解析幾何教學內容的相對獨立性以及與其他課程的融合性初探

范曉冬 紀思南

摘? ?要：目前本科數學專業的解析幾何課程教學內容基本上沿用我國二十世紀七八十年代出版的教材內容。近年來，在教學實踐中，教學內容陳舊已經成為影響教學質量的嚴重問題。以往的教學內容，只注重解析幾何課程本身，而忽略了其與其他課程的融合性和貫通性。總結近幾年的解析幾何教學經驗，文章對教學內容做了適當的調整，刪減了與其他課程的重復內容，增加了與其他課程融合的知識點，并在教學方法和教學手段方面做了相應的改革，取得了良好的教學效果。

關鍵詞：解析幾何;教學內容;獨立性;融合性

解析幾何、數學分析與高等代數一起構成大學數學專業的基礎核心課程。該課程的思想方法在研究數學及其他自然科學時具有方法論的作用。學習解析幾何是學生學習數學分析、高等幾何、微分幾何及拓撲學等課程的基礎，也是對中學幾何知識的深入與提升，其重要性不言而喻。然而，解析幾何課程教學內容較為陳舊，多數教材只是知識點的羅列，只注重課程內部的獨立性，而忽略了知識點的歷史背景以及與其他課程的融合性，與前瞻和后續課程在內容上銜接不夠緊密。且其對高等幾何和微分幾何課程的支撐作用發揮得不夠順暢。因此，在教學上不可避免地只集中具體的知識點講解，并未兼顧與其他課程在思想和方法上的聯系，不利于學生對知識的融會貫通。基于此，教學方法僅限于機械地“填鴨”，致使學生感覺學習比較枯燥，從而喪失學習興趣，導致教學效果下降。此外，目前多數高校在研究生初試考試中僅考察數學分析和高等代數兩門課程，而解析幾何在復試中進行，這也在一定程度上反映了上述問題的嚴重性。因此，研究團隊主張在教學內容上加入知識點的人文背景，講授定義、定理的來龍去脈。同時去除一些主要定理的推論和變形，以精煉教學內容。其主要的指導思想是不追求知識的寬度，而是加強重要知識點精講。

1? ? 教學內容的融合性

1.1? 知識點的融合性

高等代數的方法為學習解析幾何提供了強有力的工具，因此，確定解析幾何的獨立性，需要從幾何體系的整體性、連續性以及從服務于基礎教學的實際出發，將高等代數與解析幾何同時進行探究處理。通過用近現代的數學思想及數學語言，而不是以傳統的幾何學來審視現代的幾何學，從而為處理幾何內容提供有力的工具。在探究解析幾何時，需側重解析幾何與經典幾何、線性代數的有機結合和相互滲透[1]。通過對傳統內容的精煉、融合和體會，增強同線性代數實質內容和形式的密切聯系。因此，在講授解析幾何時，在應用代數工具的同時，要注重幾何為代數提供的直觀詮釋。

1.2? 教學內容與教學方法的融合性

在學習中需要不斷更新知識，既要掌握現有知識，又要掌握其發展規律，在此形勢下，體現出了教學改革的緊迫性。以改革教學的內容和方法為起始點，進而逐步進行全面的教學改革。改革最為重要的部分是教學內容，因為其是教學活動的基礎，教學活動的目的就是將教學內容傳授給學生。如何將知識點精煉，使講解深入淺出是教學方法改革核心。力爭做到教學內容與教學方法互相滲透、相得益彰，解析幾何課程改革是一項系統的任務。

1.3? 基本思想和方法的融合性

解析幾何的基本思想決定了其基本研究方法。在教學中，應注重基本思想和方法的相互促進作用。例如，由解析幾何直觀問題到代數化，從而轉到代數形式，通過代數計算，得到代數結果，再由代數方程到解析幾何直觀圖形的研究方法等[2]。若要合理地統籌解析幾何各章節的內容，就要領會這些思想和方法，抓住改革的關鍵。

