結合分布度量統計建模的主動輪廓圖像分割

魯圓圓，馮 浩，李 靖

1.武漢學院 信息工程學院，武漢430212

2.華中師范大學 國家數字化學習工程技術研究中心，武漢430079

1 引言

圖像分割是數字圖像處理技術的重要組成部分，現已廣泛應用于圖像分析、計算機視覺及醫學圖像處理等相關領域[1-3]。圖像分割技術為后續的相關圖像處理算法奠定了基礎，但是由于不同圖像中復雜的背景及不同程度的噪聲影響，使得圖像分割技術面臨著極大的挑戰。近年來，基于形態學、閾值分割[4]等相關圖像分割算法在學術和工程應用領域得到了廣泛應用，但是當圖像中背景較為復雜時，該類算法往往不能夠較準確地進行圖像分割，易造成誤分割。基于偏微分方程的圖像分割方法[5]利用曲線演化理論，通過迭代使得輪廓曲線向目標邊緣演化，算法魯棒性更強，在圖像分割研究領域占據重要的地位。

主動輪廓模型[6-7]是一種經典的基于偏微分方程的圖像分割方法。按照模型能量泛函的構造方式的不同，主動輪廓模型可以分為：基于邊緣的主動輪廓模型（snake 模型[8]、測地線模型[9]等）、基于區域的主動輪廓（CV（Chan Vese）模型[10]、RSF（Region Scalable Fitting）模型[11]等）及混合主動輪廓模型（LGIF（Local and Global Intensity Fitting）模型[12]等其他混合模型）。目前，應用最為廣泛的是基于區域的主動輪廓模型。CV 模型[7]是一種典型的基于區域主動輪廓模型，該模型利用輪廓內外圖像的區域信息引導曲線的演化，能夠很好地處理弱邊緣圖像。但是模型抗噪性差，且對非勻質圖像處理效果差。

為了克服以上缺陷，研究人員提出了一系列改進模型。LBF（Local Binary Fitting）模型[13]將高斯核函數融入模型的擬合能量中去，增強了輪廓內外能量刻畫的準確性。該模型在非勻質圖像分割上得到了較為理想的分割結果。但是核函數與卷積運算的加入使得計算復雜度大大增加，模型分割效率較低。文獻[14]提出一種加權全局圖像擬合能量，繼而最小化原始圖像與全局擬合圖像的差異性獲得最終能量泛函，并以此提高了模型的分割效果。文獻[15]提出一種在線更新區域主動輪廓模型，利用用戶自定義的水平集替代原有的水平集函數，該水平集函數在曲線演化過程中不斷更新，以適應不同圖像對曲線擬合能量的需求。文獻[16]提出一種新穎的局部圖像擬合能量，它由空間變化的均值和局部的方差定義前景和背景區域，可以準確地描述局部強度特性。該模型在非勻質圖像分割上獲得了理想分割結果，具有一定的抗噪性。雖然以上模型在模型圖像分割準確性或者分割效率上均有提升，但是這些模型僅僅考慮單一的圖像灰度分布信息，并以此定義新的能量泛函，忽略了圖像全局統計建模信息對曲線演化的影響。另外，上述模型利用均值描述模型擬合中心，不能夠精確地描述曲線內外像素點的統計特征，易造成誤分割。

為克服上述文獻所提改進模型存在的缺陷，進一步提高圖像分割效果，本文提出一種結合分布度量統計建模的主動輪廓圖像分割算法。所提算法能量驅動力兼顧了圖像的全局統計建模信息和其他混合灰度分布信息，使得分割曲線能夠更加精確地演化至目標邊緣。首先，分布度量能量驅動力定義為輪廓內外概率密度函數定義的比率距離的方差，該能量驅動力基于圖像全局信息統計建模，能夠更加精確地描述輪廓曲線內外的能量變化。其次，混合灰度分布能量驅動力由圖像灰度值與融合均值與中值的區域擬合中心的L2范數表示。最后，將分布度量能量驅動力與混合灰度分布能量驅動力組合形成新的能量泛函，利用水平集方法和梯度下降法迭代求得該能量泛函的最小值，以獲得最終的圖像分割結果。與傳統CV模型等四種算法的圖像分割實驗結果相比，本文模型在圖像分割效果和運行時間等方面均具有較大優勢。

