數學現象教學視野下的起始課

【摘要】現象教學強調“回到問題本身”，它的起始課主張從真實的現象出發，通過觀察和思考，形成學生自己的表達（知識）。對于概念和結構，應當著眼于自然生成?，F象教學不排斥講授法，但只能講授學生無法生成的內容；現象教學也不排斥情境教學，真實的情境就是現象。

【關鍵詞】起始課；現象教學；弧度制

【中圖分類號】G633.6【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2020）11-0043-05

【作者簡介】孫四周，江蘇省蘇州市吳江盛澤中學（江蘇蘇州，215228）教師，正高級教師，江蘇省特級教師。

起始課除了引入課題、介紹核心概念以外，往往會呈現對課題的整體看法以及研究的方法和路徑，給后面的課程定下基調。因此起始課素為教材編寫者所看重，也往往是教師著力最深的地方。

課題怎么引入？核心概念從哪里來？這就牽涉知識觀、學生觀和教學觀了?，F象教學主張直面真實的世界，通過對現象的觀察、思考而形成心理表征和符號表征，即形成屬于自己的語言表達，這就從根本上杜絕了簡單灌輸。下面就以“弧度制”教學為例，談一談現象教學視角下的起始課教學。

一、問題本身

“回到問題本身”是現象教學的主張，研究什么就直接面對它。當然這要求教師對課程有個明確的定位，即“它究竟是什么”。

用現象教學的觀點看，這節課的“問題本身”不是弧度制，而是“角的度量”，弧度制只是“度量”方式之一。要讓學生面對一個幾何實體———角，而不是面對一個知識點———弧度制。如此一來，學生要做的事情就很多了，比如：明顯可感覺到角是有大小，但什么是“角的大小”，怎樣進行角的度量、有哪些可能的度量方式、為什么要引進弧度制，以及什么是弧度制、它從哪里來又到哪里去……說穿了，“角”是一種現象，“角的度量”是人類活動，“弧度制”是人類活動的成果：用“1弧度”作為單位來度量，比較簡單，更容易被應用，因此就更為重要，也就被當作了一個重要范式，并被上升為科學或文化，如是而已。

筆者的教學設計如下。

師：請同學們拿出紙和筆，一起畫三角形。

師：先隨便畫一個三角形。接著，畫一個小一點的三角形、再畫一個更小的、更小的、小到看不見……

回到第一個三角形，現在來畫一個大一點的、再畫一個更大的、更大的、大到超出紙面，甚至可以超出這個宇宙……

這些三角形小到看不見，大到超出宇宙，它們的內角和———

生：都等于180毅。

師：大大小小的三角形，內角和都一樣，為什么？

生：因為角的大小與邊的長短無關，角的邊是射線。

師：所以，我們度量角并不是度量角兩邊的長度。那是度量什么的？

生1：度量角對邊的長度。

師：那么是不是對邊越長，角就越大？

生2：不是。度量角所對的弧的長度。

師：是不是所對的弧越長，角就越大？

生3：還不是。是度量角所對弧的度數。

師：什么叫弧的度數？

生3：就是看那段弧含有多少度。

師：那么，1毅的弧是怎么定義的？

生：就是一個圓周的360分之一。

師：很好。我們回到了角度制的定義，就把問題看清楚了。“1毅角”是指圓周360分之一的弧所對的圓心角。那么，這里定義的1毅角與圓的半徑長短有關系嗎？

生：沒有，都是把圓周360等分，每個圓的每一個份所對的圓心角都相等，都是1毅角。

師：那么，給你一個圓，你會把它360等分嗎？

生：不會。

師：如此說來，要得到1毅的角并不容易。

生：用量角器。

師：量角器也是人造出來的，又該怎樣制作量角器上的刻度線呢？實際上，人類需要測量的東西很多，最容易測量的是什么呢？

生：是長度。

師：那面積呢？體積呢？

生：面積、體積等都不是直接測量的，是通過長度計算出來的。

師：是的。就算是溫度、重量、電流強度等，這些與長度無關的量，也都轉化為對長度的測量，比如溫度計、桿秤、電流表等。就是對時間的測量，也是轉化為長度的。這些都不奇怪，人的眼睛能夠看到的就是長度。那么，角的測量是不是也這樣呢？

