探夾角之謎 究幾何本質
——對一道平面向量恒成立問題的解法的再思考

蘆 迪 吳 凱

(1.浙江省杭州市蕭山區第三高級中學 311201;2.浙江省湖州市菱湖中學 313018)

近日，筆者遇到一道平面向量恒成立問題，分別從代數和幾何兩個角度進行了探究，試著尋找其有效的解題方法.

本解法關鍵的突破口是將向量模的不等式問題平方轉化為二次函數恒成立問題，由二次函數的性質可得答案，用換元思想解題是本解法最為靈巧之處，真可謂“化腐朽為神奇”，化難為易.但是，這樣的純代數運算運算量較大，對多數學生來講還是有一定難度的.

角度二我們能否從幾何角度來分析問題呢？

那么，我們如何才能利用幾何意義來尋找所求夾角呢？

我們通過以上特例的分析，那么如何才能找到滿足題意的夾角呢？

我們需要利用軌跡思想，探尋夾角.

有了前面的探究與分析之后，我們就不難將以上幾何方法簡化為以下過程：

這樣就可以快速找到答案了.通過兩個角度的分析，我們就將解法從原來的代數化運算，逐步過渡到了如圖6的簡圖解法，實現了解法的優化過程.

然后，筆者將例題進行了適當的改編，有了以下2個變式演練，供讀者嘗試解答.