非高斯風(fēng)壓峰值因子估計(jì)：基于矩的轉(zhuǎn)換過程法的對比研究

林 強(qiáng)，劉 敏，楊慶山,2，吳鳳波，黃國慶

(1．重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400044；2．結(jié)構(gòu)風(fēng)工程與城市風(fēng)環(huán)境北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044；3．西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川，成都 611756)

建筑圍護(hù)結(jié)構(gòu)抗風(fēng)設(shè)計(jì)需要準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)表面風(fēng)壓極值或者峰值因子[1—7]。風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，建筑表面風(fēng)壓是隨機(jī)變化的，符合高斯或者非高斯分布；當(dāng)符合高斯分布時(shí)，可采用經(jīng)典高斯分布極值理論求解風(fēng)壓極值；當(dāng)符合非高斯分布時(shí)，經(jīng)典高斯分布極值理論求解得到的風(fēng)壓極值有可能偏小[3]，此時(shí)，國內(nèi)外學(xué)者提出了眾多的非高斯風(fēng)壓極值估計(jì)方法[4]。

現(xiàn)有非高斯風(fēng)壓極值估計(jì)方法主要包括轉(zhuǎn)換過程法(translation process method)、整體極值法(global maxima method)、區(qū)域極值法(block maxima method)、過閾法(peaks over threshold method)、平均條件超越率法(average conditional exceedance rate method)等[4]。轉(zhuǎn)換過程法的核心是建立高斯變量和非高斯變量之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)，從而充分利用經(jīng)典高斯分布極值理論的解析解[8—9]。現(xiàn)階段，轉(zhuǎn)換函數(shù)建立的方法主要包括兩類：1) 采用某一特定函數(shù)模型直接描述高斯變量和非高斯變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如Hermite多項(xiàng)式模型(HPM)[10]和Johson轉(zhuǎn)換模型(JTM)[11]，此時(shí)模型參數(shù)通常通過前四階矩計(jì)算得到；2) 假定非高斯母本分布為某一函數(shù)形式，如平移的廣義對數(shù)正態(tài)分布 (shifted generalized lognormal distribution，SGLD)[12]，再基于高斯變量和非高斯變量累積概率分布函數(shù)相等得到轉(zhuǎn)換函數(shù)，此時(shí)非高斯母本分布函數(shù)的參數(shù)可通過矩估計(jì)法、極大似然估計(jì)法或最小二乘擬合法等得到。對于可通過矩得到轉(zhuǎn)換函數(shù)的方法，統(tǒng)稱為基于矩的轉(zhuǎn)換過程法。基于矩的轉(zhuǎn)換過程法由于能夠利用高斯過程極值分布的理論解、需要的樣本時(shí)程信息短而被廣泛應(yīng)用于非高斯過程的峰值因子估計(jì)[1—4]。

極值通常由母本概率密度函數(shù)(PDF)尾部決定。前述基于矩的HPM、JTM和SGLD模型均可基于前四階矩給出非高斯母本 PDF，并應(yīng)用于非高斯隨機(jī)過程極值估計(jì)[10—18]。然而，對于相同的前四階矩，現(xiàn)階段關(guān)于該三種模型預(yù)測出的非高斯母本PDF的差別，尤其是尾部的差別尚不清楚，自然地，對于采用這三種模型預(yù)測的極值的差別亦無從可知。

為了比較三種模型的異同，給三種方法應(yīng)用于非高斯風(fēng)壓峰值因子估計(jì)時(shí)的選取提供指導(dǎo)，本文研究了三種方法對非高斯風(fēng)壓峰值因子的估計(jì)效果。首先對比了三種模型基于矩預(yù)測的非高斯母本PDF的差異，從理論上明確三者求得的非高斯峰值因子不同的原因。其次，為了驗(yàn)證前述理論分析結(jié)果，對比三種模型預(yù)測的非高斯風(fēng)壓峰值因子和實(shí)際值的差別，選用長時(shí)距風(fēng)洞試驗(yàn)風(fēng)壓數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了三種方法對非高斯風(fēng)壓峰值因子的估計(jì)效果。

1 方法介紹

1.1 Hermite多項(xiàng)式模型——HPM

標(biāo)準(zhǔn)的非高斯風(fēng)壓時(shí)程 X(t)可通過一個(gè)單調(diào)的轉(zhuǎn)換函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)的高斯風(fēng)壓時(shí)程U(t)聯(lián)系起來[8]。