2? ? 在幾何學科背景下推進教學內容改革

2.1? 結合后續幾何課程確定教學內容

在教學實踐中，不再像以前那樣獨立地看待解析幾何這門課程。解析幾何歷來強調兩個功能：作為初等數學到高等數學過渡的橋梁及代數與幾何綜合性的橋梁學科。基于此，雖各有差異，但本質不變。首先，從中學階段的幾何教學內容出發，保證解析幾何課程的內容和中學幾何教學內容的連貫性。其次，從高等數學教育出發，教學內容應能夠培養高校學生系統的空間幾何概念、提高學生的空間想象能力、促進學生掌握系統的幾何理論，以此才能夠提高學生的幾何修養。研究團隊認真研究了解析幾何、高等幾何、微分幾何等幾何課程的教學內容，將其整合、呼應和優化，從而比較系統地界定了解析幾何課程的內容[3]。同時增加幾何概論課程相關內容，促進學生對現代幾何學概貌性了解。教學內容的指定務必注重學生實際情況的分析，從實際情況出發，制定貼合實際的教學內容，保證教學內容引起學生興趣。例如，討論歐氏幾何與仿射幾何、射影幾何的區別、聯系和傳承等內容。

2.2? 對研究方法相同的內容優化整合

教學的目的在于傳授解決問題的方法。對研究方法相同的教學內容進行大幅度的刪減，選取具有代表性的且能體現基本方法的經典知識點予以保留，并增加該知識點的人文背景，以加深學生對其的理解，例如，在二次曲面的教學中，對柱面、錐面、旋轉曲面等知識點進行內容精煉。旋轉曲面與柱面錐面產生曲面的方法相同，從而研究方法也近似。教學內容整合，有利于集中教學精力重點傳授思想和方法，提高教學效率[4]。

2.3? 系統精煉知識點

教師在備課過程中不能拘泥于教材，更不能全部照搬教材的說法，因為有些平面解析幾何的內容可以挖掘更深，部分解法還可以更簡易。例如二次曲線理論中的中心、切線、漸近線等知識都在處理以上說法。不僅要刪減重復的內容，而且要合理設計，盡量采用高等幾何的觀點。實際教學中著重研究了內容的整合，淡化了復雜的討論過程，尋求更簡潔的思路來處理教材。

2.4? 關聯矢量知識點

解析幾何的精髓是用代數方法把幾何問題定量化，也就是從形到數的一個統一，這其中要使用的重要工具就是矢量，因此矢量代數的引入和坐標的建立必不可少，所以在處理教材時應把矢量和坐標作為全書的工具和基礎，要求精講、細講和重點講[5]。

3? ? 貫徹系統性思想進行教學方法改革

3.1? 啟發思維教學法

啟發式教學法是在授課時給學生一定的想象空間，讓其帶著問題思考，挑戰其思維底線。這種方法在分析和解決問題的同時，能夠提升學生的創造力。教學內容上可以選取研究方法相同或數學思想相同的內容，先全面細致地講解主要知識點，然后采用啟發法，將剩余內容交給學生在適當時間探討，讓學生自主完成知識建構[6]。

3.2? 自我創新教學法

引導學生采用創新式方法去學習各種知識，以學生為主體，鼓勵其主動探究知識，形成自我認知體系，并能夠在深入理解的基礎上形成自己的認識和創新結構。在教學過程中，教師要注重基本方法和數學思想內涵的滲透，引導學生自我創新學習[7]。

3.3? 圍繞問題趣味性教學法

教學過程中緊緊圍繞學生興趣點展開，提出諸多有探索性、動手操作性強、能夠激發學習熱情的幾何問題，使學生通過自我認知來感受數學的美。在課堂實踐中，鼓勵學生多做、多想，將理論與圖形擬合在一起，培養其發現問題和解決問題的獨立自主能力[8]。在自主探究問題時，教師適當插入相關的數學典故和歷史，并恰當講授相關知識點的應用，讓學生了解所授知識的“來龍去脈”，緩解學生壓力，開闊其眼界，激發學生的求知欲、探索精神和學習幾何的興趣，使學生自主地提出問題、探究問題并解決問題，以使學生對知識的認識不斷升華。

