“迭式放縮”與二次型遞推數列不等式

黎 平

(浙江省麗水市麗水學院附屬高級中學 323000)

遞推數列和不等式相結合的問題是高考數學中的熱點和難點題型，2015-2017浙江高考數學試卷的壓軸解答題都是這類問題.解決這類問題的關鍵是巧妙地進行不等式的放縮.實際上，遞推數列不等式的放縮有自身的特定方法和技巧，這樣的方法技巧與迭加公式和迭乘公式有密切的關系.

一、迭加公式和迭乘公式與遞推數列不等式

迭加公式an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1),

遞推數列中由遞推關系出發進行適當的變形可得

迭加型：an-an-1≤f(n),

這兩類最基本的遞推關系，對于迭加型遞推關系可結合迭加公式進行放縮

這種放縮方法稱為迭加放縮.

對于迭乘型遞推關系可結合迭乘公式進行放縮

這種放縮方法稱為迭乘放縮.

迭加放縮和迭乘放縮是遞推數列不等式中兩種最重要的放縮方法，這兩種放縮方法可統稱”迭式放縮”.

二、二次型遞推數列不等式與迭式放縮

1.二次型遞推數列與迭加放縮

又由an=(1-an-1)an-1，得

an=(1-an-1)(1-an-2)·…·(1-a1)a1>0.

2.二次型遞推數列與迭乘放縮

?an+1+m=p(an+m)(ak+k)

其中對式子an+k要進行范圍的估計,此為迭乘放縮.

所以