一道教材習題的結論及其應用

劉才華

(山東省泰安市寧陽第一中學 271400)

題目我們知道，函數y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為奇函數.有同學發現可以將其推廣為：函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數.

(1)求函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心；

(2)類比上述推廣結論，寫出“函數y=f(x)的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為偶函數”的一個推廣結論.

這是最新普通高中教科書數學必修第一冊第87頁的一道拓廣探索題目，題目結論給出了如何判斷一個函數圖象成中心對稱或軸對稱的一個有效的判定方法.

眾所周知，奇函數圖象的對稱中心為原點，若y=f(x)的圖象對稱中心為點P(a,b)，可以通過將y=f(x)的圖象向左(或右)平移變換和向上(或下)平移變換，將其對稱中心平移到原點處，得到一個奇函數的圖象；同樣地，若y=g(x)的圖象的對稱中心為原點，可以通過將y=g(x)的圖象向左(或右)平移變換和向上(或下)平移變換，將其對稱中心平移到P(a,b)處，得到一個關于P(a,b)成中心對稱的函數的圖象.于是我們得到如下

命題1函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數.

由f(a)=4得f(-a)=2-4=-2，故f(-a)=-2.

例4(2008年高考重慶理科試題)若定義在R上的函數f(x)滿足：對任意x1,x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，則下列說法一定正確的是( ).

A.f(x)為奇函數 B.f(x)為偶函數

C.f(x)+1為奇函數 D.f(x)+1為偶函數

解令x1=x2=0，代入f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1得f(0)=-1.令x1=x,x2=-x，代入f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1得f(x)+f(-x)=f(0)-1=-2.所以f(x)的圖象關于點P(0,-1)對稱，則f(x)+1為奇函數，選擇答案：C.

我們知道，偶函數圖象的對稱軸為y軸，若y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，可以通過將y=f(x)的圖象向左(或右)平移變換，將其對稱軸平移到和y軸重合，得到一個偶函數的圖象；同樣地，若y=g(x)的圖象的對稱軸為y軸，可以通過將y=g(x)的圖象向左(或右)平移變換，將其對稱軸平移到和直線x=a重合，得到一個關于直線x=a成軸對稱的函數的圖象.于是我們得到如下

命題2函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱的充要條件是函數y=f(x+a)為偶函數.

例5(2017年全國新課標Ⅰ文科試題)已知函數f(x)=lnx+ln(2-x)，則( ).

A.f(x)在(0,2)單調遞增

B.f(x)在(0,2)單調遞減

C.y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱

D.y=f(x)的圖象關于點(1,0)對稱

解由f(x)=lnx+ln(2-x)得f(x)=ln[x(2-x)].由于y=-x2+2x(0

設g(x)=f(x+1)=ln(x+1)+ln(1-x).由g(x)=g(-x)得g(x)為偶函數，所以由命題2得y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，選擇答案：C.

例6(2017年新課標Ⅲ理科試題)已知函數f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點，則a=( ).

選擇答案：C.

例7(2007年重慶理科試題)已知定義域為R的函數f(x)在(8,+∞)上為減函數，且函數y=f(x+8)為偶函數，則( ).

A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)

C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)

解因為y=f(x+8)為偶函數，所以由命題2得f(x)的圖象關于x=8對稱，于是f(7)=f(9).因為f(x)在(8,+∞)上為減函數，所以f(9)>f(10)，即f(7)>f(10)，故選擇答案：D.

命題甲：f(x+2)是偶函數；

命題乙：y=4x-2x+2(x>1)在(-∞，2)上是減函數，在(2，+∞)上是增函數；

能使命題甲、乙均為真的所有函數的序號是( ).

A.①② B.①③ C.② D.③

解因為f(x+2)為偶函數，所以由命題2得f(x)的圖象關于x=2對稱，①不正確，排除選擇支A、B.由于f(x)=(x-2)2滿足命題乙，故選擇答案：C.