千舉萬變 其道一也
——一道北京高考題的改編探討

程春暖

(北京市實驗學校(海淀) 100037)

函數是高中數學課程內容的主線，是學生進入高中之后接觸到的第一個難點，也是讓許多學生望而生畏的數學概念.從初中的注重直觀到高中的逐步抽象，學生對函數的認識在理論上應當上升了一個層次.但實際上，許多學生還是：

看到函數，慌了；

沒有頭緒，亂了；

陷于計算，涼了；

再有參數，完了.

本文以一道分段函數的單調性問題為背景，通過對題目的改編，以求讓學生體會解決函數問題關注其圖象與性質才是關鍵.

改編角度1 單調性的定義

本練習在原題的基礎上考查了函數單調性的定義.作為第一種變形，知識跨度較小，易于理解，學生接受度也較高.

改編角度2 單調性與零點的關系

零點是函數的重要性質，零點個數與函數的單調性之間有密切關系，因此將問題定位在零點個數考查單調性也是一種常見的方式.

數學解題本質上就是一個不斷轉化的過程，將未知的問題轉化為已知的問題.這種思想可以幫助我們解題，也可以幫助我們改編題目.沿著此思路，就函數的零點，筆者又進行了如下的變形設計：

函數單調的情況研究清楚了，不單調的情況自然也就了然于心了.考慮此，筆者設計了如下的變式練習：

改編角度3 利用單調性求參數范圍

改編角度4 單調性與對稱性

a∈0,17() 時a=13 時a∈13,1() 時a∈1,+∞() 時

由本題可以進一步體會圖象的重要性.若單純地借助解析式進行代數推導將陷入復雜沒有頭緒的計算之中.

改編角度5 單調性與極值、最值

感悟1.解析式與與圖象是函數的兩種非常重要的表示方法，通過解析式研究性質可以鍛煉學生的邏輯思維、數學抽象，要求學生對概念有深刻的認識，對函數有本質的理解，而通過圖象獲取函數的性質在解決小題時的優點更為顯著.圖象提供了更多的形象思維，更直觀、易于理解，且性質一目了然.筆者在教學過程中針對此類題目總結了如下的口訣，深受學生喜歡.

遇見函數心莫慌，借助圖象來幫忙.

慧眼識珠多發現，性質利用是關鍵.

含有參數困難增，留心觀察變不變.

困難就像霧霾天，大風起兮藍天見！

2.作為教師，要勤于思考，善于改編，用盡量少的題面幫助學生梳理盡量多的知識.教師的首要職責之一是不能給學生下列印象：數學題相互之間幾乎沒有什么聯系，與其他事物也根本毫無聯系.因此在同樣的問題背景下改編設問，知識之間的聯系更容易產生，知識網絡更容易形成，更有利于學生的整體認知及思維形成.