隨機子空間顫振模態參數自動辨識方法研究

劉立坤＊，閆軻

中國飛行試驗研究院飛機所，陜西 西安 710072

顫振飛行試驗是新型或結構重大改型的飛機都必須要經過的試驗項目之一，其主要目的是確定飛機在設計包線范圍內沒有顫振現象的發生并具有足夠的顫振裕度。該項試驗高風險、高耗費和周期長的特點對信號分析提出了實時、準確的要求。由于顫振飛行試驗存在激勵力不足、測量點有限、試驗環境復雜等特點，通過顫振飛行試驗測量得到的試驗數據往往具有信噪比低、模態密集、常夾雜諧波分量等特點[1]。工程人員常需要結合地面共振試驗結果和個人主觀經驗剔除虛假模態，篩選出置信度較高、表示物理系統特性的模態參數辨識結果[2]。此外，目前國內顫振飛行試驗模態參數辨識仍然以頻域方法為主，模態參數辨識精度受限于頻譜估計的準確程度。這些因素都會增加模態參數準確、快速辨識的難度，不利于顫振飛行試驗過程中實時和準實時分析。

隨機子空間方法（SSⅠ）是近年來發展起來的一種運行模態時域分析方法。與傳統頻域方法相比，該方法直接利用時域數據進行分析，不受頻譜估計頻率分辨率的影響，能夠準確識別系統的模態參數。但基于SSⅠ方法的模態參數識別需要人為地對穩態圖進行分析，存在人工分析工作量大、效率低，不能滿足顫振飛行試驗實時和準實時分析的需求，因此有必要針對顫振飛行試驗研究高效準確的模態參數自動辨識方法。近20年來，人們開始逐漸開始關注模態參數自動識別方法的研究。Magalhaes等將分層聚類技術應用到模態參數自動識別方法中[3]；姜金輝等提出了正交多項式和多參考點最小二乘復頻域識別方法結合FCM（Fuzzy‐C）聚類技術的穩態圖自動分析方法[4]；湯寶平等提出了基于譜系聚類的SSⅠ自動識別方法[5]；最近，鄭沛娟等采用圖論聚類方法對橋梁結構進行了監測，提出了基于圖論聚類方法的模態參數自動辨識方法[6]；宋明亮等對模態參數自動識別方法進行了回顧，并在文章最后以SSⅠ模糊聚類方法和頻域分解方法結合模態置信準則（MAC）對一鋼筋混凝土建筑成功進行了分析[7]。上述方法均能夠進行模態參數自動識別，在土木工程等領域有一定的應用。但是基于聚類方法的模態參數自動識別仍存在一定問題，如kmeans聚類需要事先給定聚類數目[8]，dbscan等密度聚類方法需要給定聚類領域半徑[9]，分層聚類需要設定分層樹截斷規則，非分層的模糊聚類則需要預先設定聚類數目和聚類中心等[10]，這些因素都給模態參數自動識別帶來了一定的困難。

本文以隨機子空間法為基礎，針對顫振飛行試驗模態分析測量點少、常存在諧波分量的特點，結合擴展模態置信度準則、擴展峰度系數法，提出了一種模態參數自動辨識方法。分別以四自由度彈簧質量系統仿真算例和顫振飛行試驗實測數據進行了驗證。

1 隨機子空間方法簡介

假設大氣湍激勵條件下的n自由度飛機結構時域狀態空間模型為：

式中：yk∈Rn×1為第一個測量點k時刻采集的響應信號；xk∈Rn×1為系統的狀態矢量，n為系統階次；A∈ Rn×n為狀態矩陣；c∈ Rl×n為輸出矩陣；wk∈Rn×1為過程噪聲；vk∈Rl×1為測量噪聲。

定義輸出協方差矩陣Ri=E[yk+i·yTk]，其中E表示數學期望。

構造Toeplitz矩陣如下：

將式（2）中Toeplitz矩陣分解得T1|i=OiTi，其中Oi為可觀測矩陣，Ti∈Rn×li為擴展可控矩陣。對可觀測矩陣Oi進行奇異值分解得：

隨機子空間方法根據不為零的奇異值個數確定系統階次，再根據U1、S1計算出系統矩陣、輸出矩陣，最終得出系統的模態參數。

2 虛假模態剔除指標

針對顫振飛行試驗測量點少、響應信號信噪比低、常夾雜諧波分量等特點，虛假模態剔除指標除傳統穩態圖中各階次模態頻率誤差Δf＜1%、阻尼誤差Δξ＜1%、模態置信準則誤差ΔMAC＜1%等硬判據外，還增加了擴展模態置信度準則和擴展峰度系數檢測法。

2.1 擴展模態置信度準則

擴展模態置信度準則（MACXP）最早由P.Ⅴacher等于2010年提出[11]，其將傳統模態置信準則擴展至復模態領域，并通過加權方式考慮了極點的影響。MACXP主要用于比較兩個模態振型u1、u2之間的相關性，其定義如下：

式中：λ1、λ2為對應于振型u1、u2的極點，MACXP ∈ [0,1]，MACXP越接近1表明兩個模態相關性越高。

2.2 擴展峰度系數檢查法

擴展峰度系數法結合隨機變量峰度系數的概念，主要用于檢測信號中由旋轉部件（如飛機螺旋槳發動機）引起的諧波分量。隨機變量的峰度系數提供了一種表示概率密度曲線的平緩程度的方法。峰度系數定義為隨機變量經均方差標準化后的四階中心矩：