式中：x和u分別為標(biāo)準(zhǔn)的非高斯和高斯隨機(jī)變量；g ( )為轉(zhuǎn)換函數(shù)；FX和Φ分別為X(t)和 U(t)的累積概率分布函數(shù)(CDF)，為FX的反函數(shù)。根據(jù)高斯過程極值穿越理論，時(shí)長為T的高斯隨機(jī)過程極值的累積概率分布函數(shù)為：

式中：v0為零均值上穿越率；假設(shè)高斯過程和非高斯過程零均值上穿越率相等，即 v0= σX˙/ (2πσX)，σX和σX˙為X(t)和X˙(t)的標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)此轉(zhuǎn)換模型，p分位點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)非高斯過程的極值xpmax可表示為：

式中，upmax為p分位點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量的極值。

Winterstein研究表明標(biāo)準(zhǔn)軟化非高斯(峰度大于3)隨機(jī)變量的轉(zhuǎn)換函數(shù)g(u)可基于Hermite多項(xiàng)式模型表示為[10]：

式中，k、h3和h4均為模型系數(shù)，其可由非高斯過程的前四階矩得到。對于峰度范圍為 3～15的非高斯隨機(jī)變量，模型系數(shù)的計(jì)算表達(dá)式為[16]：

式中，3α和4α分別為偏度和峰度。

對于硬化的非高斯過程(峰度小于3)，轉(zhuǎn)換函數(shù)可表達(dá)為[4]：

式中：b2、b3和b4均為模型系數(shù)；g-1()為g()的反函數(shù)b2、b3和b4的表達(dá)式為[4]：

式中， φ = [ 1 - 0 .06(3 - α4)]1/3。

基于矩的轉(zhuǎn)換函數(shù)需為單調(diào)遞增函數(shù)，這一限制條件使得HPM軟化非高斯過程的偏度和峰度需滿足：

對于 HPM 硬化非高斯過程的偏度和峰度需滿足：

1.2 Johnson轉(zhuǎn)換模型——JTM

Johnson基于中心極限定理提出了一種非高斯隨機(jī)變量x與高斯隨機(jī)變量u的轉(zhuǎn)換模型，即Johnson轉(zhuǎn)換模型(Johnson Transformation Model，JTM)。JTM可以表示為[11]：

式中：參數(shù)η和γ決定分布曲線的形狀；J( )分為三類，分別表示為：

式中：λ為尺度參數(shù)；ε為位置參數(shù)；SL中λ=1。

JTM的反函數(shù)可表示為：

式中，J-1()為J()的反函數(shù)，即式(17)～式(19)的反函數(shù)可表示為：

其中， w =exp(η-2)。w的解析式為：

其中：

因此，整個(gè)偏度-峰度平面被SL曲線和適用范圍邊界線(α4=+1)分為三個(gè)部分：不可能區(qū)域位于適用范圍邊界線以下，SB區(qū)域位于SL曲線和邊界線之間，SU區(qū)域位于SL曲線以上。為便于對比，將Hermite多項(xiàng)式模型的適用范圍也作于圖1中，很明顯JTM的適用范圍比Hermite多項(xiàng)式模型的適用范圍更廣。

圖1 Hermite模型及JTM模型的適用范圍Fig.1 Application range of Hermite model and JTM model

SU區(qū)域：

SB區(qū)域：

SL區(qū)域：

1.3 SGLD模型

Low[12]綜合平移對數(shù)正態(tài)分布能代表不同偏度范圍和指數(shù)冪分布能代表不同峰度范圍的特性來獲得能代表廣泛的偏度和峰度的分布模型，提出了SGLD(shifted generalized lognormal distribution)分布模型。SGLD分布的概率密度函數(shù)為[10]：

式中：b和θ分別為位置參數(shù)和尺度參數(shù)；σ和r為形狀參數(shù)。SGLD模型的適用范圍與JTM模型相同。SGLD分布的概率密度函數(shù)中的4個(gè)參數(shù)可通過矩估計(jì)法得到。利用隨機(jī)變量x的前四階矩可得到四個(gè)等式[19]。