2 CV模型

式中，c1和c2為擬合中心，分別由曲線內外像素點的灰度均值計算得到，I 代表原始圖像，(x,y)表示圖像像素的空間坐標，μ,v ≥0 為可調參數，分別表示曲線長度權值和曲線包含區域的面積權值。L(C)為曲線的長度，A(i(C))表示演化曲線內圖像區域的面積；λ1，λ2≥0 為可調參數；Ωi和Ωo分別表示曲線內部與外部的圖像區域。在這里，引入符號距離函數（Signed Distance Func-

根據變分原理和梯度下降流[20]即可獲得該能量泛函的最優解。在水平集函數φ(x,y)固定的情況下，最小化c1和c2，即得：

另外，在c1和c2固定的情況下，最小化公式（2）可得：

最后，通過迭代運算求解公式（2）和（3），并以此獲得該能量泛函的最優解，繼而可以得到最優輪廓，即可得到最終的圖像分割結果。

本文所提模型的分布度量能量驅動力利用輪廓曲線內外概率密度分布比率距離的方差描述輪廓內外能量，其能量泛函的大框架是建立在方差的基礎之上的；另外，利用概率分布函數替代經典CV模型中利用圖像像素點灰度值定義曲線內外能量變化，顯然，本文所提模型的曲線內外能量描述的準確性更高。更為重要的一點，是本文能量函數中利用比率距離替代經典CV模型中的L2范數，該描述方式比經典CV模型對噪聲點更具魯棒性。同時，混合灰度分布能量驅動力融合均值和中值作為新的擬合中心，減輕了極端值（圖像中的噪聲點）對均值擬合中心的影響，均值和中值優勢互補，使得擬合中心的準確性得到提高。綜合以上分析，本文所提模型能夠更加精確地描述曲線內外能量的變化，能夠得到較理想的圖像分割結果，且模型的迭代次數少、模型收斂所需的時間短。但是比率距離、概率分布、方差和新擬合中心的計算在一定程度上增大了模型的運算復雜度。

3 本文所提模型

傳統CV 模型僅僅考慮單一的圖像灰度分布信息，忽略了圖像全局統計建模信息[21-22]對曲線演化的影響。在這里，本文利用分布度量定義曲線演化的能量泛函，其主要思想就是利用輪廓曲線內外的概率密度分布比率距離的方差刻畫輪廓內外的能量，分布度量能量驅動力可表示為：

在這里，Lin和Lout表示輪廓內外分布度量能量驅動力[23]。α1和α2是可調節權重參數，式中：

其中，pin、pout和pimg分別表示輪廓內外及待分割圖像的概率密度函數。當待分割圖像被選定時，pimg為常數，E 為數學期望運算符。分布度量能量驅動力利用輪廓曲線內外的概率密度分布比率距離的方差刻畫輪廓內外的能量，方差越小，輪廓內外區域的灰度分布趨于同質[24]，繼而引導輪廓曲線向著目標邊界運動。本文所提能量泛函與經典CV模型能量函數相比，兩者主要區別有：本文所提能量泛函的大框架是建立在方差的基礎之上的；另外，利用概率分布函數替代經典CV模型中利用圖像像素點灰度值定義曲線內外能量變化，顯然，本文所提能量泛函準確性更高。更為重要的一點是，本文所提能量泛函中利用比率距離替代經典CV模型中的L2范數，該描述方式比經典CV模型對噪聲點更具魯棒性[23]。

其次，為了減輕極端值（圖像中的噪聲點）對均值擬合中心的影響，混合灰度分布能量驅動力由圖像灰度值與融合均值與中值的區域擬合中心的L2范數表示，如下：

其中，m1、m2表示輪廓內外像素值分布的中值。中位數代表一組數據的中等水平，并不會因為部分噪聲點的影響，對整個數據的中值產生較大的影響。同時，融合均值和中值作為新的擬合中心，消除了均值易受極端值（圖像中的噪聲點）的影響，均值和中值優勢互補，使得擬合中心的準確性得到提高。最后，將分布度量能量驅動力與混合灰度分布能量驅動力組合形成新的能量泛函。