3.4? 探究與理解相結合教學法

對于教師的授課內容，學生習慣于理解和接受的學習方式，即在新知識與已有的認知結構之間建立起一種非人為的、實質性的聯系。而探究式是從數學問題或數學課題出發，激發學生主動去思考問題的解決方案，不一定要求結果正確，主要目的是要突出學習過程[9]。布魯納說過，知識學習強調的是過程而非結果。故此，探究式學習法必須以基礎知識和基本技能的掌握為前提，將接受式學習和探究式學習結合，二者應該優勢互補，不可偏廢。開展研究性教學，為學生創造探究的環境，培養和增強創新意識、提高整理信息和處理信息的能力，探索數學現象的內在規律等。

4? ? 滲透數學史與數學實驗的教學手段改革

數學史對數學教學有著積極的作用，將數學史融入教學過程是本研究團隊近年來研究的一個重要課題。數學史融入大學數學教育已有許多研究，但融入解析幾何的案例并不多，如何將之融入教學過程、如何具體實施，仍有很大的探討空間。教研組在授課中嘗試將數學家的名人趣事和數學貢獻匹配交代給學生。比如講畢達哥拉斯時與勾股定理進行聯系、講笛卡爾時密切關聯解析幾何的誕生、海倫對三角形面積公式的完善、伯努利兄弟如何提出最速下降線的故事等。充分應用Maple，Matlab等數學與計算軟件建立幾何直觀圖形。圖形教學在數學教學中是必不可少的，尤其在空間解析幾何的教學中，建立空間概念，研究各種空間曲面，建立各種方程都缺少不了圖形。為了引導學生自己編寫簡單的程序，來實現解析幾何問題的自動運算，在相關教學內容后，安排數學實驗內容，以Maple軟件為基礎平臺，來完成幾何圖形的制作和演示[10]。自己繪制出幾何圖形，會激發學生的求知欲，既鍛煉了學生的實踐能力，又在一定程度上提高了教學效果。相比傳統的只用筆和紙來學習數學的單調模式，動手實踐學習數學的模式更生動有趣。

5? ? 改革成效

充分考慮解析幾何教學內容的相對獨立性以及與其他課程的連貫性、融合性，是研究團隊在總結歷年教學經驗的基礎上得到的一致共識。近年來，解析幾何教學內容陳舊已經成為一個突出的問題。課程內容改革以后，注重與其他課程的銜接與融合，剔除重復內容，加強特色內容的講解，突出了解析幾何課程的重點，又避免了多門課程重復同一個概念，在實質上提高了教學效率。同時，在教學內容上增加了與其他課程銜接的內容，便于學生融會貫通，加深對知識點的理解。另外，對學生滲透數學史知識可以提高學生的數學素養和學習興趣，也促進了學生對知識點的掌握。在課堂教學中引入數學實驗，增加教學內容直觀性的同時還可以調動學生的積極性和主動性。課堂上互動的增加可以提升作業完成的質量。數學軟件的操作可以培養學生的創新意識、動手能力和團隊合作精神。這些體現在課堂氣氛要比改革前活躍，同時考試成績平均分也提高了5個百分點。

[參考文獻]

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[2]呂林根.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，1987.

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[4]胡豐華，周小燕.提高空間解析幾何教學質量的探索[J].浙江科技學院學報，2007（1）：60-63.

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[6]張奠宙.數學教育學導論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]朱德祥.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1987.

[8]張會明，何東林.淺談現代教育技術在《空間解析幾何》教學中的應用[J].甘肅科技縱橫，2010（1）：187-188.

[9]十三院校.中學數學教材教法總論[M].北京：人民教育出版社，1980.

[10]居余馬.線性代數[M].北京：清華大學出版社，1998.