊的部分進行計算的。對比N=2的多星點擴散函數(C08+C12)和雙基地點擴散函數(C08和C12)在分辨率上的表現如表1所示。

表1 分辨率結果

由表1可知，經過非相干累加后的多星擴散函數相較于單星雙基地點擴散函數而言，具有以下特點：①在短軸分辨率保持較好；②具有更好的長軸分辨率，如C08+C12是C08的24.52%，是C12的58.80%；③分辨率單元面積大大減小，如C08+C12是C08的46.47%，是C12的31.61%。

結果表明，適當選擇衛星的位置和軌道，可以獲得分辨率較好的圖像，同時選擇合適的圖像進行非相干累加，成像結果在分辨率上有顯著的提高。

2 點擴散函數的驗證

為了驗證前述點擴散的正確性，使用后向投影(back-projection, BP)算法[10]對具體實驗場景進行導航衛星成像，并對成像場景中獨立的點目標進行點擴散函數仿真，對比實驗成像結果和仿真的點擴散函數在大小和方向上的一致性。

2.1 北斗MEO/IGSO成像

BP 算法是一種常用的基于時域處理的成像算法，使用北斗MEO/IGSO作為信號源成像的基本流程如圖6所示。

按照圖6的步驟，對采集到的中頻數據和下載的星歷進行相應處理，即可得到BP成像結果。

圖6 北斗MEO/IGSO成像流程

實驗成像區域的衛星圖像如圖7(a)所示，為接收裝置正前方500 m×500 m區域；接收天線裝置如圖7(b)所示。直達天線通過支架支撐，用以接收衛星的直達信號，反射天線固定于欄桿邊緣，指向正北方向，用于接收衛星照射地面的反射信號。

圖7 實驗場景

成像實驗時間為北京時間17:05，接收機一共采集了450 s的數據。將實驗數據進行BP成像得到C08成像圖和C12成像圖分別如圖8(a)、圖8(b)所示。將C08和C12成像圖進行非相干累加得到的多星成像圖如圖8(c)所示。

2.2 點擴散函數與成像結果比對

在圖7(a)成像場景中觀察到成像區域有一個比較明顯的獨立目標位于坐標(45,405,0)處，即圈出的區域為武漢大學振華樓。取C08成像圖、C12成像圖及C08和C12共同作用的多星成像圖(x軸方向為-249～250 m，y軸方向為250～500 m)和仿真的PSF/MPSF圖對比如圖8所示。由圖8可以得出以下結論。

(1)C08和C12在振華樓的實際成像結果與圖仿真得到的PSF圖在方向上有較好的一致性(前者方向角ε分別為15.2°和15.1°，后者方向角ε分別為153.5°和153.5°)。

(2)C08在振華樓的實際成像結果中分辨率單元面積大于仿真得到的PSF圖的分辨率單元面積，同時實際成像結果也包含了仿真的PSF圖區域，這是由于振華樓面積較大，相當于多個點目標的集合，其成像結果表現為多個PSF的累加。同理，C12從另一個方向入射，其實際成像結果呈現多個平行的橢圓，但單獨一個分辨率橢圓在面積上基本上與仿真的PSF圖基本一致。

圖8 實際成像結果與點擴散函數對比

(3)對比圖8(c)、圖8(f)可知，多星實際成像結果的分辨率單元在形狀和面積上與仿真MPSF圖基本一致。結果表明仿真的點擴散函數和實際成像結果基本一致，驗證了本文算法的正確性。

2.3 多星成像帶來的偽像問題

為了提高成像分辨率，就需要使用多星成像，但是也帶來了偽像問題。使用點擴散函數來闡述這一問題。

現對兩個相近目標點的點擴散函數進行仿真，仿真區域為 400 m×400 m。這兩個目標的位置分別為(185,185,0)和(200,200,0)，仿真結果如圖9(a)、圖9(b)所示，然后采用1.3節的方法將生成的兩組結果進行非相干累加得到如圖9(c)所示。

圖9 多目標雙基地點擴散函數和多星點擴散函數仿真圖

由圖9(c)可知，設定的正確目標點只有兩個，但是由于目標點相距較近，兩組PSF圖相互交叉重疊，產生了4個亮點，其中兩個為真實目標，其他兩個亮點的坐標分別為(146,182,0)和(224,188,0)，均為偽像。若目標更多時，臨近目標之間交叉重疊的部分更多，產生的虛假目標點也就越多。

3 基于多星點擴散函數的目標分離算法

由2.3節可知，使用多星成像在提高分辨率的同時也帶來了偽像問題。針對這一問題，可以將多星點擴散函數應用于多目標分離算法，從而改善多星成像中的偽像問題。

3.1 目標分離算法流程

目標分離算法的過程是對目標點進行幅度和位置的估計，然后依次進行目標剔除。使用的估計方法是最小二乘法估計[11]，待估計量包括N顆衛星的雙基地點擴散函數取模后的幅度A1,A2,…,AN，目標的橫坐標e和縱坐標n。對于第k個目標點的估計值可記為向量Ek=(A1k,A2k,…,ANk,ek,nk)。目標分離是一個逐步迭代的過程，具體步驟如下。

(1)輸入多星成像圖Icur，首先找到該圖中取模后幅度最大的點，其幅度記為Amax，其坐標位置記為(e0,n0)，則估計算法的初始值E0可以設為

(3)

(4)

式(4)中：xi(·)表示第i顆衛星作為信號源的雙基地點擴散函數。

(4)重復以上過程直到成像圖中所有目標都被提取出來，結束迭代過程。

根據目標分離的處理步驟，可得到目標分離算法的流程圖(圖10)。

圖10 目標分離算法流程圖

3.2 目標分離算法仿真

針對2.3節中所示多目標MPSF圖中存在偽像的情況，可以通過目標分離算法進行處理。經過第一輪迭代，估算出第一個目標位置在 (198.9,199.6,0)處，減去其多基地點擴散函數，即分離出第一個目標之后結果如圖11所示。

圖11 分離第一個目標后的結果

由圖11中可知，盡管估計出的第一個目標點的位置和實際位置之間存在誤差，但是誤差距離較小，同時當分離出一個目標的點擴散函數后，可以清晰地看到成像區域中只剩下一個目標，且其坐標為(185,185,0)，為真實目標。

仿真結果表明，基于多星點擴散函數的目標分離算法能夠以較高的精度提取雙基地情況下的散射中心，并且能夠較好地改善多星成像中存在的偽像問題。

4 結論

雖然通過闡述北斗MEO/IGSO雙基地點擴散函數和多星點擴散函數的計算過程，現場實驗驗證了算法流程的正確性；基于多星點擴散函數，引入目標分離的算法，改善了多星成像中存在偽像的問題，并實驗驗證了目標分離算法的可行性。但是該方法目前還處于仿真階段，存在幅度估計不準確等問題。今后工作將對目標分離的方法進行改善，使其適用于實際多星成像結果，進一步提高成像結果的精確度。