通過求解上述非線性方程組就可得到SGLD模型的參數(shù)值。

2 HPM、JTM和SGLD模型理論對比

對于標(biāo)準(zhǔn)軟化的非高斯過程，選取偏度為0、峰度不同的組合，通過Hermite多項(xiàng)式模型、JTM 模型和 SGLD模型求得的非高斯母本 PDF對比如圖2(a)所示，對應(yīng)的轉(zhuǎn)換函數(shù)對比如圖3(a)所示。從圖2(a)可以看出，非高斯母本PDF尾部有所差異。從圖3(a)可得，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)高斯值小于某一值時(shí)，三種模型求得的標(biāo)準(zhǔn)非高斯值比較接近；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)高斯值某一值時(shí)，三種模型求得的標(biāo)準(zhǔn)非高斯值有一定的差別。對于硬化的非高斯過程，同樣的對比如圖2(b)和圖3(b)所示，可以看出，與軟化過程有同樣的規(guī)律。

圖2 軟化和硬化非高斯隨機(jī)過程的母本PDF(偏度=0)Fig.2 Parent PDF for softening and hardening non-Gaussian random processes (skewness=0)

由圖1可知，HPM模型的適用范圍最小。為了進(jìn)一步對比Hermite多項(xiàng)式模型適用范圍內(nèi)三種模型對峰值因子的估計(jì)效果，選取三種模型都適用的偏度和峰度組合范圍，即 HPM 的適用范圍，以高斯峰值因子取3.8和4.5為例研究估計(jì)的非高斯峰值因子的差別。圖4為高斯峰值因子為3.8時(shí)，三種模型估計(jì)的極大值的非高斯峰值因子；受篇幅限制，高斯峰值因子為4.5時(shí)的非高斯峰值因子分布規(guī)律類似，本文未列出。此外，求解極小值的時(shí)只需將偏度乘以-1，得到類似的規(guī)律。

圖4 三種模型估計(jì)的非高斯峰值因子等值線圖(高斯峰值因子=3.8)Fig.4 Contour maps of predicted non-Gaussian peak factors for three models (Gaussian peak factor = 3.8)

圖5和圖6給出了三種方法求得的峰值因子圖及三種模型間的誤差，HPM和JTM之間的誤差計(jì)算公式為，HPM和SGLD之間的誤差計(jì)算公式為，JTM 和 SGLD 之間的誤差計(jì)算公式為

根據(jù)圖4～圖6可知：

1) 當(dāng)高斯峰值因子取3.8時(shí)，HPM模型與JTM模型、SGLD模型所求得的峰值因子在長尾部分(即偏度大于零時(shí))相差不大，差別在5%左右；在短尾部分(即偏度小于零時(shí))，隨著偏度和峰度的增加差距逐漸增大，誤差在6%～60%。

圖5 三種模型峰值因子誤差對比等值線圖(高斯峰值因子=3.8)Fig.5 Error contour maps of peak factors among three models(Gaussian peak factor = 3.8)

圖6 三種模型峰值因子誤差對比等值線圖(高斯峰值因子=4.5)Fig.6 Error contour maps of peak factors among three models(Gaussian peak factor = 4.5)

2) 當(dāng)高斯的峰值因子取為 4.5時(shí)，HPM 模型與JTM模型、SGLD模型所求得的峰值因子在長尾部分相差4%～20%；在短尾部分，隨著偏度和峰度的增加，差距逐漸增大，誤差在 10%～70%。與高斯的峰值因子取為3.8時(shí)相比，差距有增大的趨勢。

3) 當(dāng)高斯峰值因子取為3.8時(shí)，SGLD模型與JTM模型所求得的峰值因子在長尾部分相差不大，誤差小于 5%；在短尾部分，隨著偏度和峰度的增加，差距逐漸增大(相差5%~30%)，但與HPM模型求得的峰值因子相比差距小。

4) 當(dāng)高斯峰值因子取為4.5時(shí)，SGLD模型與JTM 所求得的峰值因子在長尾部分差別在 2%~10%，與高斯峰值因子取為 3.8時(shí)相比差別有所增加。在短尾部分，隨著偏度絕對值和峰度的增加，差距逐漸增大，差距在 10%~50%；與高斯峰值因子取為3.8時(shí)的差距相比有所增大。

3 數(shù)據(jù)驗(yàn)證

3.1 非高斯風(fēng)壓數(shù)據(jù)

