基于2019年高考下的導數(shù)壓軸題探究

張麗群 指導教師：林為華

(福建省莆田擢英中學 351100)

一、恒成立、存在性含參問題

此類題，是高考導數(shù)壓軸題中較為常規(guī)的一種.分離參數(shù)后，加入一次導或者二次導的二次函數(shù)分類討論，轉(zhuǎn)化成去求新構造函數(shù)最值的問題.類比，這種思路也適合與導數(shù)和三角函數(shù)結合的含參數(shù)的問題處理.在此類題中，若出現(xiàn)不定型的導函數(shù)，那我們還可以對一些層次較好的同學傳授一些大學中對于不定型導函數(shù)的處理方法，例如洛必達法則的應用.當然，最好進行分類討論，雖然運算較為繁冗.

例如下面這道題目：考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,零點等問題,和數(shù)形結合的思想方法,難度較大．

(1)令g(x)=f′(x),對g(x)再求導,研究其在(0,π)上的單調(diào)性,結合極值點和端點值不難證明；

(2)利用(1)的結論,可設f′(x)的零點為x0,并結合f′(x)的正負分析得到f(x)的情況,作出圖示,得出結論．

例題1已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導數(shù)．

(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點；

(2)若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍．

解(1)可求得f′(x)=2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1.令g(x)=cosx+xsinx-1,則g′(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx.

(2)方法一

由(1)知,令h(x)=ax,作出圖示,∵f(x)≥h(x),

∴a≤0．

方法二令h(x)=f(x)-ax=2sinx-xcosx-(a+1)x,則h′(x)=cosx+xsinx-1-a,令m(x)=cosx+xsinx-1-a,m′(x)=xcosx=g′(x).

①當a≤-2時，h′(x)min=h′(π)=-2-a≥0，即h′(x)≥0在[0,π]上恒成立，∴h(x)在[0,π]上單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥ax,此時f(x)≥ax恒成立.

綜上所述：a∈(-∞,0].

二、導數(shù)中“對稱直線”的妙用

對較復雜含參的函數(shù)，先分離參數(shù)，構造一個新的函數(shù)，若運算量很大的話，那我們就要思考，能不能將問題等價轉(zhuǎn)化，并實施轉(zhuǎn)化分解變形.在考慮零點方面的問題，一般還要轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)來求交點的問題.而且，在導函數(shù)的小題壓軸題當中，我們還會遇到，轉(zhuǎn)化后，兩個函數(shù)圖象是關于某一條直線對稱的，或者是某一條曲線的切線等情況.那這條直線的存在就為我們提供了非常好的幾何法方面的思路.我們試著找到這一條直線，然后將題目轉(zhuǎn)化成兩個差函數(shù)來求解，問題就很快地得到處理.

例題2已知函數(shù)f(x)=e1-x(-a+cosx),a∈R.

(1)若函數(shù)f(x)存在單調(diào)增區(qū)間,求實數(shù)a的取值范圍；

評析(1)函數(shù)f(x)存在單調(diào)增區(qū)間,所以方程f′(x)>0有解,即可求實數(shù)a的取值范圍；

三、導數(shù)中的“隱零點”

導數(shù)中，最近熱門的話題，非隱零點不可了.圓錐篇章，我們就已經(jīng)接觸“設而不求”跟韋達定理的完美展示.那在導數(shù)這邊，更是把這種思想發(fā)揮得淋漓盡致.利用導函數(shù)的零點作為解題橋梁，設出零點，用零點來換元或者消元，從而轉(zhuǎn)化成我們學過的簡單函數(shù)來進行求解.比如以下這道題目：本題考查導數(shù)的運用：求極值和單調(diào)區(qū)間,主要考查三角函數(shù)的導數(shù)和求值,同時考查等比數(shù)列的定義和通項公式的運用,考查不等式恒成立問題的證明,屬于難題．

例題3已知函數(shù)f(x)=eaxsinx(x∈[0,+∞))，a>0.記xn為f(x)的從小到大的第n(n∈N*)個極值點.

四、導數(shù)中巧用不等式性質(zhì)

近幾年的高考中，壓軸題時常出現(xiàn)與不等式知識點交匯的題目.但是加入三角函數(shù)不等式的導數(shù)問題，還是比較新穎的，具有一定的解題難度.我們可以利用絕對值不等式、三角不等式等，來進行解題.比如以下這道題目：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)以及函數(shù)最值的應用,求函數(shù)的導數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關系,以及換元法,轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關鍵.綜合性較強,難度較大．

例題5設函數(shù)f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,記|f(x)|的最大值為A．

證明：|f′(x)|≤2A．

綜上：|f′(x)|≤2A．