由含參二次函數(shù)零點(diǎn)分布引發(fā)的二元范圍問題的思考

沈海全

(浙江省紹興市越州中學(xué) 312000)

一、問題呈現(xiàn)

問題(2017浙江高考樣卷)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b在x∈(-1,2)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a+b的取值范圍.

本題以含參二次函數(shù)為背景，通過在給定范圍內(nèi)的零點(diǎn)問題來(lái)限定參數(shù)的范圍.背景簡(jiǎn)單，起點(diǎn)低，視角寬，思想豐富，可探究性強(qiáng)，具有很好的學(xué)習(xí)、觀摩、研究的價(jià)值.

二、問題解法

視角一(規(guī)劃問題視角)記z=a+b.

根據(jù)零點(diǎn)分布可得以下約束條件

評(píng)注根據(jù)二次函數(shù)根的分布寫出約束條件作出可行域，進(jìn)而從規(guī)劃的視角解決此類問題是通法，學(xué)生容易想到，而且可以解決更一般的線性目標(biāo)函數(shù)如z=ma+nb的最值問題.

視角二(函數(shù)值視角)

因?yàn)閒(x)=x2+ax+b=(x-x1)(x-x2)，且x1,x2∈(-1,2)，又a+b=f(1)-1，而f(1)=(1-x1)(1-x2)∈(-2,4)，則a+b∈(-3,3).

視角三(根與系數(shù)視角)

因?yàn)閤1+x2=-a,x1·x2=b，則a+b=-(x1+x2)+x1·x2=(x1-1)(x2-1)-1，后面同上.

視角四(函數(shù)拆分?jǐn)?shù)形結(jié)合視角)

函數(shù)f(x)=x2+ax+b在x∈(-1,2)上有個(gè)不同的零點(diǎn)?方程-x2=ax+b在x∈(-1,2)上有兩解?函數(shù)g(x)=-x2與函數(shù)h(x)=ax+b圖象有兩個(gè)交點(diǎn). 而a+b=h(1).結(jié)合圖象分析當(dāng)h(x)過C(-1,-1)，D(2,-4)時(shí)h(1)取到最小值，當(dāng)h(x)與f(x)相切于C(-1,-1)時(shí)h(1)取到最大值.綜上h(1)為線段AB上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得a+b=h(1)∈(-3,3).

三、變式拓展

視角一(規(guī)劃問題視角)

限于篇幅不再給出解答，但變式為有零點(diǎn)問題后約束條件需分一個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)討論，顯得稍麻煩，但仍是解決線性目標(biāo)函數(shù)的通法.

視角二(函數(shù)值視角)

綜上a-2b∈[0,1].

評(píng)注在上題視角二的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，巧妙地將a,b用f(1)和r來(lái)表示，再利用f(1)和r范圍求出a-2b的取值范圍，同樣可以解決更為一般的線性目標(biāo)函數(shù).

視角三(根與系數(shù)視角)

綜上a-2b∈[0,1].

評(píng)注在上題視角三的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合a+b的范圍，表示出r,t間的不等關(guān)系，再利用r范圍求出a-2b的取值范圍，同樣可以解決更為一般的線性目標(biāo)函數(shù).

視角四(函數(shù)拆分?jǐn)?shù)形結(jié)合視角)

評(píng)注函數(shù)拆分?jǐn)?shù)形結(jié)合的視角將約束條件0≤a+b≤1轉(zhuǎn)化為h(x)=ax+b必須與線段AB有交點(diǎn)，且與g(x)=-x2有交點(diǎn)即可，數(shù)形結(jié)合顯得非常經(jīng)典，簡(jiǎn)潔又易懂.

四、鏈接高考

(2015浙江文科最后壓軸題第20題)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b.

(2)已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

解(1)略.函數(shù)f(x)=x2+ax+b.

(2)僅從函數(shù)拆分?jǐn)?shù)形結(jié)合視角入手.