式中：μ為x的平均值；E為期望值。Jacobsen等指出單純結構模態響應的概率密度函數服從正態分布，其峰度系數γ＜3，而諧波分量的峰度系數γ?3[12]。擴展峰度系數法以此為依據，對飛行顫振試驗響應數據中的諧波分量進行剔除。

3 基于SSI的顫振模態參數自動辨識方法

基于SSⅠ的顫振模態參數自動辨識方法，首先采用隨機子空間方法識別飛機結構模態參數，利用硬判據指標得出初步穩態圖。然后，分別根據擴展模態置信度準則和擴展峰度系數法進一步剔除虛假模態，去除諧波分量的影響。圖1為模態參數自動辨識流程。

然后，將剩余計算結果按照頻率進行排序，定義模態i,j之間的距離為：

式中：f為模態頻率，ξ為模態阻尼比，φ為模態振型。

按照距離穩定曲線拐點對剩余結果進行聚類，如圖2所示，圖中黑色方塊為聚類節點的序號，并以Δf＜1%，Δξ＜1%，ΔMAC＜1%進一步剔除聚類結果中的異常點并去除聚類數目小于5次的結果。

4 實例驗證

4.1 仿真試驗驗證

假設一四自由度彈簧質量系統，其結構如圖3所示，4個質量塊質量均為10kg，彈簧剛度均為10000N/m，阻尼系數均為10N/ms。在Matlab中采用零均值高斯白噪聲對該結構進行激勵，設置采樣率為50Hz，仿真時間300s，隨機子空間辨識階次為100階。向響應信號中加入式（7）所示的諧波分量：

式中：fh=20Hz為諧波分量對應的頻率。

圖1 模態參數自動辨識流程Fig.1 Automatic identification process of modal parameters

圖2 模態間距離穩定曲線Fig.2 Modal distance stability curve

圖3 四自由度彈簧質量系統Fig.3 Four degrees of freedom spring-mass system

圖4 經過硬判據MACXP篩選過的穩態圖Fig.4 Stable diagram filtered by hard criteria MACXP

圖5 模態間距離穩定曲線Fig.5 Modal distance stability curve

表1 模態參數自動辨識結果Table 1 Automatic identification results of modal parameters

圖4～圖6分別給出了經過MACXP指標的初步穩態圖、距離穩定曲線和經過距離聚類后的穩態圖。圖中，SⅤ為奇異值。表1給出了模態參數自動辨識結果和真實頻率阻尼的比較。

結果表明，MACXP判據由于結合了極點信息，運用該判據所得穩態圖較為清晰，能夠有效去除虛假模態。結合擴展峰度系數法去除了諧波分量的影響。按照距離穩定曲線進行聚類，進一步剔除了異常點，聚類后的頻率和阻尼參數曲線較為穩定，得出的模態參數辨識結果與真實值一致性較好。

圖6 去除諧波分量的穩態圖Fig.6 Stable diagram after removing harmonic components

4.2 飛行顫振試驗驗證

某運輸類飛機顫振飛行試驗，在一高度保持穩定平飛60s，利用大氣湍流激勵對飛機結構進行激勵，使用振動加速度傳感器測量機翼、發動機、機身、尾翼等結構振動響應，測試采樣率為512Hz，設置抗混疊低通濾波器截止頻率為120Hz。表2給出了該飛機地面共振試驗主要模態結果。根據設計廠家給出的相關資料，該飛機螺旋槳發動機一階諧波分量約為36Hz。

表2 某運輸類飛機地面共振試驗結果Table 2 Ground resonance test results of a transport

選取機翼結構所安裝的4個法向加速度傳感器，分別使用人工頻域分解法和基于密度聚類的SSⅠ自動辨識方法對大氣湍流激勵所得響應數據進行分析。圖7為僅通過硬判據得出的穩態圖。圖8為模態間距離穩定曲線。圖9給出了結合擴展峰度系數法后聚類穩態圖。結果表明，擴展峰度系數法能夠有效去除螺旋槳發動機引起的36Hz諧波分量，經過距離聚類后所得穩態圖較為清晰，有利于工程人員對物理模態進行選取。表3給出了人工頻域空間域分解法（FSDD）和SSⅠ模態參數自動辨識方法的結果對比，兩種方法所得結果均能滿足工程試驗需求。兩種方法模態參數辨識差異的主要原因是人工FSDD方法辨識精度受譜線估計準確程度、曲線擬合精度等人為因素的影響。

圖7 硬判據MACXP篩選后的穩態圖Fig.7 Stable diagram filtered by hard criteria MACXP

圖8 模態間距離穩定曲線Fig.8 Modal distance stability curve

表3 模態參數辨識結果Table 3 Modal parameters identification results

5 結論

通過分析，可以得出以下結論：

（1）以隨機子空間方法為基礎，結合擴展模態置信度準則和擴展峰度系數法，提出了一種以距離曲線聚類的模態參數自動辨識方法。

圖9 去除諧波分量的穩態圖Fig.9 Stable diagram after removing harmonic components

（2）仿真試驗和顫振飛行試驗結果表明，該方法能夠自動識別模態參數，MACXP準則所得穩態圖較為清晰，擴展峰度系數法能夠有效去除諧波分量的影響。與傳統人工模態參數方法相比，其所得模態一致性較好，可用于飛行顫振試驗過程中的實時和準實時分析。