函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的巧妙應(yīng)用

范選鋒

(甘肅省合水縣第一中學(xué) 745400)

“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念.隨著新高考改革，函數(shù)的重要性只增不減，在集合、數(shù)列、方程等模塊解題中均有體現(xiàn).因此，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要重視對(duì)學(xué)生函數(shù)思想的培養(yǎng)，發(fā)散學(xué)生解題思維.

一、函數(shù)思想概述

函數(shù)思想依托函數(shù)概念而發(fā)展，了解函數(shù)思想之前，首先要對(duì)函數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)有所了解，包括周期函數(shù)、增(減)函數(shù)、奇(偶)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)等.函數(shù)思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用比較廣泛，通過(guò)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，對(duì)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析與研究，結(jié)合函數(shù)有關(guān)知識(shí)，解決問(wèn)題，把握函數(shù)思想.函數(shù)思想在解題中應(yīng)用一般遵循觀點(diǎn)提出——抽象數(shù)量——建立函數(shù)關(guān)系.由此可見，熟練掌握函數(shù)思想不可忽視.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多知識(shí)都體現(xiàn)了函數(shù)思想，像方程、不等式、算法、線性規(guī)劃.方程上主要體現(xiàn)在求f(x)=0的根，實(shí)際上對(duì)應(yīng)著求函數(shù)y=f(x) 的零點(diǎn)，即該函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).不等式求解上主要解答一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)，相當(dāng)于求函數(shù)y=ax2+bx+c圖象在x軸上方時(shí)x的取值范圍；線性規(guī)劃問(wèn)題求解中主要是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題.總之，函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中無(wú)處不在，在解題教學(xué)中教師要重視學(xué)生函數(shù)思想的培養(yǎng).

二、函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1.妙用導(dǎo)數(shù)解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要內(nèi)容，也是高考的重要考點(diǎn)之一，主要包括導(dǎo)數(shù)概念、幾何意義、各類函數(shù)求導(dǎo)方法、常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式等.近幾年高考主要考查如何利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值.導(dǎo)數(shù)擺脫了對(duì)二次函數(shù)的依賴，成為考查函數(shù)性質(zhì)及數(shù)學(xué)思想方法、能力等重要載體，在解題中具有很強(qiáng)的工具性和方法性作用，承擔(dān)著命題創(chuàng)新的要求和任務(wù).導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用一般分為三個(gè)層次，層次一：從導(dǎo)數(shù)幾何意義和求導(dǎo)公式與法則入手；層次二：從導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)入手，像最值、極值、單調(diào)性等；層次三：以導(dǎo)數(shù)為工具，解決綜合問(wèn)題，包括不等式、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等.

2.巧用函數(shù)中“三個(gè)二次”題型解題

《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》在代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)方面淡化了代數(shù)運(yùn)算與變形技巧，體現(xiàn)了以函數(shù)思想為主線的代數(shù)體系，更加注重函數(shù)思想方法的滲透.“三個(gè)二次”主要指二次函數(shù)、二次方程與二次不等式，這三者之間能夠相互轉(zhuǎn)化，有著緊密的聯(lián)系，是解決函數(shù)零點(diǎn)分布、函數(shù)不等式等問(wèn)題的重要工具.結(jié)合近幾年高考考查傾向來(lái)看，重要集中在二次函數(shù)最值、圖象問(wèn)題、二次方程的根的分布問(wèn)題、與不等式恒成立相關(guān)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題的考查，特別是解析幾何的最值問(wèn)題.所以，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中要重視此部分知識(shí)的滲透，培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思想.

例2 某班同學(xué)積極參加植樹節(jié)活動(dòng)，計(jì)劃在一段直線公路一側(cè)植樹，一共20名同學(xué)，每人植一棵，各棵樹間隔10m.樹苗全都集中放在某一定點(diǎn)位置，為了使每位學(xué)生從各自樹坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹苗所走路程和最小，樹苗應(yīng)該放在哪個(gè)樹坑位置，這個(gè)最小和為多少？解答過(guò)程中，首先應(yīng)該想到二次函數(shù)的轉(zhuǎn)化，設(shè)放到第a個(gè)樹坑，每個(gè)樹坑到第a個(gè)樹坑的距離和為S，此時(shí)可以列式為：S=(a-1)×10+(a-2)×10+…+(a-a)×10+[(a+1)-a]×10+…+(20-a)×10，化簡(jiǎn)為10(a2-21a+210)，當(dāng)a=10或11時(shí)，S的取值最小，具體為1000，往返路程為2000.在此類題型解答中，二次函數(shù)形式的構(gòu)造起到了關(guān)鍵性作用，通過(guò)建立函數(shù)解析式，研究函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.

3.函數(shù)與方程思想方法解題突破

函數(shù)與方程是離不開的，兩者不僅知識(shí)涉及廣泛，知識(shí)點(diǎn)交匯多，而且在解題過(guò)程中有很具體的體現(xiàn)，像創(chuàng)新題型的變式轉(zhuǎn)化、解答題的綜合應(yīng)用等，都是大型題目的解題法寶.在新課標(biāo)改革下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)也增加了函數(shù)與方程教學(xué)內(nèi)容，可見其重要性.在問(wèn)題解答中主要考查含參數(shù)方程討論、構(gòu)造方程求解、函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化等，在教學(xué)中教師要特別注重此部分知識(shí)講解.

例3直線(1+a)x+y+1=0與圓x2+y2-2x=0相切，則a的值為多少？此類題目在解答過(guò)程中可以直接將直線方程代入圓方程中，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合題意位置關(guān)系相切，利用判別式Δ=0求出結(jié)果a.該解題過(guò)程體現(xiàn)了方程思想的運(yùn)用，也可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想.

綜上所述，函數(shù)思想作為數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，貫穿整個(gè)高中知識(shí)學(xué)習(xí).在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要重視函數(shù)思想的滲透，以此為解題工具，拓展學(xué)生思路，提高解題效率.使學(xué)生通過(guò)問(wèn)題分析、解答掌握函數(shù)知識(shí)本質(zhì)，了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)魅力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).