同樣的，將水平集函數引入新的能量泛函，利用水平集函數φ(x,y)替代輪廓。此時，分布度量能量驅動力的水平集函數表示形式為：

其中：

z 表示像素的灰度級。同理可得混合灰度分布能量驅動力水平集函數，如下：

根據變分原理，最小化上式能量函數即可求得輪廓演化所需的梯度下降流方程：

最后，本文所提模型的算法流程步驟如下：

步驟1 初始化水平集函數為符號距離函數，并給出相應的模型初始參數值。

步驟2 根據公式（5）計算分布度量能量驅動力，根據公式（6）計算混合灰度分布能量驅動力。

步驟3 根據公式（7）得到最終的能量泛函。

步驟4 根據公式（10）迭代更新水平集函數。

步驟5 判斷是否達到迭代終止條件，如果是，輸出圖像分割結果；反之則進入步驟2。

另外，圖1給出了本文所提模型的曲線演化示意圖。

圖1 曲線演化示意圖

黑色曲線表示輪廓曲線，梯形表示目標區域。分布度量能量驅動力如紅色箭頭所示，混合灰度分布能量驅動力如黃色箭頭所示。公式（5）中的Lin和Lout可以理解為輪廓曲線內部和外部區域的密度函數與整幅圖像密度函數之間比率距離的方差，具體反應的是輪廓曲線內部和外部區域相對于整幅圖像密度之間的偏離程度。最小化能量泛函就是最小化Lin和Lout，方差越小說明輪廓內外分布越均勻。當目標位于輪廓曲線之內時，與輪廓外部灰度分布相比，輪廓內部灰度分布更不均勻，Lin＞Lout，此時，輪廓沿著梯度流下降的方向演化，驅動力表現為收縮力，驅使曲線向目標邊緣移動。當目標位于輪廓曲線之外時，輪廓外部灰度分布更不均勻，Lin＜Lout，此時，驅動力表現為擴張力。

對于混合灰度分布能量驅動力，其表現形式與經典CV模型一致，都是使用圖像像素點與擬合中心的L2范數刻畫曲線內外能量的變化，因此，其曲線演化與經典CV模型的曲線演化規律一致[10]。當目標位于輪廓曲線之內時，與輪廓外部灰度分布相比，輪廓內部灰度分布更不均勻。混合灰度分布能量驅動力表現為收縮力；當目標位于輪廓曲線之外時，輪廓外部灰度分布更不均勻。混合灰度分布能量驅動力表現為擴張力。從上述分析可以看出，在不同的情況下，分布度量能量驅動力和混合灰度分布能量驅動力都有著相同的表現形式，因此對于曲線輪廓的運動有疊加效果。更為重要的是，這兩種驅動力都能夠驅使輪廓曲線向目標邊緣移動，這樣能夠增大曲線作用力，加速曲線的演化。

4 實驗結果

本章將從圖像分割的直觀視覺效果、模型對初始輪廓敏感性和分割效率三方面，利用大量合成和真實圖像進行驗證實驗，并通過與CV 模型[10]、LBF 模型[13]、LPF（Local Pre-Fitting）模型[7]以及LGIF 模型[12]的圖像分割結果進行比較，測試本文所提算法的有效性。實驗過程中的參數設置：迭代次數設置為300 次，α1=α2=10，μ=0.01×255×255，ν=0，κ=0.5。實驗硬件環境為：Windows 10，Intel Core i3-4210U@2.50 GHz，2 GB RAM，Matlab R2014。圖2～4展示了3幅圖像的實驗結果，其中包括1幅合成圖像和2幅真實圖像，每幅圖像都受不同的噪聲干擾。