師：現在，你自己可以畫一個圓周……但是你手里并沒有它的360分之一，你有什么呢？

生：有半徑。

師：如果我們用半徑長來量出一段圓弧，再畫出這段圓弧所對的圓心角，是不是可以確定出一個角來？

生（疑惑）：什么叫“確定出一個角”？

師：在不同半徑的圓中，長度等于半徑長的弧所對的圓心角是否相等呢？

我們來畫幾個看看（圖1）。

操作：拿出幾段長度不同的漆包線（軟硬適度，便于彎折的那種，顏色要鮮艷一點）。用這些長度做半徑畫同心圓，再把漆包線彎成弧形，截取一段弧，畫出所對的圓心角。

由此可以看到，在不同的圓里，弧長等于半徑長的弧所對的圓心角大小相等。這個角很特別，我們就稱它是1弧度的角，記為1rad。教師寫出完整定義（此處略）。

師：定義1rad的角，是想干什么？

生：可以用這個角去度量其他角。

師：你能畫出2rad的角嗎？

生：兩個半徑長的弧所對的圓心角，用半徑長的漆包線截取兩次即可。

師：3rad的角呢？

生：截3次。

上述的教學過程，不是告訴學生什么樣的角是1rad，而是從“怎樣度量角”開始，把這個當作問題的起源，也是活動的出發點。很自然地發現可以用“手里已有”的半徑作單位，于是引進了一種度量形式?；蛟S有人會說，如果用半徑當弦，不是也可以定義一個圓心角（這個角是60毅）嗎？問題是，如果用“等于半徑的弦所對的圓心角當作1個單位”，長度等于2個徑的弦所對的圓心角就不是2單位，這不符合我們的幾何直觀。當然，如果學生沒有提出這樣的問題，教師不必要主動涉及（為了保持生成的流暢性）。類似的，大圓和小圓中，長度等于半徑的弧所對的圓心角相等，這一點也不用刻意去證明。

二、聯系與結構

任何一個獨立的概念都是沒有價值的，也是不容易記住的。在新的概念形成后，就要和原先的認知體系建立聯系，向著結構化方向發展。

師：我們來畫一個稍微大一點的角，6弧度的。

說明：上面已經畫過2弧度、3弧度的角，可是在畫6弧度的角時學生猶豫了起來。原因是：“6弧度的角”有沒有超過1周角？這不是能用眼睛看出來的，必須經過精細的計算。

但是，新的疑惑又出現了，那就是“到底算多少弧度？”

師：2仔到底算多少？可以彼此討論一下。

這里要注意的是，學生眼里的數學和教師是不一樣的，特別是初學者。上面的活動是學生自己發現2仔抑6.28，雖然所花時間比較多，但這是體驗的過程，有其價值。能夠生成的知識就不能不經討論或思考而直接告訴學生，這是現象教學的“生成性原則”。

師：仔是個實數值，大約是3.14。如此2仔= 6.28>6，于是知道1周角大于6弧度。

師：再請問直角是多少弧度？

師：用什么辦法來度量它？

生：應該用弧長量出一半徑，可是又沒有弧長沒有半徑。

師：確實，給你一個直角，它沒有自帶圓周。有辦法嗎？

生：作一個圓周。

上面做了兩個方面的事情，一是給定弧度數，畫角；二是給定角，“度量”出它的弧度數。延續了“角的度量”的初衷，并把數學定義落實到具體情境中。在“求直角的弧度數”的時候學生還需要人為添加一個圓，這是對概念的應用，也加深了他們對弧度制的理解。

在這個過程中出現了“360毅=2仔弧度”，自然導出弧度制和角度制的換算。在應用中理解，在應用中感悟出新的知識，是很好的策略。

三、背景與展望

一般來講，起始課會介紹知識的產生背景、邏輯演進并對應用前景作出展望，這其實是哲學基本問題“我是誰、我從哪里來、我到哪里去”的具體化?，F象教學的起始課同樣要關注這三個問題。介紹歷史事實，容易找到知識的固著點；理解邏輯順序，容易建立知識結構；展望應用前景，可以提高學習興趣、增強學習動機。

筆者在這一部分的教學設計如下：

師：角的弧度數上限可以到多少？下限可以到多少？中間可以取哪些值？

生：正的可到無窮大，負的可到無窮大，中間可以取任意實數。

接下來是歷史介紹，從度分秒制、弧度制、密位制，談角的度量演化史，讓學生了解人類的探索歷程，在具體教學時可詳可略。

在談背景與展望時，應當注意以下幾點：

（1）注重人類思想進步的脈絡，略去瑣碎的細節，對細節的過分關注不利于對事物的整體理解。

（2）描述前景時應向學生介紹能聽懂的，或者稍加解釋就能聽懂的部分，完全聽不懂的則不介紹。比如在本節課上，就不適合介紹炮兵是怎樣用“密位”瞄準目標的，盡管它很有趣。

（3）起始課上要不要介紹整個課程（一整章或一整節）的概念圖？筆者認為沒有必要，除非學生能懂。當然，概念圖在總結課上是很有價值的。

四、結語

鑒于起始課為后續教學“定了調”，故尤其要“以學定教”。

教師對知識的了解肯定遠遠多于教材所給予的，因此要注意別把課堂變成知識的展示?；《戎七@節課，筆者反復讓學生畫圖，就是要讓他們充分活動，以獲得切身體驗，體驗過的才能被感悟?，F象教學不排斥講授法，但只能講授學生無法生成的內容，比如學術名詞、人為約定、專用符號等；現象教學也不排斥情境教學法，真實的情境就是現象。因此，現象教學可以吸收以前諸多教學法的優點，使得學生在真實的現象面前進行真實的思考、獲得屬于自己的實在的知識。

給予學生知識，他們能學會，路徑是了解、理解、掌握、應用、綜合、評價；給予學生現象，他們能用數學的眼光觀察它、用數學的思維思考它、用數學的語言表達它。雖然最后都能得到知識，但后者才更直接指向核心素養。如果進行層次上的區分，則現象是形而下的，知識是形而上的。所以，現象教學與知識教學的區別，主要是觀念上的而不是技術上的?，F象教學著眼于人的發展，而不是讓人去繼承或記憶（知識）。

【參考文獻】

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