為了研究三種模型應(yīng)用于實(shí)際風(fēng)洞數(shù)據(jù)的估計(jì)結(jié)果，本文選用了一組超長風(fēng)洞試驗(yàn)風(fēng)壓數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。風(fēng)壓數(shù)據(jù)取自加拿大西安大略大學(xué)邊界層風(fēng)洞試驗(yàn)Ⅱ，模型(FL30)縮尺比為1∶50，如圖7(a)所示[20]。屋蓋上474個(gè)壓力測點(diǎn)(標(biāo)記為“+”)，測點(diǎn)布置如圖7(b)所示。試驗(yàn)的來流風(fēng)場模擬郊區(qū)地貌，粗糙度長度z0=0.23 m，一共測試了三個(gè)風(fēng)向，分別為 120°、125°和 130°，本文采用的數(shù)據(jù)為 120°風(fēng)向角風(fēng)壓系數(shù)。風(fēng)速縮尺比為 1∶5，時(shí)間縮尺比為1∶10。風(fēng)洞試驗(yàn)采樣頻率為400 Hz。屋蓋表面總共474個(gè)測點(diǎn)，每個(gè)測點(diǎn)有180段持續(xù)時(shí)長為60 s(對應(yīng)原型結(jié)構(gòu)中的10 min)的風(fēng)壓記錄，即每個(gè)測點(diǎn)記錄了 3 h的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(對應(yīng)原型結(jié)構(gòu)中的30 h)。

圖7 模型FL30及屋頂測壓點(diǎn)位置Fig.7 Model FL30 and pressure tap locations on roof

3.2 三種方法對所有測壓點(diǎn)的總體效果

圖8為風(fēng)洞試驗(yàn)風(fēng)壓數(shù)據(jù)所有測點(diǎn)的高斯峰值因子等值線圖，從圖8可以看出，風(fēng)壓數(shù)據(jù)對應(yīng)高斯峰值因子范圍為4.0~4.5。

圖8 高斯峰值因子等值線圖Fig.8 Contour maps of Gaussian peak factor

從前述理論分析部分可知，當(dāng)高斯的峰值因子值較大時(shí)，三種基于矩的方法求得的非高斯峰值因子的差別有增大的趨勢。為驗(yàn)證當(dāng)高斯的峰值因子值較大時(shí)三種方法應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，基于一組超長風(fēng)洞試驗(yàn)風(fēng)壓數(shù)據(jù)比較了三種模型估計(jì)的峰值因子與實(shí)際超長數(shù)據(jù)所得的峰值因子的效果。三種模型求得的峰值因子與數(shù)據(jù)對比的誤差結(jié)果見表1。

表1 HPM、JTM和SGLD模型估計(jì)的峰值因子誤差水平Table 1 Error level of peak factor estimated by HPM,JTM and SGLD

從表1可知，Hermite模型、JTM模型和SGLD模型誤差小于 15%的百分比分別為 77.5%、68.3%和63.3%；基于此結(jié)果可知，Hermite模型的估計(jì)效果比SGLD模型和JTM模型估計(jì)效果更好。

4 結(jié)論

本文首先在理論上對比了 Hermite多項(xiàng)式模型、JTM模型和SGLD模型在Hermite多項(xiàng)式模型適用范圍內(nèi)的非高斯過程峰值因子估計(jì)效果，然后通過選用一組超長風(fēng)洞試驗(yàn)風(fēng)壓數(shù)據(jù)，檢查了三種方法對非高斯風(fēng)壓峰值因子的估計(jì)效果。研究得出以下結(jié)論：

(1) 當(dāng)高斯峰值因子較小時(shí)，Hermite多項(xiàng)式模型、JTM模型和SGLD模型對正偏斜非高斯分布極大值的峰值因子估計(jì)效果較為一致；三種模型對負(fù)偏斜非高斯分布極大值的峰值因子估計(jì)結(jié)果相差較大，JTM模型和SGLD模型估計(jì)結(jié)果較為接近。

(2) 當(dāng)高斯峰值因子較大時(shí)，JTM模型和SGLD模型預(yù)測的峰值因子與Hermite多項(xiàng)式模型預(yù)測結(jié)果相比差別較大；本文采用一組低矮房屋超長測壓數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明Hermite多項(xiàng)式模型估計(jì)結(jié)果相比SGLD模型和JTM模型估計(jì)結(jié)果更優(yōu)。

(3) 綜合來看，Hermite多項(xiàng)式模型估計(jì)結(jié)果更為接近實(shí)際值，但存在單調(diào)性限制，此時(shí)可通過定義新的統(tǒng)計(jì)矩，分別使用大于或小于中值的分布來分別估計(jì)最大值或最小值[21]或推導(dǎo)出 Hermite多項(xiàng)式模型對應(yīng)不同偏度和峰度組合的完整表達(dá)式[13,22]來解決。