圖2 含噪合成圖像1的分割結果

圖3 真實圖像1的分割結果

圖4 真實圖像2的分割結果

從圖2～4 可以看出，傳統CV 模型僅僅考慮單一的圖像均值灰度分布信息，當圖像包括大量噪聲點干擾時，極易造成誤分割，如圖2（b）的分割結果所示。LBF模型利用圖像的局部信息能夠對非勻質圖像進行分割，但是該模型僅僅考慮均值信息，因此對圖像的弱邊緣處理效果不好，如圖3（c）和圖4（c）所示。LPF模型引入局部空間距離來加權輪廓的內部和外部區域的局部強度差，從而提高了模型對低水平噪聲的適應性，如圖3（d）和圖4（d）所示。但是當對含噪合成圖像1 進行分割實驗可以發現，該模型無法分割具有高水平噪聲的圖像。LGIF 模型利用圖像的全局信息和局部信息，以此構建新的能量泛函，并以此引導曲線演化，降低了模型陷入局部最小值的可能性，達到提到分割精度的要求。LGIF 可以得到除了本文模型之外較好的圖像分割結果。本文模型兼顧了圖像的全局統計建模信息和其他混合灰度分布信息，使得分割曲線能夠更加精確地演化至目標邊緣。因此，綜合以上描述與實驗結果對比，本文模型可以得到更好的圖像分割結果，LGIF 模型次之。CV 模型、LBF 模型與LPF 模型僅僅依靠圖像全局信息建模，故而，與本文模型和LGIF 模型相比，這三種模型分割效果較差。LBF模型極易陷入局部最優，若調參不當，往往不會取得較好的圖像分割效果。LSF模型比CV模型的對噪聲的魯棒性稍微好一些。

為了驗證本文所提模型對輪廓初始化的敏感性，本文利用不同形狀的初始輪廓進行圖像分割，圖像分割結果圖如圖5所示。

從圖5 可以看出，不同形狀的初始輪廓，本文改進模型都能夠較精確地圖像分割，且圖像分割結果幾乎一致。另外，為了對模型分割效率進行定量分析，需要設置迭代終止條件，以此確定各個模型曲線演化完成所需的迭代次數大小。設t 時刻圖像分割結果的灰度值總和，即輪廓曲線內部區域（目標區域）的灰度值總和，計為t+1，是t+1 時刻圖像分割結果的灰度值總和。若St+1-St≤10，則迭代終止。表1 給出了各模型的圖像分割運行時間和迭次次數。

表1 各模型的圖像分割運行時間和迭次次數

表中，“/”左側為模型運行時間（以s 為單位），“/”右側為模型運行迭代次數。本文模型利用分布度量能量驅動力與混合灰度分布能量驅動力組合定義新的能量泛函，能夠更加準確地描述曲線內外能量變化，引導輪廓向目標邊緣演化。因此本文模型所需迭代次數最少，同時，所需模型運行時間最短。LBF 模型與LPF 模型都是基于改進局部擬合能量的主動輪廓模型，相比傳統CV 模型，這兩種模型迭次次數較少，圖像分割效率略高。LGIF 模型利用圖像的全局和局部信息構造所需能量泛函，雖然增加了模型的計算復雜度，但是模型收斂所需迭代次數減少，故模型的分割效率也高于其他3 種模型。綜上所述，本文模型在兼顧圖像分割效果的同時，模型所需的迭代次數和運行時間也大大降低。

圖5 模型對輪廓初始化的敏感性實驗結果圖

5 結論

本文提出一種結合分布度量統計建模的主動輪廓圖像分割算法。在該算法中，分布度量能量驅動力定義為輪廓內外概率密度函數定義的比率距離的方差，該能量驅動力基于圖像全局信息統計建模。另外本文所提算法能量驅動力還兼顧了圖像的混合灰度分布信息，混合灰度分布能量驅動力由圖像灰度值與融合均值與中值的區域擬合中心的L2范數表示。將分布度量能量驅動力與混合灰度分布能量驅動力組合形成新的能量泛函以完成圖像分割。實驗結果表明了本文所提模型在主觀視覺效果、迭代次數等方面的明顯優勢。在未來的工作中，尋找能夠更準確刻畫圖像統計分布特性的能量泛函，會對基于主動輪廓模型圖像分割算法圖像分割效果的提升有著至關重要的作用。